Pozn.: doslova každé proměnné v teto části náleží částicový index \(\alpha\), já ho vynechám
Makroskopické veličiny, jako jsou například koncentrace, driftová rychlost, tlak, termální energie, atd., jsou výsledkem pohybu a interakcí velkého množství částic. Každá částice je, v klasickém ne-kvantovém smyslu, charakterizovaná bodem ve fázovém prostoru, t.j. má svoji polohu (\(x, y, z\)) a svoji rychlost. V této kapitole si ukážeme jak propojit mikroskopický pohled na částice (body ve fázovým prostoru) s makroskopickým pohledem.
Přestavme si nějakou veličinu, která má definované hodnoty v každém bode fázového prostoru a v čase, a nazvěme ji \(\chi (\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)\). Může to být například kinetická energie, nebo jiná veličina, která může být definovaná pro každou částici podle toho kde se částice nachází a jakou má rychlost. Když bychom chtěli spočítat celkovou hodnotu \(\chi (\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)\) v daném čase, tak bychom museli sečíst \(\chi (\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)\) přes všechny částice. Když máme velký soubor částic, který je spojitě rozložen ve fázovém prostoru, můžeme tuhle sumu přes částice zapsat jako integrál. To kolik částic má jakou polohu a jakou rychlost nám říká distribuční funkce \(f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t)\). Celková hodnota \(\chi\) v systéme je daná integrálem: \[\begin{gather} \sum_{i \in \mathrm{částice}} \chi(\mathbf{r}_i, \mathbf{v}_i, t) \approx \int \chi(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 r \mathrm{d}^3 v, \end{gather}\] kde integrujeme přes celý fázový prostor.
Pokud bychom si chtěli zachovat prostorou závislost naší veličiny, tak v každém elementu objemu \(\mathrm{d}^3 r\) bychom měli celkovou hodnotu \(\chi\): \[\begin{gather} \mathrm{d}^3 r \int \chi(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v \end{gather}\] Samozřejmě, tohle číslo je závisle na velikosti elementu objemu a není příliš praktické, mnohem lepší by bylo zavést průměrnou hodnotu. Vzhledem k tomu, že počet částic v elementu objemu je možné zapsat přes koncentraci jako \(\mathrm{d}^3 r n(\mathbf{r}, t)\), tak průměrná hodnota \(\chi\) je: \[\begin{gather} \langle \chi \rangle (\mathbf{r}, t) = \frac{1}{n(\mathbf{r}, t)} \int_v \chi(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v, \end{gather}\] kde používáme \(\langle\cdot\rangle\) pro průměrování přes rychlostní prostor.
Z definice průměru jako integrálu vyplývají tyto pravidla: \[\begin{gather} \langle k \cdot a(\mathbf{v})\rangle = k \cdot \langle a(\mathbf{v})\rangle\\ \langle a(\mathbf{v}) + b(\mathbf{v}) \rangle = \langle a(\mathbf{v})\rangle + \langle b(\mathbf{v})\rangle \\ \langle\langle a(\mathbf{v})\rangle\rangle = \langle a(\mathbf{v})\rangle \end{gather}\]
Obecně: \[\begin{gather} \langle\phi \varphi\rangle \neq \langle\phi\rangle \langle\varphi\rangle \end{gather}\]
Pro \(\chi = \mathbf{v}\) dostáváme: \[\begin{gather} \mathbf{u}(\mathbf{r}, t) = \langle v\rangle = \frac{1}{n(\mathbf{r}, t)} \int_v \mathbf{v} f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v \end{gather}\] průměrnou rychlost.
Pro definici teploty a tlaku zavádíme tzv. náhodnou rychlost: \[\begin{gather} \mathbf{c} = \mathbf{v} - \mathbf{u} \end{gather}\]
Z této definice vyplývá: \[\begin{gather} \langle\mathbf{c}\rangle = \langle\mathbf{v}\rangle - \langle\mathbf{u}\rangle = \mathbf{u} - \mathbf{u} = 0 \end{gather}\]
V teto části si ukážeme mikroskopickou interpretaci skalárního tlaku, v další části definici tlaku zobecníme na tenzor.
Tlak je typická makroskopická veličina a vetšinou se definuje jako sila na plochu. Pokud bychom uvazovali plyn v uzavřené nádobě, je patrné, že tato sila musí být důsledkem změny hybnosti částic narážejících na stenu. Jestli je tlak “síla na jednotku plochy” a síla je “hybnost na jednotku času”, pak tlak je možné chápat jako “hybnost dodaná na plochu za jednotku času”, to se taky nazývá “tok hybnosti”.
