Zima 2020/2021
Každý plyn, i plazma, nechaný bez působení vnějších sil po dostatečně dlouho dobu, zjíská homogenní a izotropní rozdělovací funkci. Funkční závislost rovnovážného rozdělení je: \[ f = C\exp\left( -a ({\bf v} - {\bf v}_0)^2 \right), \] kde \(C\), \({\bf v}_0\) a \(a\) jsou konstanty.
Podmínky pro takového rozdělení jsou
homogenní \[{\bf v}\cdot \nabla f =0\]
nepůsobí vnějsší síly \[\frac{{\bf F}}{m} \cdot\nabla_{\!{\bf v}}f = 0\]
stacionární \[\frac{\partial f}{\partial t}= 0\]
Boltzmannova rovnice je tedy ve tvaru: \[ 0+0+0=\left[\frac{\delta f}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}}. \] Vlivem srážek se tedy rozdělovací funkce nemění. To je vlastnost rovnovážného stavu. Ke srážkám dochází, díky srážkám se systém dostal do rovnováhy, ale v každém elementu fázového prostoru je počet částic, které daný element opustí přesně vykompenzovaný stejným počtem částic, které do něj zase vlivem srážek přijdou z jiné oblasti fázového prostoru.
Konstanty \(C\), \({\bf v}\), a \(a\) je nutné stanovit na základě normalizace, znalosti driftové rychlosti a spojením s termodynamikou.
Koncentrace částic, substitucí \(\xi_i=v_i-v_{0i}\): \[\begin{gather} n = \iiint\limits_{-\infty}^{\infty} C \exp\left(-a(\xi_x^2+\xi_y^2+\xi_z^2)\right) \,{\mathrm d}\xi_x\,{\mathrm d}\xi_y\,{\mathrm d}\xi_z\\ \quad = 4\pi\, C \int\limits_0^{\infty}v^2\exp\left(-av^2\right)\,{\mathrm d}v \\ \quad =C\left(\frac{\pi}{a}\right)^{3/2}, \end{gather}\] tedy \[ C=n\left(\frac{a}{\pi}\right)^{3/2} \]
Driftová rychlost je
\[{\bf u} = \langle {\bf v} \rangle = \frac{1}{n} \int_v {\bf v} \, f\, {\rm d}{\bf v},\] integrací s rovnovážným rozdělením \(f\) dostaneme \[ {\bf u} = {\bf v}_0. \]
Na základě termodynamiky určíme konstantu \(a\). Rychlost částic je možné rozložit na náhodnou rychlost \({\bf c}\) a driftovou rychlost \({\bf u}\): \[{\bf v} = {\bf c} + {\bf u} \] Střední energie částic spojená s tepelným pohybem je dána náhodnou rychlostí \({\bf c}\) \[\begin{gather} \frac{3}{2}nk T & = \langle \frac{1}{2}nm c^2 \rangle = \frac{1}{2}nm\langle c_x^2+c_y^2+c_z^2\rangle = \frac{1}{2}nm \left(\langle c_x^2 \rangle + \langle c_y^2 \rangle + \langle c_z^2 \rangle \right) \end{gather}\] Protože \({\bf c}={\bf v}-{\bf u}\) a \({\rm d}{\bf v} = {\rm d}{\bf c}\), pak
\[\begin{gather} &\langle c_x^2 \rangle = \frac{1}{n} \iiint\limits_{-\infty}^\infty c_x^2 \, n\left( \frac{a}{\pi} \right)^{3/2} \exp\left(-a c_x^2\right)\, {\mathrm d} {\bf c} = \\ &\left( \frac{a}{\pi} \right)^{3/2} \int\limits_{-\infty}^\infty c_x^2 \exp\left(-a c_x^2\right)\, {\mathrm d} c_x \int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(-a c_y^2\right)\, {\mathrm d} c_y \int\limits_{-\infty}^\infty \exp\left(-a c_z^2\right)\, {\mathrm d} c_z. \end{gather}\]
Normalizované rovnovážné Maxwell-Boltzmannovo rozdělení pak je: \[\begin{equation} f_{\rm MB}(c)= n\left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2}\exp\left(-\frac{mc^2}{2 k T} \right) \tag{1} \label{eq:MB} \end{equation}\]
Jestliže systém nemá translační pohyb (můžeme se transformovat do inerciální soustavy ve které to tak je), tak je driftová rychlost nulová, pak \[ {\bf c} = {\bf v}. \] Rovnovážné rozdělení závisí jen na velikosti náhodné rychlosti \({\bf c}\), ne na jejím směru. Proto, vnoříme-li do plynu dokonale odrážející plochu, tak se \(f_{\rm MB}(c)\) nezmění, protože odrazem od takové stěny se změní jen směr \({\bf c}\) ne jeho velikost.
