Podzim 2020
Částice v plazmatu se srážejí. V plazmatu jsou přítomny:
nabité částice (e, i) a
neutrální částice (n),
možné jsou pak: e-e, e-i, i-i, e-n a i-n srážky.
Za jakých podmínek budou mít srážky jednotlivých typů vliv?
Základním parametrem popisujícím srážku je, účinný průřez \(\sigma(v_0)\), který je obecně funkcí vzájemné rychlosti kolizních partnerů.
Uvažujme případ, kdy svazek testovacích částic o koncentraci \(n_T\) (Test particle density), nalétává na terč vyplněný nehybnými částicemi o koncentraci \(n_F\) (Field particle density).
Na elementu \({\rm d}x\) tloušťky terče, bude změna v koncentraci testovacích částic, které interagovali s částicemi terče úměrná koncentraci testovacích částic \(n_T\), koncentraci částic terče \(n_F\) a vzdálenosti, kterou svazek terčem prošel, tedy \[{\rm d} n_T = - \sigma n_F n_T {\rm d}x \] konstanta úměrnosti \(\sigma\) představuje účinnou plochu jednoho rozptylového centra pro interakci částic terče s částicemi svazku.
\(\sigma\) má fyzikální rozměr plochy m\(^2\)
‘\(-\)’ je tam protože srážky vedou na ztrátu částic ze svazku
Pro přesnější definici \(\sigma\) musejí být specifikovány detaily interakce (znám interakční potenciál).
Uvažujme koule o poloměrech \(a_1\) a \(a_2\). Přiblíží-li se středy koulí na vzdálenost \(a_1+a_2\) dojde k interakci. Interakční potenciál je nulový pro vzdálenosti větší než \(a_1+a_2\) (koule neví jedna o druhé), a nekonečný pro vzdálenosti \(a_1+a_2\) a menší (tuhé koule, nemůžou se vnořit jedna do druhé).
Účinný průřez pro srážku je: \[ \sigma_{12} = \pi (a_1+a_2)^2 \]
Jak se bude měnit tok nalétávajících částic?
Změna toku částic svazku (tok: \(\Gamma = v n_{T}\)) při průchodu nalétávajícího svazku terčem:
\[{\rm d} \Gamma = v \,{\rm d}n_T = - \sigma v n_F n_T \,{\rm d}x \quad \rightarrow \quad \frac{{\rm d} \Gamma}{\Gamma} = - \sigma n_F \,{\rm d}x \]
Řešení této rovnice je
\[\Gamma(x)=\Gamma_0 \exp\left(-\sigma n_F x \right) = \Gamma_0 \exp\left(-x/\lambda\right),\] kde \(\lambda\) je vzdálenost na které počáteční tok \(\Gamma_0\) klesne na hodnotu \(\Gamma_0/e\).
Na \(\lambda\) se dá také dívat jako na střední volnou dráhu mezi srážkami
\[\lambda = \frac{1}{\sigma n_F}\]
Pro rychlost \(v\) částic, můžeme definovat
střední dobu mezi srážkami částic \(\tau\), jako \[\lambda = v \tau = \frac{1}{\sigma n_F} \quad \rightarrow\quad \tau = (v \sigma n_F)^{-1} \]
srážkovou frekvencí \[\nu = \tau^{-1} = v \sigma n_F\]
srážkovou frekvenci na jednotku hustoty (rychlostní konstanta) \[ k=\nu/\ n_F= \sigma v.\]
Časovou změnu hustoty částic svazku pak můžeme psát jako:
\[\frac{{\rm d} n_T}{{\rm d} t} = - n_F n_T \sigma \, \frac{{\rm d}x}{{\rm d}t} = - n_F n_T \sigma v = - k n_F n_T.\]
Pro přesnější popis srážky je zavedený diferenciální účinný průřez \(I(v,\theta)\). Srážka se většinou bere že nezávisí na úhlu \(\phi\).
Uvážíme-li svazek částic dopadající na rozptylové centrum, pak částice dopadající pod záměrným parametrem \(b\) se rozptýlí pod úhlem \(\theta\)
Zachování toku částic vede na rovnici pro dopadající tok \(\Gamma\) \[ \Gamma 2 \pi b \, {\rm d}b = - \Gamma I(v,\theta)2\pi\sin(\theta)\,{\rm d}\theta \] Tok procházející elementem plochy \({\rm d}S = 2 \pi b \, {\rm d}b\) projde elementem prostorového úhlu \({\rm d}\Omega = 2\pi\sin(\theta)\,{\rm d}\theta\). Znaménko mínus je tam proto, že při zvětšování \(b\) se \(\theta\) bude zmenšovat. \(I(v,\theta)\) má pak rozměr [plocha na steradián]. Dostáváme \[ I(v,\theta) = \frac{b}{\sin\theta}\left|\frac{{\rm d}b}{{\rm d}\theta}\right| \] kde \({{\rm d}b}/{{\rm d}\theta}\) je nutné určit na základě znalosti interakčního potenciálu. \({{\rm d}b}/{{\rm d}\theta}\) je záporné, proto tam je absolutní hodnota.