Uvažujme jednoduchou stěnu s normálou v směru \(x\), kde probíhají elastické odrazy nalétávajících částic. Částice, která narazí na stěnu změní svoji rychlost o \(2v_{x}\), jak ilustruje obrázek . Uvažujme částice v intervalu rychlosti \([v_{x}, v_{x} + \mathrm{d}v_{x}]\). Tyto částice v tomto infinitesimálním intervalu přispívají do toku hybnosti: \[\begin{gather} \mathrm{d}\Pi(v_x) = \Delta p \mathrm{d}\Gamma(v_x) = 2 m v_x \mathrm{d}\Gamma(v_x), \end{gather}\] kde \(\Pi\) je tok hybnosti, \(\mathrm{d}\Gamma(v_{x})\) je diferenciál částicového toku – počet částic, které narazí na plochu za jednotku času s rychlostmi v intervalu \([v_{x}, v_{x} + \mathrm{d}v_{x}]\): \[\begin{gather} \mathrm{d}\Gamma(v_x) = \frac{\mathrm{d}N(v_x)}{S t}, \end{gather}\] kde \(\mathrm{d}N(v_x)\) je počet částic v našem infinitesimálním intervalu rychlosti, které narazí na plochu \(S\) za čas \(t\). Počet částic můžeme také vyjádřit pomoci distribuční funkce: \[\begin{gather} \mathrm{d}N(v_x) = V f(v_x) \mathrm{d}v_x = \Delta l S f(v_x) \mathrm{d}v_x = v_x t S f(v_x) \mathrm{d}v_x, \end{gather}\] kde by rovnosti měli být patrné z obrázku .
Tok je tedy možné vyjádřit jako: \[\begin{gather} \mathrm{d}\Gamma(v_x) = v_x f(v_x) \mathrm{d}v_x, \end{gather}\] to by nemělo nikoho překvapit.
Použitím tohoto vztahu jako příspěvek toku hybnosti dostáváme: \[\begin{gather} \mathrm{d}\Pi(v_x) = 2 m v_x^2 f(v_x) \mathrm{d}v_x. \end{gather}\]
Pro získaní celkového toku hybnosti musíme integrovat přes všechny částice, které mají šanci se ke stěně dostat, t.j. mají rychlost směřující ke stene, \(v_x > 0\): \[\begin{gather} \Pi = \int_0^\infty 2 m v_x^2 f(v_x) \mathrm{d}v_x \end{gather}\]
Uvažme, že neexistuje preference v pohybu ve směru \(+x\) a \(-x\), pak distribuční funkce musí být symetrická \(f(v_x) = -f(v_x)\) a můžeme změnit integrační meze za cenu faktoru \(2\): \[\begin{gather} \Pi = \int_{-\infty}^\infty m v_x^2 f(v_x) \mathrm{d}v_x = m n \langle v_x^2\rangle \end{gather}\]
Výsledek je možné zobecnit do 3D a když uvážíme, že energie se v izotropních systémech rozloží symetricky do směrů, t.j. \(\langle v_x^2\rangle = \frac{\langle v^2\rangle}{3}\): \[\begin{gather} \Pi(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{3} m n \langle v^2\rangle = \frac{1}{3} m \int_v v^2 f(\mathbf{r}, v, t) \mathrm{d}^3 \mathbf{v}, \end{gather}\] to je kinetická definice skalárního tlaku, která nám mimo jiné dovoluje vypočítat tlak na libovolném miste (lokálně) – stěna není důležitá.
Podívejme se trochu blíže na tok hybnosti, který jsme v předchozí části asociovali s tlakem. Předpokládali jsme, že přes naši plochu se může přenášet jenom hybnost rovnoběžná s normálou plochy. Obecně tomu tak ale být nemusí a můžeme definovat, např., přenos \(x\)-ové složky hybnosti přes plochu, která má normálu v směre \(z\) za jednotku času a byla by daná integrálem: \[\begin{gather} \Pi_{xz} = m n \langle v_x v_z\rangle \end{gather}\]
Definujme tedy tok hybnosti jako tenzorovou veličinu: \[\begin{gather} \Pi_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = m n \langle v_i v_j\rangle = m \int_v v_i v_j f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v \end{gather}\]
Rozdělme rychlost na rychlost průměrnou a náhodnou: \[\begin{gather} v_i = \langle v_i\rangle + c_i = u_i + c_i \\ \Pi_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = m n \langle u_i u_j\rangle + m n \langle u_i c_j\rangle + m n \langle c_i u_j\rangle + m n \langle c_i c_j\rangle \end{gather}\]
Z definice náhodné rychlosti je: \[\begin{gather} m n \langle u_i c_j\rangle = m n \langle c_i u_j\rangle = m n u_i \langle c_j\rangle = 0, \end{gather}\] a hybnostný tok se nám rozpadne dvě složky: \[\begin{gather} \Pi_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = m n \langle u_i u_j\rangle + m n \langle c_i c_j\rangle. \end{gather}\]
První část je konvektivní – hybnost “nese samu sebe”, druhou část budeme nazývat tenzor tlaku a značit: \[\begin{gather} P_{ij} = m n \langle c_i c_j\rangle \end{gather}\] Rozdíl mezi tlakem a hybnostním tokem je, že tlak je vyvolaný jenom termálními rychlostmi částic a ne celkovým pohybem plynu. Je dobré si všimnout, že tenzory tlaku (i hybnostního toku) jsou symetrické tenzory – můžeme vyměnit indexy \(i\) a \(j\) beze změny na hodnotě složky tenzoru.
