Zima 2020/2021
Měřitelné vlastnosti plazmatu jako rychlost, hustota a podobně nemouhou být popsány na základě jednočásticové analýzy. Potřebujeme nástroj, který nám umožňují popsat velký soubor částic. Tím nástrojem je statistická fyzika.
Efektivní způsob popisu velkého souboru částic je pomocí pravděpodobností rozdělovací funkce. Takový způsob popisu se nazývá kinetická teorie plazmatu (KTP). KTP je založena na sledování vývoje rozdělovací funkce, která udává počet částic v daném elementru prostoru s danými složkami rychlosti \(f({\bf r}, {\bf v}, t)\). Rozdělovací funkce \(f({\bf r}, {\bf v}, t)\) žije v 6-rozměrném fázovém prostoru.
Poloha každé částice v (konfiguračním) prostoru je dána polohovým vektorem \[ {\bf r} = \hat{\bf x} x + \hat{\bf y} y + \hat {\bf z} z \] a každá částice má rychlost \[ {\bf v} = \hat{\bf x} v_x + \hat{\bf y} v_y + \hat {\bf z} v_z \]
\({\bf r}\) a \({\bf v}\) jsou ve fázovém prostoru nezávislé proměnné!
ve fázovém prostoru je tedy částice popsána 6 souřadnicemi: \[ \{x,y,z,v_x,v_y,v_z\} \]
rozdělovací funkce \(f({\bf r}, {\bf v}, t)\) reprezentuje hustotu pravděpodobnosti ve fázovém prostoru.
Pravděpodobný počet částic, který nalezneme v čase \(t\) v objemovém elementru \({\rm d} {\bf r}\) kolem bodu \({\bf r}\) s tím že tyto částice budou mít rychlost v rozmezí \({\rm d} {\bf v}\) kolem \({\bf v}\) je \[ f({\bf r}, {\bf v}, t)\,{\rm d} {\bf r}\,{\rm d} {\bf v} \]
Zintegrujeme-li \(f({\bf r}, {\bf v}, t)\) přes všechny rychlosti, najdeme celkový počet částic v objemovém elementu \({\rm d} {\bf r}\) \[\begin{gather} \hbox{Počer částic v elementu ${\rm d} {\bf r}$} &=&\int_{-\infty}^{\infty} f({\bf r}, {\bf v}, t) \,{\rm d} {\bf v} \,{\rm d} {\bf r} = \\ &=& \iiint\limits_{-\infty}^{\infty} f({\bf r}, {\bf v}, t) \, {\rm d}v_x\, {\rm d}v_y \, {\rm d}v_z \, {\rm d}{\bf r} \\ \end{gather}\]
\(f({\bf r}, {\bf v}, t)\) musí být:
Popis částic v plazmatu rozdělovací funkcí je obecný. Speciální případy funkce \(f({\bf r}, {\bf v}, t)\) jsou:
Získáme jako střední hodnotu fyzikální veličiny \(g({\bf r},{\bf v}, t)\), průměrovanou přes rozdělovací funkci: \[ g_{\rm av}({\bf r}, t) \equiv \langle g({\bf r},{\bf v}, t) \rangle_{{\bf v}} = \frac{1}{n({\bf r},t)} \int g({\bf r},{\bf v}, t)\, f({\bf r},{\bf v}, t) \, {\rm d} {\bf v} \]
Hustota částic (koncentrace): \(g({\bf r},{\bf v}, t) = 1\)
\[ n({\bf r},t) = \int f({\bf r},{\bf v}, t) \, {\rm d} {\bf v} \]
Střední rychlost: \({\bf g}({\bf r},{\bf v}, t) = {\bf v}\)
\[{\bf u}({\bf r}, t) = \frac{1}{n({\bf r},t)} \int {\bf v} \, f({\bf r},{\bf v}, t) \, {\rm d} {\bf v} \]
\[ \langle v_i\rangle_{{\bf v}} = \frac{1}{n({\bf r},t)} \int v_i \, f({\bf r},{\bf v}, t) \, {\rm d} {\bf v} \]
Střední hybnost: \({\bf g}({\bf r},{\bf v}, t) = {\bf p} = m {\bf v}\)
\[{\bf p}_{\rm av}({\bf r}, t) = \frac{1}{n({\bf r},t)} \int m {\bf v} \, f({\bf r},{\bf v}, t) \, {\rm d} {\bf v} \]
Střední energie: \(g({\bf r},{\bf v}, t) = \frac{1}{2}mv^2\)