V plazmatu, kde jsou elektrony, ionty a neutrály, které mají všechny stejnou teplotu, jsou jejich náhodné rychlosti popsány MB rozdělením pro každý druh částic zavlášť s odpovídající koncentrací.
Poznámka: pro integrály tohoto typu je dobré mít v záloze pár šikovných vzorečánků: \[ \int\limits_0^\infty \exp\left(-ax^2\right)\,{\mathrm d}x=\frac{1}{2}\sqrt\frac{\pi}{a}, \hbox{ pro } \quad a>0 \] \[ \int\limits_0^\infty x^{2n} \exp\left(-ax^2\right)\,{\mathrm d}x = \frac{(2n-1)!!\sqrt\pi}{2^{n+1} a^{(2n+1)/2}}, \quad \hbox{pro} \quad n=1,2,\ldots, \quad a>0. \] \[ n!!=n(n-2)(n-4)\ldots. \] \[ \int\limits_0^\infty x^{2n+1} \exp\left(-ax^2\right)\,{\mathrm d}x=\frac{n!}{2a^{n+1}}, \hbox{ pro} \quad n=0,1,2,\ldots, \quad a>0. \]
Integrujeme \(\eqref{eq:MB}\) přes všechny směry rychlostí a necháme velikost rychlosti \(v\) jako parameter. Abychom to mohli udělat, přejdeme v rychlostním prostoru do sférických souřadnic \[ {\rm d}{\bf v} = v^2\sin\theta\, {\rm d}\theta\, {\rm d}\phi, \]
\[ F(v) = \int\limits_0^{2\pi}\!\!\int\limits_0^{\pi}f_{\rm MB}(v) v^2\sin\theta\,{\rm d}\theta\, {\rm d}\phi, \] integrál přes úhly nám dá \(4\pi\). Dostaneme rovnovážné rozdělení pro velikost rychlosti: \[ F(v) = 4\pi v^2 f_{\rm MB} = 4\pi n \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2} v^2\exp\left(-\frac{mv^2}{2 k T} \right) \]
Rozdělení \(F(v)\) je řádně normalizované na \(n\): \[ \int_0^\infty F(v)\,{\rm d}v = n. \]
Gaussovské rozdělení: \[ g(v_x) = \iint_{-\infty}^{\infty} f_{\rm MB} \,{\rm d}v_y\, {\rm d}v_z=\] \[\quad=n\left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2 k T}\right) \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{mv_y^2}{2 k T}\right) \,{\rm d}v_y \int_{-\infty}^{\infty} \exp\left(-\frac{mv_z^2}{2 k T}\right) \,{\rm d}v_z\] \[ \quad = n\left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!1/2}\exp\left(-\frac{mv_x^2}{2 k T}\right). \]
Složky rychlosti se chovají jako statisticky nezávislé veličiny. Protože platí \(v^2=v_x^2+v_y^2+v_z^2,\) pravděpodobnost že částice bude mít rychlost v rozmezí \({\bf v}\) a \({\bf v} + {\rm d }{\bf v}\) bude rovna součinu pravděpodobností, že jednotlivé komponenty leží v rozmezí \(v_i\) a \(v_i + {\rm d } v_i\), pro \(i\in\{x,y,z\}\): \[ \frac{f(v)\,{\rm d}{\bf v}}{n} = \frac{g(v_x)\,{\rm d} v_x}{n} \cdot \frac{g(v_y)\,{\rm d} v_y}{n} \cdot \frac{g(v_z)\,{\rm d} v_z}{n}. \]
V mnoha případech se můžeme setkat se situací kdy plyn není v rovnováze, ale je nepříliž daleko od rovnováhy a můžeme předpokládat že v daném místě bude rozdělovací funkce lokálně popsána MB rozděleném: \[ f({\bf r},{\bf v}, t) = n({\bf r}, t) \left(\frac{m}{2\pi k T({\bf r}, t)}\right)^{\!3/2} \exp\left(-\frac{m({\bf v} - {\bf u}({\bf r}, t))^2}{2 kT({\bf r}, t)}\right) \] s lokální hustotou částic \(n({\bf r}, t)\), teplotou \(T({\bf r}, t)\) a driftovou rychlostí částic \({\bf u}({\bf r}, t)\), které se mění pomalu s \({\bf r}\) a \(t\).
