Numerické příklady

Uvažujeme nabitou částici s nábojem \(q\) v kombinaci časově proměnného elektrického pole \({{\bf E}}=(E(t),0,0)\), kde \(E(t)=E_0+\dot{E}_xt\), ( \(E_0\) a \(\dot{E}_x\) jsou konstanty), a konstantního magnetického pole \({\bf B}=(0,0,B_z)\).

Pohybové rovnice v kartézkých souřadnicích po zderivování podle času a oddělení proměnných vedou na

\[\begin{align} \ddot{v}_x+\omega^2 v_x&=\frac{q}{|q|}\omega\frac{\dot{E}_x}{B_z},\\ \ddot{v}_y+\omega^2 v_y&=-\omega^2\frac{E_0+\dot{E}_x t}{B_z}, \end{align}\] kde \[\omega=\frac{|q|B_z}{m}.\]

Řešení vyjádřené jako součet komplementárního a partikulárního řešení po aplikaci počátečních podmínek jsou \[\begin{align} v_x &= c \sin(\omega t) + \frac{q}{|q|}\frac{\dot{E}_x}{B_z\omega}\left(1-\cos(\omega t)\right),\\ v_y &= a \sin(\omega t) + \frac{E_0}{B_z}\left(\cos(\omega t)-1\right) - \frac{\dot{E}_x}{B_z}t, \end{align}\] kde \(a\) a \(c\) jsou konstanty, které určíme z pohybových rovnic (ze vztahu mezi \(v_x\) a \(v_y\)): \[\dot v_y = - \frac{q}{|q|} \omega v_x\] \[ a\omega\cos(\omega t) - \frac{E_0}{B_z}\omega\sin(\omega t ) - \frac{\dot{E}_x}{B_z} =-\frac{q}{|q|}\omega\left(c\sin(\omega t) - \frac{q}{|q|} \frac{\dot{E}_x}{B_z\omega} + \frac{q}{|q|} \frac{\dot{E}_x}{B_z\omega} \right). \] Porovnáním koeficientů u funcí \(\sin\) a \(\cos\) dostaneme \[ a = \frac{\dot{E}_x}{B_z\omega}, \quad c = \frac{q}{|q|} \frac{E_0}{B_z}. \] Řešení pohybových rovnic pak je: \[\begin{align} v_x(t) &= \frac{q}{|q|}\frac{E_0}{B_z}\sin(\omega t)+ \frac{q}{|q|}\frac{\dot{E}_x}{B_z\omega}\left(1-\cos(\omega t)\right),\\ v_y(t) &= \frac{\dot{E}_x}{B_z\omega}\sin(\omega t)+\frac{E_0}{B_z}\left(\cos(\omega t)-1\right)-\frac{\dot{E}_x}{B_z}t, \end{align}\]

\[\begin{align} x(t) &= \frac{q}{|q|}\frac{E_0}{B_z\omega}\left(1-\cos(\omega t)\right)-\frac{q}{|q|}\frac{\dot{E}_x}{B_z\omega^2}\sin(\omega t)+\frac{q}{|q|}\frac{\dot{E}_x}{B_z\omega}t, \\ y(t) &= \frac{\dot{E}_x}{B_z\omega^2}\left(1-\cos(\omega t)\right)+\frac{E_0}{B_z\omega}\sin(\omega t)-\frac{E_0}{B_z}t-\frac{1}{2}\frac{\dot{E}_x}{B_z}t^2 \end{align}\]

Výsledný pohyb částice je superpozice gyrace a driftu s rychlostí \[{\bf v}_D = \left(\frac{q}{|q|}\frac{\dot{E}_x}{B_z\omega}, - \frac{E_0+\dot{E}_x t}{B_z}\right)\].

Drift ve směru \(x\) vzniká v důsledku časové změny driftové rychlosti (zrychlení) ve směru \(y\): je to drift v poli setrvačné síly.