Podzim 2020
Nehomogenní magnetické pole je velmi časté. Různé konfigurace \({\bf B}\) polí se používají na udržení plazmatu. Příkladem je magnetické zrcadlo.
Nehomogenita pole:
Budeme předpokládat že poloměr gyrace \(r_c\) je je malý ve srovnání s charakteristickou vzdáleností na které se mění \({\bf B}\) pole. Oddělíme gyraci a driftový pohyb, nehomogenita pole bude malá porucha vnějšího homogenního \({\bf B}\) pole.
Základním driftem v nehomogenním \({\bf B}\) poli je \(\nabla B\) drift.
Fyzikální podstatu \(\nabla B\) driftu lze odhalit analýzou obrázku:
Odvodíme ji na základě driftu pro obecnou sílu \({\bf F}\): \[ {\bf v}_F = \frac{{\bf F} \times {\bf B}}{q B^2} \] Na základě analýzy toho co se děje čekáme \({\bf F}/q\) které bude pro kladnou částici působit ve směru \(-\hat {\bf y}\).
Uvažujme magnetické pole mířící ve směru osy \(z\), které pomalu sílí ve směru osy \(y\), pak \({\bf B} = (0,0,B_z(y))\): \[B_z(y) = B_0 + y \left[\frac{\partial B_z}{\partial y}\right] + \hbox{h.o.t}.\]
Spočítáme sílu od \({\bf B}\) pole působící na částici, a vystředujeme ji přes gyraci. Síla od magnerického pole bude: \[ {\bf F} = q {\bf v} \times {\bf B} = \hat {\bf x} q v_y B_z - \hat {\bf y} q v_x B_z \simeq \hat {\bf x} q v_y\left(B_0 + y \left[\frac{\partial B_z}{\partial y}\right] \right) - \hat {\bf y} q v_x \left(B_0 + y \left[\frac{\partial B_z}{\partial y}\right] \right) \label{eq:force} \tag{1} \]
Nehomogenita v poli je malá, gyrační kružnice je skoro uzavřená, zkusíme tedy vystředovat složky síly přes jednu periodu gyrace.
Pro gyrující částici máme: \[ \begin{gather} x_c &=& r_c \cos(\mp \omega_c t + \psi) \\ y_c &=& r_c \sin(\mp \omega_c t + \psi) \\ v_x &=& \pm v_\perp\sin(\mp \omega_c t + \psi) \\ v_y &=& \mp v_\perp\cos(\mp \omega_c t + \psi) \\ \end{gather} \tag{2} \label{eq:gyrace} \]
Dosazením \(\eqref{eq:gyrace}\) do \(\eqref{eq:force}\) a středováním přes periodu gyrace \[ \langle \cdot \rangle = \frac{1}{T_c} \int_0^{T_c} ( \cdot )\, {\rm d} t, \] dostaneme \[ \langle F_x \rangle = 0, \]
\[ \langle F_y \rangle = \frac{\mp q v_\perp r_c}{2}\left[\frac{\partial B_z}{\partial y}\right]=-\frac{m v_\perp^2}{2 B}\frac{\partial B_z}{\partial y}. \]
Obecně ve vektorové formě: \[{\bf v}_{\nabla B} = - \frac{m v_\perp^2}{2B}\frac{1}{q}\frac{ \nabla B \times {\bf B}}{B^2} = - \frac{\mu}{q}\frac{\nabla B \times {\bf B}}{B^2},\] kde \(\mu= \frac{m v_\perp^2}{2B}\) je magnetický moment gyrující částice.
Rychlejší částice driftují rychleji protože mají větší \(r_c\) a jejich orbity tak očichávají větší oblast nehomogenity.
\(\nabla B\)-drift závisí na \(q\) a způsobuje tedy makroskopický proud.
Když se částice pohybuje podél zakřivené indukční čáry magnetického pole vzniká tzv. drift zakřivení. Tento drift je důsledkem odstředivé síly působící na částici (z pohledu gyrující částice). Odstředivá síla v gyračním středu \[ {\bf F}_c = \frac{m v_\parallel^2}{R_c}\frac{{\bf R}_c}{R_c}, \] kde \(R_c\) je okamžitý poloměr křivosti magnetické indukční čáry podél které částice gyruje a podél které se pohybuje podélnou rychlostí \(v_\parallel\).