MB rozdělení je řešení Boltzmannovy rovnice které reprezentuje rovnovážný stav plynu ponechaného bez působení vnějších sil. Důležité je, že tato rovnovážná rozdělovací funkce nezávisí na tvaru srážkových účinných průřezů. Srážky systém dostaly do rovnováhy, ale jakmile systém v rovnováze je rozdělovací funkce se vlivem srážek dále nemění.
V statistické mechanice se ukazuje že MB rozdělení je nejpravděpodobnější rozdělení které splňuje dané makroskopicé podmínky: danému makrostavu odpovídá velké množství mikrostavů které vedou na stejné makroskopické parametry jako je hustota částic, teplota, a střední rychlost. Když náhodně vybereme ze všech takových mikrostavů systému, tak pravděpodobnost že sáhneme na MB rozdělení je drtivě největší.
Entropie systému je úměrná pravděpodobnosti toho že budeme mít dané rozdělení, proto MB rozdělení odpovídá také maximální entropie. Entropii systému z rozdělovací funkce spočítáme jako \[ S = -k \int_r\int_v f\,\ln f\, {\rm d} {\bf v} \, {\rm d} {\bf r} \]
MB rozdělení je tedy nejpravděpodobnější rozdělení při daných vnějších podmínkách kterému odpovídá i maximální entropie systému.
Boltzmannova rovnice dává nástroj kterým je možné popsat vývoj rozdělovací funkce v čase za daných podmínek, tedy nejen to jak rychle bude daný systém směřovat k rovnováze, ale i vývoj rozdělovací funkce za nerovnovážných podmínek.
Rozdělení \(G(E)\) pro termální kinetickou energii \(E=mv^2/2\) je definováno tak že \(G(E)\,{\rm d}E\) je počet částic v jednotce objemu, který má energii v rozmezí \(E\) a \(E+{\rm d}E\). Dostaneme to z rozdělení pro velikost rychlosti dosazením \[ v = (2E/m)^{1/2}\quad \text{a} \quad {\rm d}v = {\rm d}E/(2mE)^{1/2}, \] pak po úpravě \[ G(E)\,{\rm d}E = \frac{2nE^{1/2}}{\pi^{1/2}(kT)^{3/2}} \exp\left(-\frac{E}{kT}\right)\,{\rm d}E. \]
Střední hodnota vektoru rychlosti: \[ \langle {\bf v} \rangle = \frac{n}{n}\left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2} \iiint_{-\infty}^{\infty}(\hat{\bf x}v_x+\hat{\bf y}v_y+\hat{\bf z}v_z) \exp\left(-\frac{mv^2}{2 k T} \right) \,{\rm d}v_x\, {\rm d}v_y\, {\rm d}v_z = 0 \] (integrujeme liché funkce).
Střední hodnota kvadrátu složky rychlosti: \[ \langle v_i^2 \rangle = \frac{1}{n}\int_{-\infty}^{\infty} v_i^2 g(v_i) \, {\rm d}v_i = \frac{kT}{m} \] Tento výsledek je konzistentní s ekvipartičním teorémem podle kterého na každý stupeň volnosti připadá energie \(1/2kT\), tedy \[ \frac{1}{2}m \langle v_i^2 \rangle = \frac{1}{2}kT. \]
Střední hodnota velikosti rychlosti: \[ \langle v \rangle = \frac{1}{n}\int_0^\infty v\, F_{\rm sp}(v)\,{\rm d}v = 4\pi \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2} \int_0^\infty v\, v^2 \exp\left(-\frac{mv^2}{2 k T} \right) \,{\rm d}v =\left(\frac{8kT}{\pi m}\right)^{1/2} \]
Střední kvadratická rychlost \[ v_{\rm rms} = \sqrt{\langle v^2 \rangle} = \left(\frac{3 kT}{m}\right)^{\!1/2} \]
Nejpravděpodobnější rychlost získáme takto: \[ \left(\frac{\partial F(v)}{\partial v}\right)_{v=v_{\rm mp}} = 0 \rightarrow v_{\rm mp}=(2kT/m)^{1/2}. \]
Poznamenejme že \[ v_{\rm mp} < \langle v \rangle < v_{\rm rms} \] a všechny tyto charakteristické rychlosti jsou úměrné \((kT/m)^{1/2}\). Tedy že při stejné teplotě se těžší částice budou pohybovat pomaleji.