\[ \varepsilon({\bf r}, t) = \frac{1}{n({\bf r},t)} \int \frac{1}{2}mv^2 \, f({\bf r},{\bf v}, t) \, {\rm d} {\bf v} \]
Obecně můžeme definovat (N-tý) moment distribuční funkce: \[\begin{gather} M^N_{ij\ldots k} (\mathbf{r}, t) = \int_v v_i v_j \ldots v_k f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)\, {\rm d} {\bf v} \end{gather}\]
Z definice průměru jako integrálu vyplývají tyto pravidla: \[\begin{gather} \langle k \cdot a(\mathbf{v})\rangle = k \cdot \langle a(\mathbf{v})\rangle\\ \langle a(\mathbf{v}) + b(\mathbf{v}) \rangle = \langle a(\mathbf{v})\rangle + \langle b(\mathbf{v})\rangle \\ \langle\langle a(\mathbf{v})\rangle\rangle = \langle a(\mathbf{v})\rangle \end{gather}\]
Obecně: \[\begin{gather} \langle\phi \varphi\rangle \neq \langle\phi\rangle \langle\varphi\rangle \end{gather}\]
Pro názornost uvažujme jednorozměrný prostor. Jak částice driftují ve fázovém prostoru nebo se pohybují pod vlivem makroskopické síly, proudí dovnitř a ven z pevného objemu \({\rm d}x\,{\rm d}v_x\) .
Za dobu \({\rm d}t\):
kde \(a_x\equiv{\rm d}v_x/{\rm d}t\) a \(v_x \equiv {\rm d}x/{\rm d}t\) jsou rychlosti toku ve směrech \(v_x\) a \(x\). Tedy změna počtu částiv v objemovém elementu fázového prostoru \({\rm d}x\,{\rm d}v_x\) mezi časy \(t\) a \(t+ {\rm d}t\) bude \[\begin{align} f(x,v_x&,t+{\rm d}t)\,{\rm d}x\,{\rm d}v_x - f(x,v_x,t)\,{\rm d}x \,{\rm d}v_x=\\ [f(&x,v_x,t)\,a_x(x,v_x,t)- f(x,v_x+{\rm d}v_x,t) \, a_x(x,v_x+{\rm d}v_x,t)] \,{\rm d}x \, {\rm d}t\\ & + [f(x,v_x,t)\, v_x - f(x+{\rm d}x,v_x,t)\, v_x] \,{\rm d}v_x \, {\rm d}t. \\ \end{align}\] Podělením \({\rm d}x\,{\rm d}v_x\,{\rm d}t\) dostaneme \[ \frac{\partial f}{\partial t} = -\frac{\partial (v_x f)}{\partial x} - \frac{\partial (a_x f)}{\partial v_x}. \] V třírozměrném zobecnění \[ \frac{\partial f}{\partial t} + \nabla\cdot({\bf v} f) + \nabla_{\!{\bf v}}\cdot({\bf a} f) = 0. \] kde \[ \nabla \equiv \hat{\bf x}\partial/\partial x+\hat{\bf y}\partial/\partial y+\hat{\bf z}\partial/\partial z \] a \[ \nabla_{\!{\bf v}}\equiv \hat{\bf x}\partial/\partial v_x+\hat{\bf y}\partial/\partial v_y+\hat{\bf z}\partial/\partial v_z. \]
Protože \({\bf r}\) a \({\bf v}\) jsou ve fázovém prostoru nezávislé veličiny platí komutační relace \[ {\bf v} \cdot \nabla (f) = \nabla\cdot({\bf v} f). \] Zrychlení částic o hmotnosti \(m\) je dáno Lorentzovou silou \[ {\bf a} = \frac{q}{m}({\bf E} + {\bf v} \times {\bf B}). \] protože \(({\bf v} \times {\bf B})_i = v_j B_k - v_k B_j\) nezávisí na \(v_i\), členy \[ \frac{\partial ({\bf v} \times {\bf B})_i}{\partial v_i} \equiv 0 \] proto platí také \[ {\bf a} \cdot \nabla_{\!{\bf v}}(f) = \nabla_{\!{\bf v}}\cdot({\bf a} f). \]
Dostáváme bezsrážkovou Boltzmannovu kinetickou rovnici: \[ \frac{\partial f}{\partial t} + {\bf v}\cdot \nabla f + {\bf a} \cdot\nabla_{\!{\bf v}}f = 0, \tag{1} \label{eq:BKR0} \]
Lagrangeovský přístup o odvození BKR:
Počet částic (typu \(\alpha\)) v objemovém elementu fázového prostoru \({\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v}\) je
\[f({\bf r}, {\bf v}, t)\, {\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v}\]
Budeme uvažovat malou změnu za \({\rm d }t\) polohy a rychlosti částic \[\begin{align} {\bf r}^{\prime}( t + {\rm d }t) & = {\bf r}(t) + {\bf v}(t)\, {\rm d }t \\ {\bf v}^{\prime}( t + {\rm d }t) & = {\bf v}(t) + {\bf a}(t)\, {\rm d }t \\ \tag{2} \label{eq:trans} \end{align}\]
Za předpokladu absence interakcí (srážek) je
\[\# \hbox{částic v } t = \# \hbox{částic v } t + {\rm d }t\]
Sledujeme stejné částice, jejich počet se tedy zachová \[ f({\bf r}, {\bf v}, t)\, {\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v} = f({\bf r}^{\prime}, {\bf v}^{\prime}, t+{\rm d }t)\, {\rm d} {\bf r}^{\prime}\, {\rm d} {\bf v}^{\prime} \tag{3} \label{eq:ftrans} \] ale element objemu se trochu změní
\[ {\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v} \longrightarrow {\rm d} {\bf r}^{\prime}\, {\rm d} {\bf v}^{\prime}\]
Sledujeme trajektorie částic kdy se nečárkované \({\bf r}\) a \({\bf v}\) mění na čárkované podle transformace \(\eqref{eq:trans}\) \[ ({\bf r} , {\bf v}) \longrightarrow ({\bf r}^{\prime} , {\bf v}^{\prime}) \] je to izochorická transformace souřadnic, pro kterou platí \[ {\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v} = |J| {\rm d} {\bf r}^{\prime} \, {\rm d} {\bf v}^{\prime} \quad \hbox{kde} \quad |J| = 1, \] kde \(J\) je jakobián, této transformace. Z \(\eqref{eq:ftrans}\) dostaneme \[ |f({\bf r}^{\prime}, {\bf v}^{\prime}, t+{\rm d }t) - f({\bf r}, {\bf v}, t)| \, {\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v} = 0. \tag{4} \label{eq:zmena} \] \(f({\bf r}^{\prime}, {\bf v}^{\prime}, t+{\rm d }t)\) vyjádříme Taylorovým rozvojem pomocí nečárkovaných proměnných: \[\begin{align} f({\bf r} + & {\bf v}\,{\rm d }t, {\bf v} +{\bf a}\,{\rm d }t, t + {\rm d }t) = f({\bf r}, {\bf v}, t) \\ &+\left[\frac{\partial f}{\partial t} + v_x\frac{\partial f}{\partial x} + v_y\frac{\partial f}{\partial y} + v_z\frac{\partial f}{\partial z} \right. \\ &\quad \left. {} + a_x\frac{\partial f}{\partial v_x} + a_y\frac{\partial f}{\partial v_y} + a_z\frac{\partial f}{\partial v_z} \right] {\rm d}t + \hbox{h.o.t} \\ \end{align}\] Při zanedbání členů vyšších řádů musí být závorka rovna nule, protože platí \(\eqref{eq:zmena}\) bude pro každý element \({\rm d} {\bf r}\, {\rm d} {\bf v}\) platit: \[ \frac{\partial f({\bf r}, {\bf v}, t)}{\partial t} + {\bf v}\cdot \nabla f({\bf r}, {\bf v}, t) + {\bf a} \cdot\nabla_{\!{\bf v}}f({\bf r}, {\bf v}, t) = 0, \]
protože \[ v_x\frac{\partial f}{\partial x} + v_y\frac{\partial f}{\partial y} + v_z\frac{\partial f}{\partial z} = {\bf v} \cdot \nabla f, \] \[ a_x\frac{\partial f}{\partial v_x} + a_y\frac{\partial f}{\partial v_y} + a_z\frac{\partial f}{\partial v_z} = {\bf a} \cdot \nabla_{\!{\bf v}}f. \]
Vlasovova rovnice (VR) je forma bezsrážkovové Boltzmannovy rovnice.