Dosazením do rovnice pro drift obecnou silou \({\bf F}\) dostaneme: \[ {\bf v}_{R_c} =\frac{m v_\parallel^2}{q R_c^2}\frac{{\bf R}_c \times {\bf B}}{B^2} \]
Zanedbáme-li pole způsobené pohybem částic, máme \[ \nabla \times {\bf B} = {\bf 0}, \] platí tedy magnetostatika ve vakuu. Díky tomu je zakřivené pole \({\bf B}\) vždy doprovázeno nenulovým \(\nabla B\). V cylindrických souřadnicích máme
\[ {\displaystyle {\begin{aligned} \nabla \times {\bf B} = \left({\frac {1}{r }}{\frac {\partial B_{z}}{\partial \varphi }}-{\frac {\partial B_{\varphi }}{\partial z}}\right) &{\hat {\boldsymbol {r }}}\\ +\left({\frac {\partial B_{r }}{\partial z}}-{\frac {\partial B_{z}}{\partial r }}\right) &{\hat {\boldsymbol {\varphi }}}\\ +{\frac {1}{r }}\left({\frac {\partial \left(r B_{\varphi }\right)}{\partial r }}-{\frac {\partial B_{r }}{\partial \varphi }}\right) &{\hat {\mathbf {z} }}\end{aligned}}} \]
Pro konfiguraci makroskopického pole z obr. výše je \(B_{z}=B_{r}=0\), pak jediná nenulová komponenta \(\nabla \times {\bf B}\) je \[ (\nabla \times {\bf B})_z = \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r B_\varphi) = 0 \quad \hbox{tedy} \quad B_\varphi = \frac{A}{r}. \] V místě gyračního středu \(r=R_c\): \[ \left.\frac{\partial }{\partial r}B_\varphi\right|_{r=R_c} = -\left. \frac{A}{r^2} \right|_{r=R_c} = - \frac{A}{R_c^2} = - \frac{B_\varphi R_c}{R_c^2} = - \frac{B_\varphi}{R_c}. \] Protože \({\bf B}\) má pouze komponentu \(B_\varphi\) pak můžeme psát (\(\nabla B\) míří proti \({\bf R}_c\)) \[ \nabla B = -\frac{B}{R_c^2}{\bf R}_c. \] V rovnici pro \({\bf v}_{R_c}\) pak můžeme zaměnit \[ \frac{{\bf R}_c}{R_c^2}=- \frac{\nabla B}{B} \quad \Longrightarrow \quad {\bf v}_{R_c}=\frac{mv_\parallel^2}{q B}\frac{{\bf B}\times \nabla B}{B^2} \]
Kombinací \({\bf v}_{R_c}\) a \({\bf v}_{\nabla B}\) dostáváme
\[ {\bf v}_{\rm vf} = (v_\parallel^2 + \frac{1}{2}v_\perp^2)\frac{m}{qB}\frac{{\bf B} \times \nabla B}{B^2} \]
Uvažujme konvergentní magnetické pole (\(B_\varphi=0\)), částice v něm gyruje kolmou rychlostí \({\bf v}_\perp\) a pohybuje se podél \({\bf B}\) rychlostí \({\bf v}_\parallel\).