Tok částic ve směru jednotkového vektoru \(\hat{\bf n}\) je
\[ \Gamma_n = \int_v ({\bf v} \cdot \hat{\bf n})\, f \,{\rm d}{\bf v}. \]
Uvažujme element plochy a zajímá nás počet částic které projdou tímto elementem za jednotku času na jednotku plochy. Tok \(\Gamma_n\) započítává částice které projdou element plochy který je orientovaný ve směru \(\hat{\bf n}\). Takový tok bude nutně nulový, protože za předpokladu že rozdělení rychlostí částic je bez driftu, tedy že \({\bf u} = 0\), počet částic které dosáhnou plochy za \({\rm d}t\) je z obou stran stejný, a tyto toky se vzájemně odečtou.
Jaký bude tok částic pouze z jedné strany?
Uvažujme tedy jen kladný směr součinu \({\bf v} \cdot \hat{\bf n}\). Zvolme kartézké souřadnice tak že kladný směr součinu \({\bf v} \cdot \hat{\bf z}\) míří ve směru osy \(z\) a plochu položme do roviny \(x\)-\(y\). Do výsledného toku skrz elementární plochu \({\rm d}{\bf S}\) posazenou do počátku souřadnic nám budou přispívat pouze částice z oblasti \(z<0\), takové které budou mít rychlost mezi \({\bf v}\) a \({\bf v} + {\rm d}{\bf v}\). Se směrem \(\hat{\bf z}\) má taková rychlost úhel \(\theta\), proto \[ {\bf v} \cdot \hat{\bf z} = v \cos\theta. \] Integraci provedeme ve sférických souřadnicích v mezích \(\phi\in[0,2\pi]\), \(\theta \in [0,\pi/2]\) (pouze rychlost v kladném směru osy z) a \(v\in[0,\infty]\): \[ \Gamma_z=\int_0^{\infty}f\, v^3 \,{\rm d}v \int_0^{\pi/2} \sin\theta\,\cos\theta\,{\rm d}\theta\int_0^{2\pi}{\rm d}\phi = \pi \int_0^\infty f\, v^3\,{\rm d}v. \] Pro Maxwellovské rozdělení pak \[ \Gamma = \pi n \left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2} \int_0^\infty v^3 \exp\left(-\frac{mv^2}{2 k T} \right) \,{\rm d}v \] Dostáváme důležitý výsledek: \[ \Gamma = n \left(\frac{k T}{2\pi m}\right)^{\!1/2}=\frac{1}{4}n\langle v \rangle \] Maxwellovské rozdělení je izotropní, proto je tento výsledek platný pro libovolný směr.
Tenzor tlaku je definovaný jako \[{\cal P} = \rho_m \langle {\bf c} {\bf c} \rangle = m \int_v {\bf c}\, {\bf c}\, f\, {\rm d}{\bf v},\] kde \({\bf c}\,{\bf c}\) je dyadický součin (výsledkem je tenzor).
| \[ \displaystyle \mathbf {ab} \equiv \mathbf {a} \otimes \mathbf {b} \equiv \mathbf {ab} ^{\mathsf {T}}={\begin{pmatrix}a_{1}\\a_{2}\\a_{3}\end{pmatrix}}{\begin{pmatrix}b_{1}\quad b_{2}\quad b_{3}\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}a_{1}b_{1}\quad a_{1}b_{2}\quad a_{1}b_{3}\\a_{2}b_{1}\quad a_{2}b_{2}\quad a_{2}b_{3}\\a_{3}b_{1}\quad a_{3}b_{2}\quad a_{3}b_{3}\end{pmatrix}}\] |
Podobně tepelný tok \[ {\bf q} = \frac{1}{2}\rho_m\langle c^2\, {\bf c} \rangle = \frac{1}{2} m \int_v c^2 \, {\bf c} \,f \, {\rm d}{\bf v}. \] Pro MB rozdělení: \[{\cal P} = \rho_m(\hat{\bf x}\hat{\bf x}\langle c_x^2\rangle+\hat{\bf y}\hat{\bf y}\langle c_y^2\rangle+\hat{\bf z}\hat{\bf z}\langle c_z^2\rangle) = nkT(\hat{\bf x}\hat{\bf x}+\hat{\bf y}\hat{\bf y}+\hat{\bf z}\hat{\bf z}),\] kde \(p=nkT\) je skalární tlak.