Dále definujeme:
Totální účinný průřez (celkový účinný průřez pro rozptyl do libovolného úhlu) \[ \sigma_{\rm cs} = 2\pi\int_0^{\pi} I(v,\theta)\sin\theta \, {\rm d}\theta \]
Učinný průřez pro přenos hybnosti \[ \sigma_{\rm mt} = 2\pi\int_0^{\pi} (1-\cos\theta) I(v,\theta)\sin\theta \, {\rm d}\theta \] Faktor \((1-\cos\theta)\) je zlomek hybnosti dopadající částice \(mv\) který částice ztratí při rozptylu pod úhlem \(\theta\). Pro dopředný rozptyl máme \(\cos\theta=1\), pro zpětný rozptyl máme \(\cos\theta=-1\).
V makroskopických rovnicích popisujících plazma jako kapalinu se většinou vyskytuje brzdná síla tření a používá se srážková frekvence pro přenos hybnosti \(\nu_{\rm m}=\sigma_{\rm mt}v\). Výpočet správné hodnoty \(\nu_{\rm m}\) ovšem vyžaduje středování přes rozdělovací funkci pro rychlost částic.
Uvažujme koule o poloměru \(a_1\) a \(a_2\). Nechť \(a_{12}=a_1+a_2\).
Impaktní parameter je \(b=a_{12}\sin\chi\), \(\theta=\pi-2\chi\) pak \[ b\,{\rm d}b=a_{12}^2\sin\chi \cos\chi \,{\rm d}\chi = \frac{1}{2}a_{12}^2\sin(2\chi)\,{\rm d}\chi = -\frac{1}{4}a_{12}^2\sin\theta\, {\rm d}\theta \] Diferenciální účinný průřez pak je \[ I(v,\theta) = \frac{1}{4}a_{12}^2 \] a celkový účinný průřez a průřez pro přenos hybnosti, v tomto případě je: \[ \sigma_{\rm cs}=\sigma_{\rm mt} = \pi a_{12}^2. \] obecně \(\sigma_{\rm cs} \neq \sigma_{\rm mt}\)!!!!
Nabité částice v plazmatu vzájemně interagují dalekodosahovou Coulombovskou interakcí. Díky schopnosti plazmatu odstínit elektrické pole, má tato interakce v plazmatu jen konečný dosah a vymizí pro vzdálenost větší než Debyeova délka \(\lambda_D\).
Vyšetřeme dva možné scénáře srážky testovací částice \(T\) s nehybnou částicí pole \(F\):
nabité částice se přiblíží na krátkou vzdálenost: výsledkem je odchýlení nalétávající částice pod velkým úhlem \(\theta_{\rm large}\) od původního směru.
nalétávající částice jen ‘lízne’ interakční potenciál: výsledkem je odchýlení nalétávající částice pod malým úhlem \(\theta_{\rm small}\) od původního směru.
Vezměme charakteristickou hodnotu pro velký rozptylový úhel jako \(\theta_{\rm large} = \pi/2\).
Řešení Rutherfordova rozptylu dává výraz pro rozptylový úhel: \[ \tan\left(\theta/2\right)=\frac{q_T q_F}{4\pi\varepsilon_0 b \mu v_0^2} \sim \frac{\hbox{Coulombovská interakční energie}}{\hbox{kinetická energie}} \] kde \(\mu\) je redukovaná hmotnost, \(b\) je záměrný parametry (impact parameter), \(v_0\) je počáteční relativní rychlost.
Impaktní parametr pro \(\theta_{\rm large}\): \[ \theta=\pi/2 \rightarrow \tan(\pi/4) = 1 \rightarrow \quad b_{\pi/2}= \frac{q_T q_F}{4\pi\varepsilon_0\mu v_0^2} \]
Srážkové účinné průřezy pak jsou: \[ \sigma_{\rm large} = \pi b_{\pi/2}^2 \]
\[ \sigma_{\rm small} = \pi ( \lambda_D^2 - b_{\pi/2}^2 ) \]
Srážky s malým úhlem rozptylu jsou hodně časté, ale úhel rozptylu je malý.
Ale otázka zní: Jaký je kumulativní efekt takových srážek???