Tím že je \({\bf B}\) pole konvergentní, existuje nenulová radiální složka \(B_r\). Použitím Maxwellovy rovnice \(\nabla\cdot{\bf B} = 0\) ve válcových souřadnicích \[ \nabla\cdot{\bf B} = {1 \over r}{\partial \left( r B_r \right) \over \partial r}+ {1 \over r}{\partial B_\varphi \over \partial \varphi}+ {\partial B_z \over \partial z},\] zjistíme vztah mezi radiální složkou \(B_r\) a podélnou složkou \(B_z\) magnetického pole. Máme \(B_\varphi=0\), proto \[ \nabla\cdot{\bf B} = \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r B_r) + \frac{\partial B_z}{\partial z} = 0. \] Budeme uvažovat pomalu konvergentní pole, radiální složku \(B_r\) vyjádříme jako poruchu prvního řádu \[ B_r(r) = \left.B_r\right|_{r=0} + r\left(\frac{\partial B_r}{\partial r}\right) + \hbox{h.o.t} , \] na ose symetrie platí \(\left.B_r\right|_{r=0} = 0\), máme tedy \[ \frac{B_r}{r} \simeq \frac{\partial B_r}{\partial r}. \] Dále \[ \frac{1}{r}\frac{\partial }{\partial r}(r B_r) = \frac{1}{r}(B_r) + \frac{1}{r}\cdot r \frac{\partial B_r}{\partial r} \simeq \frac{B_r}{r}+\frac{B_r}{r} = 2\frac{B_r}{r}, \] pak z \(\nabla\cdot{\bf B} = 0\) dostaneme \[ \frac{\partial B_z}{\partial z}\simeq - \frac{2 B_r}{r}. \] Bude-li \({\partial B_z}/{\partial z}\) mírou nehomogenity \({\bf B}\), pro \(B_r\) pak máme \[ B_r \simeq - \frac{r}{2}\frac{\partial B_z}{\partial z} \]
Pro částici gyrující na poloměru \(r = r_c\), pak na kladnou i zápornou částici působí síla: \[ F_z = -|q| v_\perp \frac{r_c}{2}\frac{\partial B_z}{\partial z} = -\frac{m v_\perp^2}{2B_z}\frac{\partial B_z}{\partial z}= -\mu\frac{\partial B_z}{\partial z}. \label{eq:Fz} \tag{3} \]
Díky existenci nenulové radiální složky \(B_r\), dostaneme sílu která působí kolmo na rovinu gyrace a vytlačuje gyrující částici směrem ze silícího magnetického pole.
Vlivem působení existující nenulové \(F_z\) se částice od houstnoucího magnetického pole může odrazit. Na tomto efektu je založené magnetické zrcadlo.
Než přikročíme k analýze magnetického zrcadla položme si praktickou otázku:
Jak se chovají integrály pohybu, tj. zachovávající se veličiny vyplývající ze symetrie prostoru a času, jsou-li uvažované symetrie dobré, ne však perfektní?
Tento typ zákonů zachování související s pomalou/pozvolnou změnou nějakého vnějšího parametru se nazývá adiabatická invariance.
Je třeba vnímat rozdíl mezi adiabatickou invariancí a absolutními zákony zachování, jako jsou např. zachování náboje, energie, hybnosti….
Pro ilustraci adiabatické invariance uvažujme matematické kyvadlo s měnící se frekvencí oscilací.
Úhlová frekvence pohybu kyvadla \(\omega(t)\) pak bude funkcí času a pohybová rovnice bude mít tvar \[ \frac{{\mathrm d}^2 x}{{\mathrm d}t^2}+\omega(t)^2 x = 0 \tag{3} \label{eq:mk} \] V případě kdy \(\omega = const.\) je řešením této rovnice harmonický pohyb \[ x(t) = \mathrm{Re}\left\{A \exp(i\omega t)\right\} \] Je-li \(\omega\) dostatečně pomalou funkcí času, zkusme hledat řešení ve zobecněném tvaru: \[ x(t) = \mathrm{Re}\left\{A(t) \exp\left(i\int^t\omega(t^{\prime}){\rm d}t^{\prime}\right)\right\} \] dosazením \(x(t)\) a \[ \frac{{\mathrm d}^2 x(t)}{{\mathrm d}t^2} = \mathrm{Re}\left\{\left(i\frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t}A+2i\omega\frac{{\mathrm d}A}{{\mathrm d}t} - \omega^2 A+\frac{{\mathrm d}^2 A}{{\mathrm d}t^2}\right)\exp\left(i\int^t\omega(t^{\prime}){\rm d}t^{\prime}\right)\right\} \] do pohybové rovnice \(\eqref{eq:mk}\) dostaneme rovnici pro \(A\) a \(\omega\) \[ \frac{{\mathrm d}^2 A}{{\mathrm d}t^2} + 2i\omega\frac{{\mathrm d}A}{{\mathrm d}t} + i\frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t}A = 0 \tag{4} \label{eq:Aw} \] chceme najít vztah mezi \(A\) a \(\omega\), za předpokladu pomalé změny \(A\), kdy druhou derivaci \(A\) podle času v této rovnici můžeme zanedbat. Požadujeme tedy, aby platilo \[ \left|\frac{{\mathrm d}^2 A}{{\mathrm d}t^2}\right| \ll \left|2i\omega\frac{{\mathrm d}A}{{\mathrm d}t}\right|. \tag{5} \label{eq:podminka} \] Z rovnice \(\eqref{eq:Aw}\) zmizí druhá derivace \(A\) podle času: \[-2\omega\frac{{\mathrm d}A}{{\mathrm d}t} = \frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t}A,\] a po integraci dostaneme hledaný vztah mezi \(A(t)\) a \(\omega(t)\): \[ A(t) = \frac{B}{\sqrt{\omega(t)}}. \tag{6} \label{eq:Awsol} \] Je-li \(\omega(t)\) pomalá funkce času, je i \(A(t)\) pomalá funkce času.