Tepelný tok pro MB rozdělení je nulový \[{\bf q} = 0.\]
Uvažujme plyn vnořený do konzervativního silového pole \({\bf F}\), které je možné vyjádřit pomocí potenciální energie \(U({\bf r})\) jako: \[{\bf F}({\bf r}) = - \nabla U({\bf r}).\] Vlivem působení této síly se bude řešení Boltzmannovy rovnice lišit od MB rozdělení. Hledejme stacionární řešení Boltzmannovy rovnice ve tvaru \[ f({\bf r}, v) = f_0(v)\, \psi({\bf r}), \] kde \(f_0\) je MB rozdělení, a \(\psi({\bf r})\) je skalární funkcí polohového vektoru \({\bf r}\). Dosazením předpokládaného tvaru řešení do Boltzmannovy rovnice za rovnovžného stavu. Dostaneme \[ {\bf v}\cdot\nabla[f_0(v)\, \psi({\bf r})] - \frac{1}{m}[\nabla U({\bf r})]\cdot \nabla_{\!{\bf v}}[f_0(v)\, \psi({\bf r})] = 0 \] Z tvaru MB rozdělení se dá ukázat, že platí \[ \nabla_{\!{\bf v}}f_0(v) = - \frac{m{\bf v}}{kT}f_0. \] pak pocvičením s předešlou rovnicí dostaneme \[ f_0(v)\,{\bf v}\cdot[\nabla \psi({\bf r})+\frac{1}{kT}\psi({\bf r})\, \nabla U({\bf r})] =0 \] to bude platit když \([\cdot]\) bude rovno nule, pak \[ \frac{\nabla \psi({\bf r})}{\psi({\bf r})} = -\frac{1}{kT} \nabla U({\bf r}) \] a protože \({\rm d}\psi=\nabla\psi({\bf r})\cdot{\rm d}{\bf r}\), pak \[ \frac{{\rm d}\psi({\bf r})}{\psi({\bf r})} = -\frac{1}{kT} {\rm d}U({\bf r}). \] Řešení této rovnice je \[ \psi({\bf r}) = A_0 \exp\left(-\frac{U({\bf r})}{kT}\right) \]
Konstantu \(A_0\) stanovíme normalizací \[\int_v f({\bf r}, v) \, {\rm d}{\bf v} = n({\bf r} ).\] Koncentrace částic v místě \({\bf r}\) pak je \[ n({\bf r})=A_0\exp\left[-\frac{U({\bf r})}{kT}\right]\int_v f_0(v)\, {\rm d}{\bf v}. \] Označme \(n_0\) koncentraci částic v oblasti kde \(U({\bf r})=0\), tam kde je rovnovážná koncentrace \(n_0\): \[ n_0 =\int_v f_0(v) \, {\rm d}{\bf v}. \] pak nutně \(A_0=1\). Pak rovnovážné rozdělení bude: \[ f({\bf r},v)=f_0(v)\exp\left[-\frac{U({\bf r})}{kT}\right] =n_0\left(\frac{m}{2\pi k T}\right)^{\!3/2} \exp\left[-\frac{mv^2/2+U}{k T}\right] \]
V plazmatu za přítomnosti vnějšího elektrického pole \[ {\bf E} = - \nabla\phi({\bf r}), \] bude koncentrace v místě \({\bf r}\) v rovnovážném stavu \[ n({\bf r})=n_0 \exp\left[- \frac{q\phi({\bf r})}{kT} \right] \] Toto je velmi důležitý výsledek. Faktor \[ \exp\left[- \frac{q\phi({\bf r})}{kT} \right] \] se nazývá Boltzmannův faktor.
viz cviko….