\[ \frac{\partial f}{\partial t}+{\bf v}\cdot\nabla f+ \frac{1}{m}\left[ {\bf F}_{\rm ext}+q({\bf E}_i+{\bf v}\times{\bf B}_i)\right] \cdot\nabla_{\!{\bf v}}f = 0, \tag{5} \label{eq:VR} \] Pohyb částic je v ní způsoben silou, která je kombinací vnějších polí \({\bf F}_{\rm ext}\) a markoskopicky (přes čas a prostor) vystředovaných vnitřních polí. \({\bf E}_i\) a \({\bf B}_i\) jsou (interní) elektrické a magnetické pole od nabitých částic v plazmatu, dané řešením Maxwellových rovnic \[\begin{align} \nabla \cdot \mathbf {E}_i = {\frac {\rho }{\varepsilon _{0}}} \quad \quad & \quad \quad \nabla \times \mathbf {E}_i = -{\frac {\partial \mathbf {B}_i }{\partial t}}\\ \nabla \cdot \mathbf {B}_i = 0 \quad\quad & \quad \quad \nabla \times \mathbf {B}_i = \mu _{0}\left(\mathbf {J} +\varepsilon _{0}{\frac {\partial \mathbf {E}_i }{\partial t}}\right) \tag{6} \label{eq:Maxwell} \end{align}\] kde \(\rho\) je hustota nánoje v plazmatu a \({\bf J}\) je hustota elektrického proudu: \[\begin{align} \rho({\bf r}, t) &= \sum\limits_\alpha q_{\alpha} n_{\alpha}({\bf r}, t) = \sum\limits_\alpha q_\alpha \int_{v} f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v}, t)\,{\rm d}{\bf v} \\ {\bf J}({\bf r}, t) &= \sum\limits_\alpha q_{\alpha} n_{\alpha}({\bf r}, t) {\bf u}_{\alpha}({\bf r}, t) = \sum\limits_\alpha q_\alpha \int_{v} {\bf v} f_{\alpha}({\bf r}, {\bf v}, t)\,{\rm d}{\bf v} \tag{7} \label{eq:sources} \end{align}\] * \(\sum\limits_\alpha\) je přes jednotlivé typy nabitých částic v plazmatu
\({\bf u}_\alpha\) je makroskopická střední rychlost částic typu \(\alpha\)
Rovnice \(\eqref{eq:VR}+\eqref{eq:Maxwell}+\eqref{eq:sources}\) představuje kompletní systém self-konzistentních rovnic, které je nutné řešit najednou.
VR nezahrnuje binární srážky, část vlivu interakce je zahrnuta započítáním \({\bf E}_i\) a \({\bf B}_i\) polí.
VR řeší klasickou dynamiku mnohačásticového systému, ve kterém jsou kolektivní interakce (střední pole) vlivem dalekodosahových sil jednotlivých částic mnohem významnější než binární srážky (srážkový člen).
Částice může `náhle’ změnit rychlost díky srážce s jinou částicí (binární srážka). O srážce se předpokládá, že se odehraje na velice krátkém časovém měřítku: doba vzájemné interakce částic je krátká ve srovnání s časem na kterém se mění \(f\), srážky lze považovat za událost, která mění rychlost částic okamžitě.
Tento vliv, který mění distribuční funkci \(f\) , započítáváme přidáním srážkového členu na pravou stranu rovnice \(\eqref{eq:BKR0}\): \[ \frac{\partial f}{\partial t} + {\bf v}\cdot \nabla f + {\bf a} \cdot\nabla_{\!{\bf v}}f = \left[\frac{\delta f}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}}. \tag{2} \label{eq:BKR} \]
Srážkový člen pro změnu rozdělovací funkce částic typu \(\alpha\) v důsledku srážek s částicemi typu \(\beta\) má tvar:
\[ \left[\frac{\delta f_\alpha}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}} = \sum\limits_\beta \int\limits_{v_1} \int\limits_\Omega \big(f_\alpha({\bf r}, {\bf v}^\prime,t) f_{\beta}({\bf r}, {\bf v}_1^\prime,t) - f_\alpha({\bf r}, {\bf v},t) f_{\beta}({\bf r}, {\bf v}_1,t)\big) \, {\rm d} {\bf v}_1 \, g \, \sigma(\Omega)\, {\rm d} \Omega, \] kde \(g\) je vzájemná rychlost částic, \(\sigma\) je účinnný srážkový průřez. Integrace probíhá přes rychlostní prostor částic typu \(\beta\) a rozptyly do všech možných úhlů.