Udělejme teď předpoklad o časové změně \(\omega\). Nechť má \(\omega(t)\) exponenciální časovou závislost, s charakteristickým časem změny \(1/\alpha\): \[ \omega(t) = \omega_0 \exp(\alpha t), \quad \hbox{tedy} \quad \frac{1}{\omega}\frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t} = \alpha. \] Vyjádřením \(\frac{{\mathrm d}A(t)}{{\mathrm d}t}\) a \(\frac{{\mathrm d}^2 A(t)}{{\mathrm d}t^2}\) pomocí \(\omega\) a \(\alpha\) jako \[ \frac{{\mathrm d}A(t)}{{\mathrm d}t} = -\frac{1}{2}\alpha A(t) \] a \[ \frac{{\mathrm d}^2A(t)}{{\mathrm d}t^2} = \frac{1}{4}\alpha^2 A(t) \] dostaneme z podmínky \(\eqref{eq:podminka}\) \[ 4 \omega \gg \alpha \] \[ 4 \omega \gg \frac{1}{\omega}\frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t} \] tedy relativní změna periody kyvadla za jednu periodu musí být malá, aby bylo možné zanedbat druhou derivaci v rovnici tak, aby platil vztah mezi \(A(t)\) a \(\omega(t)\).
S měnícím se \(\omega\) se bude měnit amplituda výchylky kyvadla a s ní i jeho energie. Ukazuje se, že veličina, která se při pomalé změně \(\omega\) zachovává je integrál akce: \[ S=\oint v\,{\mathrm d}x, \] kde integrace je přes jednu periodu oscilací. Zapsáno jako integrál přes čas, kde \(t_0\) je okamžik, kdy \(x\) je maximální , \(\tau\) je doba trvání kompletního cyklu (uzavření trajektorie ve fázovém prostoru), pak \[ S=\int_{t_0}^{t_0+\tau}v\frac{{\mathrm d}x}{{\mathrm d}t}\,{\mathrm d}t = \ldots = \int_{t_0}^{t_0+\tau}\omega^2 x^2\, {\mathrm d}t \] S řešením ve tvaru \[ x(t)=x(t_0)\sqrt{\frac{\omega(t_0)}{\omega(t)}}\cos\left( \int_{t_0}^{t}\omega(t^{\prime}){\mathrm d}t^{\prime} \right) \] Integrál akce bude \[\begin{gather} S&=&\int_{t_0}^{t_0+\tau}\omega(t^{\prime})^2 \left\{ x(t_0)\sqrt{\frac{\omega(t_0)}{\omega(t^{\prime})}} \cos\left( \int_{t_0}^{t^\prime}\omega(t^{\star}){\mathrm d}t^{\star} \right) \right\}^2 {\mathrm d}t^{\prime} \\ &=& [x(t_0)]^2\omega(t_0) \int_{t_0}^{t_0+\tau} \omega(t^{\prime})\cos^2\left( \int_{t_0}^{t^\prime}\omega(t^{\star}){\mathrm d}t^{\star} \right) {\mathrm d}t^{\prime} \\ &=& [x(t_0)]^2\omega(t_0) \int_0^{2\pi} \cos^2(\xi) {\mathrm d}\xi = \pi [x(t_0)]^2\omega(t_0) = const. \end{gather}\] kde \(\xi = \int_{t_0}^{t^\prime}\omega(t^{\star}){\mathrm d}t^{\star}\) a \({\mathrm d}\xi = \omega(t^{\prime}) {\mathrm d} t^{\prime}\).
\(S\) je plocha ve fázovém prostoru ohraničená trajektorií \(\{x(t), v(t)\}\). Tato plocha je konstatnou pohybu při pomalé změně frekvence kyvadla, je adiabatickým invariantem.
Periodický pohyb a pomalá změna vnějšího parametru vede na adiabatickou invarianci nějaké charakteristické veličiny pro daný systém.
Sledujme fázový prostor matematického kyvadla s měnícím se \(\omega(t)\) podle rovnice \[ \omega(t) = \begin{cases} \omega_0 \exp(\alpha t), & \text{pro } t < t_{\rm f} \\ \omega_0 \exp(\alpha t_{\rm f}), & \text{pro } t \geq t_{\rm f} \\ \end{cases} \] kde \(t_{\rm f}\) je určené tak, aby finální hodnota \(\omega(t_{\rm f}) = \omega_f\) byla násobek \(\omega_0\). Pro \(t_{\rm f}\) platí: \[ t_{\rm f} = \alpha^{-1} \ln(\omega_{\rm f}/\omega_0). \] Řešení budeme hledat pro \[ \varepsilon = \frac{\alpha}{4\omega_0} \in \{0.001, 0.01, 0.1, 0.2, 0.5, 1, 2, 5, 1000\}, \] \[ \frac{\omega_{\rm f}}{\omega_0} = 10.0, \] \[ T_0 = \frac{2\pi}{\omega_0} = 1.0. \] A počáteční podmínku \(x_0 = 1.0\), \(v_0 = 0.0\).
Parametr \(\varepsilon\) (hodnota je v pravém horním okraji grafů) charakterizuje míru rychlosti změny frekvence cyklů. Čím menší \(\varepsilon\) tím pomalejší změna, a tím lépe platí adiabatické zachování plochy \(S\) uvnitř fázové trajektorie částice. Pro pomalou změnu (\(\varepsilon\)=0.001) zůstane \(S\) zachované, pro rychlou změnu (\(\varepsilon\)=1000) je hodnota \(S\) rovná teoretické hodnotě pro případ kdy začínáme pohyb prakticky už s desetinásobnou frekvencí.
Zdrojový kód v pythonu.
Ve fyzice plazmatu mají význam tři adiabatické invarianty.
Dipólový moment \(\mu\) gyrující částice, je a diabatickým invariantem!
Gyrující částice reprezentuje proudovou smyčku s dipólovým momentem \[ \mu = \frac{mv_\perp^2}{2B} \]
Ukážeme že tato veličina má tendenci se zachovávat s měnícím se \({\bf B}\) polem, za předpokladu, že změny \({\bf B}\) pole jsou pomalé ve srovnání s periodou gyrace, nebo pozvolné ve rovnání s poloměrem gyrace, \(\mu\) je adiabatická invariantem.