Klasicky skalární tlak je součástí tenzoru tlaku a je definovaný jako: \[\begin{gather} p = \frac{1}{3} \mathrm{Tr}(P) = \frac{1}{3} m n \langle c_x^2 + c_y^2 + c_z^2\rangle = \frac{1}{3} m n \langle c^2\rangle \end{gather}\] kde \(\mathrm{Tr}(P)\) je stopa tenzoru \(P\), t.j. suma prvků na diagonále, \(\sum_{i} P_{ii}\).
Tlak v plazmatu (jak později uvidíme) nemusí být izotropní a diagonální elementy tenzoru tlaku můžou mít různé hodnoty. Co se týče nediagonálních elementů tenzoru tlaku, možná vám přijde koncept přenosu hybnosti přes jiný směr jako je směr dané hybnosti divný, pak následující obrázek může být užitečný .
Sílu na jednotku plochy z tenzoru tlaku dostaneme jak: \[\begin{gather} \frac{\mathbf{F}}{S} = - P \cdot \mathbf{\hat{n}} = - m n \langle\mathbf{c} (\mathbf{c} \cdot \mathbf{\hat{n}})\rangle, \end{gather}\] kde mínus je z důvodu konvence orientace normálového vektoru uzavřené plochu, který směřuje ven z objemu.
Pro získaní síly, která působí v objemu plynu vlivem náhodného pohybu částic můžeme integrovat přes uzavřenou plochu okolo daného objemu a použit Stokesův teorém (Gauss-Ostrogradského věta): \[\begin{gather} \mathbf{F} = -\oint_{\partial V} P \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = - \int_V \nabla \cdot P \mathrm{d}^3 r, \end{gather}\] a můžeme zavést hustotu síly (síla na jednotku objemu): \[\begin{gather} \mathbf{f} = - \nabla \cdot P \end{gather}\]
Teplota se v termodynamice definuje přes kinetickou energii náhodného pohybu částic a můžeme ji definovat pro každý stupeň volnosti (\(i \in \{x,y,z\}\)): \[\begin{gather} \frac{1}{2} k T_i = \frac{1}{2} m \langle c_i^2\rangle \end{gather}\]
Často je možné definovat jenom jednu teplotu pro celý systém, nebo aspoň jednu lokální teplotu, pak: \[\begin{gather} T = \frac{m}{k N_\mathrm{sv}} \langle c^2\rangle, \end{gather}\] kde \(N_\mathrm{sv}\) je počet (translačních) stupňů volnosti.
Porovnáním definicí pro tlak a teplotu dostáváme známý termodynamický vztah: \[\begin{gather} p = n k T \end{gather}\]
Zatím jsme definovali: \[\begin{gather} \label{eqs:mom0} n(\mathbf{r}, t) = \int_v f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v\\ \label{eqs:mom1} u_i(\mathbf{r}, t) = \frac{1}{n(\mathbf{r}, t)} \int_v v_i f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v\\ \label{eqs:mom2} \Pi_{ij} (\mathbf{r}, t) = m \int_v v_i v_j f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v \end{gather}\] ale při pohledu na tyto vztahy vám musí být jasný, že tuhle hru můžeme hrát do nekonečna.
Obecně se veličiny typu nazývají (N-té) momenty distribuční funkce: \[\begin{gather} M^N_{ij\ldots k} (\mathbf{r}, t) = \int_v v_i v_j \ldots v_k f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v \end{gather}\]
Další fyzikální veličina v pořadí, která by byla definovaná pomoci třetího momentu (koncentrace je nultý moment) se nazývá triáda celkového energiového toku: \[\begin{gather} E_{ijk} (\mathbf{r}, t) = m \int_v v_i v_j v_k f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v, \end{gather}\] a je to tenzor třetího radu (3 indexy, reprezentující matice by mela \(3^3\) elementu).
V případe tenzoru toku hybnosti jsme získali různé fyzikální veličiny rozdělením rychlosti na průměrnou a náhodnou složku, podobně to můžeme udělat v případě triády celkového energiového toku:
Vektor toku tepla: \[\begin{gather} \mathbf{q} = \frac{1}{2} n m \langle c^2 \mathbf{c}\rangle \end{gather}\]
Triáda toku tepla: \[\begin{gather} Q_{ijk} = n m \langle c_i c_j c_k\rangle \end{gather}\]
Průměrný energiový tok \[\begin{gather} \Phi_{E, i} = \frac{1}{2} n m \langle v^2 v_i\rangle \end{gather}\]
Průměrná hustota kinetické energie: \[\begin{gather} W = \frac{1}{2} n m u^2 + \frac{1}{2} n m \langle c^2\rangle \end{gather}\]
Jeden ze zajímavých důsledků definice toku tepla a triády toku tepla je, že tyto veličiny jsou mírou anizotropie v systému. Je tomu tak, protože pokud bychom měli izotropní distribuční funkci, co je, z definice izotropie, sudá funkce v rychlosti, pak je integrand v definici toku tepla nutně lichá funkce a dostáváme \(\mathbf{q} = \vec{0}\) (podobně v triádě).