Úhly rozptylu jsou v náhodných směrech, střední hodnota bude nulová, \[ \sum_i^{N_{\rm coll}} \theta_i \rightarrow 0, \] zjevně to není dobrá pozorovatelná pro hledání odpovědi. Rozptyl je náhodný proces, jde o náhodnou procházku (la passeggiata dell’ubriaco), podívejme se tedy na kvadrát rozptylového úhlu \(\theta_i^2\).
Úhel rozptylu závisí na \(b\): \[ \tan(\theta/2) \sim \theta/2 \quad (\theta \hbox{ je malé}) \quad \rightarrow \quad \theta(b)= \frac{2 q_T q_F}{4\pi\varepsilon_0\mu v_0^2 b} = \frac{2b_{\pi/2}}{b}\]
Střední hodnota \(\theta_i^2\) pro jeden malý rozptyl, je: \[\langle \theta_i^2 \rangle = \frac{1}{\sigma_{\rm small}}\int_{b_{\pi/2}}^{\lambda_D}\frac{4b_{\pi/2}^2}{b^2}2\pi b\,{\rm d} b.\]
Kolik takových malých rozptylů musí nastat aby měly stejný efekt \((\pi/2)^2\) jako jeden velký rozptyl????
\[\left(\frac{\pi}{2}\right)^2 = N_{\rm cum} \langle \theta_i^2 \rangle = N_{\rm cum} \frac{8 b_{\pi/2}^2 \pi}{\sigma_{\rm small}} \ln\left(\lambda_D/b_{\pi/2}\right) \] Počet takových srážek je tedy zhruba (při \((\pi/2)^2 \sim 1\)): \[N_{\rm cum} = \frac{\sigma_{\rm small}}{8\pi b_{\pi/2}^2 \ln\left(\lambda_D/b_{\pi/2}\right)}\]
Porovnejme teď efektivitu rozptylů s malým úhlem a rozptylů o velký úhel. Podíváme se na střední dobu za kterou dojde k \(N_{\rm cum}\) rozptylům pod malým úhlem a na dobu za kterou dojde k jednomu rozptylu pod velkým úhlem. Použijeme k tomu střední dobu mezi srážkami \(\tau=(n\sigma v)^{-1}\) a účinné průřezy \(\sigma_{\rm small}\) a \(\sigma_{\rm large}\).
Za jak dlouho se nasčítá \(N_{\rm cum}\) malých srážek a za jak dlouho nastane jedna veklá?
Chceme porovnat:
\[ N_{\rm cum} \tau_{\rm small} \quad\hbox{vs}\quad \tau_{\rm large} \]
kde \(\tau_{\rm small} = (v \sigma_{\rm small} n_F)^{-1}\) a \(\tau_{\rm large} = (v \sigma_{\rm large} n_F)^{-1}\).
Dostaneme
\[\frac{1}{ 8\ln\left(\lambda_D/b_{\pi/2}\right)} \frac{1}{ v \pi b_{\pi/2}^2 n_F } \ll \frac{1}{ v\pi b_{\pi/2}^2 n_F}\]
Vidíme že levá strana nerovnosti (odpovídající střední době za kterou se nakumuluje efekt srážek o malý úhel na velký úhel) obsahuje ve jmenovateli navíc člen \(8\ln\left(\lambda_D/b_{\pi/2}\right)\), který je řádu \(10^2\).
Coulombovské srážky s malým úhlem rozptylu mají tedy mnohem větší efekt než Coulombovské srážky s velkým úhlem rozptylu.
Poměr \(\lambda_D/b_{\pi/2}\) se označuje \(\Lambda\) a \(\ln\Lambda\) se nazývá Coulombovský logaritmus. Uvažujeme-li \[mv^2/2 = 3k_B T/2\] a pro e-e srážky \[\mu=m_e/2,\] pak \[ \Lambda = \lambda_D/b_{\pi/2} = \sqrt{\frac{\varepsilon_0 k_B T}{n e^2}}\frac{4\pi\varepsilon_0m v^2/2}{e^2}=6\pi n \lambda_D^3. \]
Jedno z kritérií pro plazma říkalo, že počet částic v Debyeovské kouli je mnohem větší než jedna (\(n \lambda_D^3\gg 1\)), tedy
\[\Lambda \gg 1.\]
Hodnota \(\ln\Lambda\) se pohybuje v rozmezí od 8 do 25 pro většinu plazmat.
Účinný průřez pro Coulombovské srážky v plazmatu můžeme napsat uvážíme-li efektivní dobu \(\tau^*\) za kterou budou srážky s malým úhlem rozptylu mít velký vliv \[ \tau^* = N_{\rm cum} \tau_{\rm small} = N_{\rm cum} ( n_F \sigma_{\small} v)^{-1} = (n_F \sigma^{*} v)^{-1}.\]
Pak \[ \sigma^{*} = \frac{1}{2\pi}\left(\frac{q_T q_F}{\varepsilon_0 \mu v_0^2}\right)^2 \ln\left(\lambda_D/b_{\pi/2}\right) \] \(\sigma^{*}\) klesá se čtvrtou mocninou relativní rychlosti částic. V horkém plazmatu, kdy \(v_0\) je velké budou Coulombovské srážky méně důležité v porovnání s ostatními jevy.
Srážky elektronů s neutrálními atomy a molekulami je nutné uvážit je-li plazma slabě ionizované. Na rozdíl od srážek mezi nabitými částicemi v plazmatu, jsou interakční síly mezi elektrony a neutrálními částicemi krátkodosahové (short-range interaction). Neutrální částici proto můžeme aproximovat tuhým tělesem o rozměru daného atomu, nebo molekuly. Typický rozměr atomu je \(10^{-10}\,\)m, účinný průřez pak je
\[\sigma_{\rm neut} \sim 3\times 10^{-20}\,{\rm m}^2.\]
Srážka elektronu s neutrálem může být
elastická, kdy se nemění vnitřní energie neutrálu, nebo
neelastická, kdy část kinetické energie elektronu přejde do energie vnitřního stavu neutrálu (excitace, ionizace).
V případě iontu, může také nastat srážka s výměnou náboje (charge exchange collision). Iont dopadající na neutrální částici může přetáhnout elektron neutrální čístici, ze které se stane iont, zatímco dopadající iont se zachyceným elektronem neutralizoval.
Tento proces se používá na generování vysokoenergetických neutrálních svazků. Ionty jsou urychleny na vysokou energii a vstříknuty do neutrálního plynu, kde přetáhnou elektrony a stane se z nich vysokoenergetický svazek neutrálních částic. Neutral beam injection je jedna z metod ohřevu fúzního plazmatu.
Ionty mají podobnou hmotnost jako neutrální částice. Srážkami si s neutrály tedy efektivně vyměňují energii a mají s nimi tendenci být v tepelné rovnováze. Ve slabě ionizovaném plazmatu jsou ionty typicky studené, na teplotě podobné neutrálnímu plynu, který je zase v tepelné rovnováze se stěnami nádoby ve které je držen.
O důležitosti nebo nedůležitosti srážek je možné rozhodnout na základě:
porovnání srážkové frekvence \(\nu =v\sigma n\) s frekvencí jiných efektů,
nebo střední dráhy mezi srážkami \(\lambda_{\rm mfp} = (\sigma n)^{-1}\) s charakteristickou délkou jiných efektů.
Při srážkách elektronlů s atomy/molekulami může dojít k následujícím procesům:
Elastická srážka: kinetická energie kolizních partnerů je zachována
Ne-elastická srážka: kinetická energie kolizních partnerů je zmenší na úkor zvíšení vnitřní energie atomu/molekuly.
Super-elastická srážka: vnitřní energie atomu/molekuly se přenění na kinetickou energii srážejících se částic.
Ionizace: při srážce vznikne nový elektron a iont.
Účinné (srážkové) průřezy jsou počítány na základě kvantové mechaniky. Ramsauerovo minimum (u vzácných plynů) je důsledek toho, že vlnová délka nalétávajícího elektronu je podobná s rozměrem atomu (rozptyl elektronu napotenciálové jámě).
Ze znalosti účinného průřezu \(\sigma_{\kappa}\) pro proces \(\kappa\) a rozdělovací funkce elektronů (z její homogenní části) můžeme spočítat rychlostní koeficient pro proces \(\kappa\): počet takových procesů který proběhne na jednotku objemu za jednotku času: \[ k_{\kappa} = \sqrt{\frac{2e}{m_e}}\int_0^\infty \sigma_{\kappa}(\varepsilon) \varepsilon f_0(\varepsilon) \, {\rm d} \varepsilon \]
Příklad: Přechodová negativní mobilita elektronů
Ubíhající (runaway) elektrony mohou vzniknout v případě je-li odporová síla mezi elektrony a okolním prostředím klesající funkcí energie.
Odporová síla mezi elektrony a okolním prostředím: \[ F_D(\varepsilon) = \sum_j N_j \sigma_j(\varepsilon) \delta \varepsilon_j \] zahrnuje všechny neelastické procesy (se ztrátou energie \(\delta \varepsilon_j\)), \(N_j\) je koncentrace jednotlivých molekul (vzduch: N\(_2\) O\(_2\), Ar, \(\ldots\)).
Runaway elektrony a jejich efekty v atmosféře byly předpovězeny v r. 1925 C.T.R Wilsonem.
Příklad: akcelerace elektronů na čele negativní ionizační vlny ve vzduchu