Podívejme se na zachování kinetické energie částice gyrující ve slabě konvergentním \({\bf B}\) poli. Kinetickou energii částice rozdělíme na složku kolmou a rovnoběžnou \[ W = W_\perp + W_\parallel = \frac{1}{2}m v_\perp^2 + \frac{1}{2}m v_\parallel^2 \]
Pro kolmou složku \(W_\perp=\mu B\), časová změna (\({\rm d}z = v_\parallel {\rm d}t\)) \[ \frac{{\mathrm d}W_\perp}{{\mathrm d}t} = \mu \frac{{\mathrm d}B}{{\mathrm d}t} + B\frac{{\mathrm d}\mu}{{\mathrm d}t} = \mu v_\parallel \frac{{\mathrm d}B}{{\mathrm d}z} + B \frac{{\mathrm d}\mu}{{\mathrm d}t} \]
Pro časovou změnu rovnoběžné složky \(W_\parallel\) započítáme působení síly \(F_z\) podle rovnice \(\eqref{eq:Fz}\): \[ m\frac{{\mathrm d}v_\parallel}{{\mathrm d}t} = F_z = -\mu \frac{{\mathrm d}B}{{\mathrm d}z} \quad \Bigg| \cdot v_\parallel \] \[ \frac{{\mathrm d}W_\parallel}{{\mathrm d}t} = \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\left(\frac{1}{2}m v_\parallel^2\right) = -\mu v_\parallel \frac{{\mathrm d}B}{{\mathrm d}z} \]
Magnetické pole bez elektrického nezmění kinetickou energii částice \[ \frac{{\mathrm d}W}{{\mathrm d}t} = 0 = \frac{{\mathrm d}W_\perp}{{\mathrm d}t} + \frac{{\mathrm d}W_\parallel}{{\mathrm d}t} = \mu v_\parallel \frac{{\mathrm d}B}{{\mathrm d}t} + B \frac{{\mathrm d}\mu}{{\mathrm d}t} - \mu v_\parallel \frac{{\mathrm d}B}{{\mathrm d}z} = 0 \] První a poslední výraz se odečtou, a dostáváme \[ \frac{{\mathrm d}\mu}{{\mathrm d}t} = 0 \]
Magnetický moment se při pohybu částice v pomalu konvergentvním magnetickém poli nemění!!!
Pozorujeme přelévání kinetické energie mezi rovnoběžnou a kolmou složkou kinetické energie.
Bude se \(\mu\) zachovávat i v homogenním magnetickém poli, které v čase sílí, nebo slábne?
Časově proměnné magnetické pole povede na vznik vířivého \({\bf E}\). Uvažme změnu \(W_\perp\) v důsledku tohoto elektrického pole \[ \nabla\times{\bf E} = - \frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \] \[ m\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\left({\bf v}_\perp + {\bf v}_\parallel\right) =q\left({\bf E} + ({\bf v}_\perp + {\bf v}_\parallel )\times {\bf B}\right) \quad \Bigg| \cdot {\bf v}_\perp \] \[ \frac{{\mathrm d}W_\perp}{{\mathrm d}t} = q ({\bf E}\cdot {\bf v}_\perp) \] Změna \(W_\perp\) za periodu gyrace \[ \Delta W_\perp = q \int_0^{T_c} {\bf E} \cdot {\bf v}_\perp\,{\mathrm d}t \simeq q \oint_c {\bf E} \cdot {\mathrm d} {\bf l} = q \int_S (\nabla \times {\bf E} ) \cdot {\mathrm d} {\bf S} = -q \int_S \left(\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\right)\cdot {\mathrm d} {\bf S}. \] Protože \({\bf B} \uparrow\!\downarrow{\bf S}\) můžeme psát (ověřte si, že to platí jak pro kladně tak pro záporně nabitou částici!!!) \[ \Delta W_\perp = -q \int_S \left(\frac{\partial {\bf B}}{\partial t}\right)\cdot {\mathrm d} {\bf S} = q \int_S \left(\frac{\partial B}{\partial t}\right)\,{\mathrm d}S = q \left(\frac{\partial B}{\partial t}\right)S \] Označíme-li \(\Delta B\) změnu B za jednu gyroperiodu, pak \[ \frac{\partial B}{\partial t}\simeq\omega_c\frac{\Delta B}{2\pi} \quad \Longrightarrow \quad \Delta W_\perp = \frac{1}{2}q\omega_c r_c^2 \Delta B = \mu \Delta B \]
Protože \(W_\perp =\mu B\), proto změna \(\Delta W_\perp\) může být buď změnou \(\Delta B\) nebo změnou \(\Delta \mu\): \[ \Delta W_\perp = B \Delta \mu + \mu \Delta B. \] Zároveň platí \[ \Delta W_\perp = \mu \Delta B \] proto \[ \Delta \mu = 0 \]
Magnetický moment \(\mu\) je invariantní i v případě, že částice je urychlovaná polem indukovaným pomalou změnou \(\frac{\partial B}{\partial t}\).
Magnetický moment \(\mu\) je invariantní při pomalé změně magnetického pole. Zkusme najít další veličiny spojené s \(\mu\), které budou díky tomu také adiabaticky invariantní.
Budeme si hrát s výrazem pro gyrační poloměr a chceme najít výraz pro magnetický tok gyrační kružnicí \[ r_c = \frac{m v_\perp}{q B} \quad \Longrightarrow \quad q^2 B^2 \pi r_c^2 = \pi m^2 v_\perp^2 \] \[ \Phi_m = B(\pi r_c^2) = \frac{\pi m^2 v_\perp^2}{q^2 B} = \left(\frac{m\pi}{q^2}\right)\frac{ 2 m v_\perp^2}{2 B} = \frac{2\pi m }{q^2} \mu \] Protože \(\mu\) je adiabaticky invariantním bude invariantní i \(\Phi_m\). Při sílení magnetického pole magnetické indukční čáry houstnou. Gyrující částice mají tendenci zamrznout na dané magnetické indukční čáře. Při houstnoucím magnetickém poli se s přibližujícími se indukčními čarami přibližují také gyrační středy gyrujících částic a jejich gyrační poloměry se zmenšují. Je-li koncentrace částic \(n\) pak ve válcovém objemu o podstavě \(\pi r_c^2\) a délce \(L\) se nachází \(N = n \pi r_c^2 L\) částic. \[ \Phi_m = B \pi r_c^2 = \frac{B}{n}\frac{N}{L} = const. \quad\Longrightarrow\quad B \sim n \] protože \(N\) ani \(L\) se houstnutím magnetického pole nemění, bude koncentrace částic růst lineárně s \(B\).
Sílící \(B\) povede na kompresi plazmatu.
Slábnoucí \(B\) povede na dekompresi plazmatu.
Komprese a dekomprese mají vliv jen na \(W_\perp\) částic a neovlivňuje \(W_\parallel\). Pro ohřev plazmatu je nutné mezi kompresí a dekompresí nechat systém chvíli relaxovat srážkami. Ty převedou část energie uložené po kompresi v \(W_\perp\) do \(W_\parallel\).
Cyklus:
\([:\) \(\longrightarrow\) Komprese \(\longrightarrow\) Relaxace \(\longrightarrow\) Dekomprese \(\longrightarrow\) \(:]\)
vede na magnetický ohřev plazmatu.
Časová škála gyrace \(T_c\) musí být mnohem kratší než časová škála komprese \(T_k\) a ta musí být mnohem kratší než časová škála relaxace plazmatu do tepelné rovnováhy \(T_r\): \[ T_c \ll T_k \ll T_r. \]
Složením dvou proti sobě orientovaných magnetických zrcadel vznikne magnetická nádoba, která se používá na udržení plazmatu.
Jako příklad zařízení které vytváří konfiguraci magnetické nádoby jsou Helmholtzovy cívky. Magnetické pole podél osy \(z\) je dáno \[ B(z) = B_0(1+\delta z^2) + \hbox{h.o.t.} \] liché členy v rozvoji magnetického pole jsou nulové, člen \(z^4\) a vyšší zanedbáme.
Vypusťme v \(z=0\) gyrující elektron v kladném směru osy \(z\) s rychlostí \(v\) tak, že \[ v_{\perp 0} = v \sin(\alpha_0),\quad v_{\parallel 0} = v \cos({\alpha_0}) \]
kde \(\alpha_0\) je úhel který svírá počáteční rychlosti \({\bf v}\) s magnetickými indukčními čarami.
Při \(\alpha_0 = 0\) posíláme částici podél siločáry a magnetické pole na ní nemá vliv. Taková částice projde zrcadlem skrz.
Při \(\alpha_0 = \pi/2\) nemá částice žádnou podélnou složku rychlosti a bude sedět (gyrovat) uprostřed magnetické nádoby. Vypustíme-li ji mimo střed nádoby, bude vytlačována ze sílícího magnetického pole.
Analyzujme případ kdy \(\alpha_0 \in (0, \pi/2)\), kdy částice se vydá vstříc zrcadlu! Částice se vydává vstříc zrcadlu rychlostí \(v_{\parallel 0} = v \cos({\alpha_0})\) a v důsledku silového působení radiální složky magnetického pole se kinetická energie \(W_\parallel\) postupně přelévá do \(W_\perp\). \(v_{\parallel 0}\) klesá, v místě kde \(v_{\parallel 0}=0\) se částice odrazí a je postupně urychlována zpět. Celková kinetická energie částice musí být zachována, \[ W_0 = W_{\rm m} \] v místě odrazu (mirror point) tedy musí být kinetická energie částic kompletně reprezentována gyrací \(v_{\parallel {\rm m}}=0\)), tedy \[ \frac{1}{2}m v^2_{\perp 0} + \frac{1}{2}m v^2_{\parallel 0} = \frac{1}{2}m v^2_{\perp {\rm m}} + 0 \]
Kromě kinetické energie částice se adiabaticky zachová i magnetický moment \[ \mu_0 = \mu_m \quad \Longrightarrow \quad \frac{m v_{\perp 0}^2}{2B_0} = \frac{m v_{\perp m}^2}{2B_m} = \frac{m v_{\perp m}^2}{2B_0(1+\delta z_m^2)} \] Řešením poslední rovnice pro polohu zrcadlového bodu \[z_m = \frac{v_{\parallel 0}}{v_{\perp 0}\sqrt{\delta}} = \frac{1}{\tan{\alpha_0}\sqrt{\delta}} \] Bod odrazu závisí pouze na nehomogenitě pole \(\delta\) a úhlu \(\alpha_0\).
Ze zachování \(\mu\) můžeme rovnou odvodit zrcadlovou rovnici: \[ \frac{\sin^2(\alpha_0)}{B_0} = \frac{\sin^2(\alpha_m)}{B_m} \] kde při odrazu je \(\sin^2(\alpha_m) = 1\) \[ \frac{\sin^2(\alpha_0)}{B_0} = \frac{1}{B_m} \]
částice vstříknuté do magnetické nádoby pod úhlem \(\alpha_0\) do magnetického pole \(B_0\) se odrazí, vzroste-li magnetické pole alespoň na hodnotu \(B_m\), jinak magnetickým zrcadlem projde skrz.
je-li zadané \(B_0\) a \(B_m\), pak částice s \(\alpha < \alpha_0\) zrcadlem projdou (únikový kužel).
Tři periodické pohyby nabitých částic zachycených v magnetickém poli Země:
Gyrace
Bouncing mezi zrcadly
Drift ve vakuovém \({\bf B}\) poli
Magnetická bouře je důsledkem interakce zemské magnetosféry s rázovou vlnou slunečního větru. Při MB hustota částic zachycených v magnetickém poli země výrazně roste, roste prstencový proud, který dále zeslabuje magnetické pole země. Nabité částice pak mohou pronikat blíže k povrchu Země, vznik polární záře.
Další periodický pohyb který vede na zajímavý adiabatický invariant jsou odrazy mezi zrcadly v magnetické nádobě, tzv. bouncing, s ním je spojený adiabatický invariant \(J\): \[J = \oint v_\parallel\, {\rm d} l \simeq 2L v_\parallel =const. \] kde \(L\) je vzdálenost mezi zrcadly. Bude-li vzdálenost mezi zrcadly pomalu klesat, bude se zvyšovat \(v_\parallel\). Do částic držených v magnetické nádobě je tak možné pumpovat energii (Fermiho urychlování 1. druhu). Maximální energie, které lze dosáhnou je dána parametry zrcadla. Se zvyšováním \(v_\parallel\) se urychlovaná částice po čase ocitne v únikovém kuželu a z magnetické nádoby uteče.
Třetí adiabatický invariant je spojený s periodou driftjících částic prstencového proudu. Magnetický tok proudovou smyčnou kterou prstencový proud vytváří je konstantní:
\[\Phi_m = \int {\bf B} \cdot\, {\rm d} {\bf S}.\]
Střední doba oběhu částic v prstencovém proudu je přibližně hodina. Kladně nabité částice driftují západním směrem a záporně nabité driftují východním. Poznamenejme, že magnetické pole Země není vždy tak klidné aby se \(B\) měnilo adiabaticky vzhledem k periodě částic v prstencovém proudu.