Boltzmannova rovnice je tedy integro-diferenciální rovnicí, ve které jsou integrály a parciální derivace hledané distribuční funkce.
V systému který je složený z více typů částic máme BKR pro každý typ částic. Pro ionizovaný plyn s elektrony, ionty a jedním typem nutrálů máme tři Boltzmannovy rovnice které jsou vzájemně provázané přes srážkové členy. V Boltzmannově rovnici pro elektrony, bude kolizní člen obsahovat rozdělovací funkci pro elektrony \(f_e\), pro ionty \(f_i\) a rozdělovací funkci pro neutrály \(f_n\). V srážkovém členu jsou tyto funkce v součinu. Boltzmannova rovnice je tedy zároveň nelineární .
V systému který obsahuje jen jeden typ částic sumace přes částice typu \(\beta\) zmizí a ve srážkovém členu zůstane jen součin částic stejného typu.
Vliv srážek v BKR je možné uvážit pomocí relaxačního modelu. Model předpokládá, že srážky rozdělovací funkci (systém) vrací do rovnováhy. Rozdělovací funkce charakterizující rovnováhu nechť je \(f_0({\bf r}, {\bf v})\), tato rozdělovací funkce se nemění v čase.
Rozdělovací funkce \(f({\bf r}, {\bf v}, t)\) se bude přibližovat funkci \(f_0({\bf r}, {\bf v})\) s charakteristickým relaxačním časem \(\tau =\nu^{-1}\), spjatým s relaxační srážkovou frekvencí \(\nu\). \[ \left[\frac{\delta f}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}} = - \frac{f-f_0}{\tau} \]
Uvažme BKR bez prostorových gradientů a bez působení vnějších sil: \[ \frac{\partial f}{\partial t} = - \frac{f-f_0}{\tau} \quad \Longrightarrow \quad \frac{\partial f}{\partial t} + \frac{f}{\tau} = \frac{f_0}{\tau} \] Homogenní řešení je \[ f_{\rm H} = C\exp\left(\frac{-t}{\tau}\right) \] a variací konstanty \(C\) dostaneme: \[ f({\bf v}, t) = f_0 + [f({\bf v}, 0)-f_0]\exp\left(-\frac{t}{\tau}\right), \] kde \(f({\bf v}, 0)\) je rozdělovací funkce v čase \(t=0\).
Rozdíl mezi \(f({\bf v}, t)\) a \(f_0\) exponenciálně klesá s charakteristickým časem \(\tau\) daným relaxační srážkovou krekvencí.
Krookův srážkový člen je jednoduchý ale užitečný model srážkového členu v BKR. Je použitelný např. ve slabě ionizovaném plazmatu, kde jsou dominantní srážky mezi elektrony a neutrály.
v Krookově srážkovém členu mají všechny procesy stejný relaxační čas. Ve skutečnosti tomu tak nebude, různé veličiny charakterizující částice (hybnost, energie,\(\ldots\)) relaxují různě rychle, např. energie částice \(\varepsilon\) relaxuje mnohem pomaleji než její hybnost \({\bf p}\): \[\tau_\varepsilon > \tau_{{\bf p}}.\] Krookův srážkový člen je tedy aproximací srážkových procesů v BKR. a 0
Příklad: Relaxace jednorozměrné rozdělovací funkce tvaru \[v_0f(v/v_0)=\frac{1}{\sqrt{2\pi}(\sigma/v_0)}\exp\left(-\frac{(v/v_0-w)^2}{2(\sigma/v_0)^2}\right) \]
z počátečního stavu \(f_{\rm ini}\) při \(w=1\) a \((v_0/\sigma)^2\) = 20.
do rovnovážného stavu daného rozdělovací funkcí \(f_{\rm eq}\) při \(w=0\) a \((v_0/\sigma)^2\) = 10.
BKR s elektrickým polem \({\bf E}\) a srážkovými členy:
Elektrické pole nám udává význačný směr: rozvoj rozdělovací funkce do legendreových polynomů:
Dostaneme hierarchii rovnic pro expanzní koeficienty:
kde
Pravé strany zachycují vliv srážek s neutrálními částicemi.
Z řešení můžeme spočítat makroskopické parametry:
