Zima 2020/2021
Markoskopické paramerty, jako experimentálně pozorovatelné veličiny dostaneme z rozdělovací funkce jako její momenty: Koncentrace částic typu \(\alpha\) \[ n_\alpha = \int_v f_\alpha{\rm d}{\bf v} \] Makroskopická veličina \(\chi\) pak je \[ \langle \chi \rangle_\alpha = \frac{1}{n_\alpha}\int \chi\, f_\alpha\, {\rm d}{\bf v}. \]
V principu je možné vzít Boltzmannovu rovnici, vyřešit ji, tj. dostat rozdělovací funkci \(f\) a pak středováním z ní spočítat makroskopické veličiny které nás zajímají.
Z praktického hlediska je však mnohdy cesta k makroskopické proměnné přes řešení Boltzmannovy rovnice zbytečně složitá, někdy až nemožná protože řešení Boltzmannovy rovnice je hodně náročné a často i nemožné: reálné úlohy mají více dimenzí, složité okrajové podmínky, a podobně.
Stejným způsobem jakým jsme z rozdělovací funkce počítali makroskopickou proměnou: integrací součinu dané proměnné s rozdělovací funkcí přes rychlostní prostor, lze zintegrovat i Boltzmannovu rovnici. Dostaneme tak makroskopické transportní rovnice pro danou proměnnou.
Prakticky počítáme momenty boltzmannovy rovnice:
\[ \int \hbox{(B-R)}\, m_\alpha v^2 \, {\rm d}{\bf v} \]
Takový systém (hierarchie) rovnic pokud bychom pokračovali s momenty do nekonečna bude ekvivalentní původní Boltzmannově rovnici. Nekonečný systém rovnic se ovšem řeší podobně těžko jako původní Boltzmannova rovnice.
Navíc v rovnici pro \(n\)-tý moment B-R vyskočí jako proměnná \(n+1\) moment rozdělovací funkce. Tj. proměnná pro kterou ještě nemáme rovnici. Ve snaze přidat tedy \(n+1\) moment B-R zase dostaneme proměnnou která bude \(n+2\) momentem.
Proto je nutné hierarchii rovnic někde utnout a přijít s nějakou vhodnou aproximací proměnné, pro kterou nemáme rovnici. Jako příklad ukážeme model teplého a studeného plazmatu.
Poznamenejme, že integrace Boltzmannovy rovnice přes rychlostní prostor představuje výrazné zjednodušení také proto, že se zredukuje dimenzionalita problému: budeme mít o tři proměnné méně. Výsledná rovnice bude operovat jen v konfiguračním prostoru. Obecně v ní budou tři prostorové proměnné a čas.
V této sekci odvodíme obecnou transportní rovnici pro proměnnou \(\chi({\bf v})\), která reprezentuje nějakou vlastnost částic, je to fyzikální veličina, a odvodíme tak rovnici pro transport této veličiny.
Vezmeme Boltzmannovu rovnici pro typ částic \(\alpha\): \[ \frac{\partial f_\alpha}{\partial t}+({\bf v} \cdot \nabla)f_\alpha+({\bf a} \cdot \nabla_{\!{\bf v}})f_\alpha= \left[\frac{\delta f_\alpha}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}} \] a zintegrujeme ji přes rychlostní prostor s váhou \(\chi({\bf v})\): \[ \int_v \chi({\bf v})\frac{\partial f_\alpha}{\partial t}\, {\rm d}{\bf v} + \int_v \chi({\bf v}) ({\bf v} \cdot \nabla ) f_\alpha\, {\rm d}{\bf v} + \int_v \chi({\bf v}) ({\bf a} \cdot \nabla_{\!{\bf v}}) f_\alpha\, {\rm d}{\bf v} = \int_v \chi({\bf v})\left[\frac{\delta f_\alpha}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}}\, {\rm d}{\bf v} \]
Postupně budeme integrovat jednotlivé členy a pokusíme se v nich vidět to co potřebujeme:
člen přepíšeme jako:
\[
\frac{\partial }{\partial t} \int_v \chi({\bf v})f_\alpha\, {\rm d}{\bf v}
= \underbrace{\int_v f_\alpha\left(\frac{\partial \chi({\bf v})}{\partial t}\right)\, {\rm d}{\bf v}}_{0} +
\int_v \chi({\bf v}) \left(\frac{\partial f_\alpha}{\partial t}\right)\, {\rm d}{\bf v}
\] Proto \[
\int_v \chi({\bf v})\frac{\partial f_\alpha}{\partial t}\, {\rm d}{\bf v} =
\frac{\partial }{\partial t}[n_\alpha\langle\chi\rangle_\alpha]
\]
člen přepíšeme jako \[ \nabla\cdot\int_v \chi\,{\bf v} f_\alpha\, {\rm d}{\bf v} = \nabla\cdot [n_\alpha\langle\chi {\bf v} \rangle_\alpha] \] K tomu využijeme identity pro divergenci součinu skalární funkce a vektoru: \[ \nabla \cdot (a {\bf b} ) = a \nabla\cdot {\bf b} + {\bf b} \cdot \nabla a.\] Protože \(\chi\) není funkcí \({\bf r}\), můžu ho podsunout k \(f_a\) do oblasti působení operátoru \(({\bf v}\cdot \nabla)\): \[ \chi({\bf v}\cdot \nabla)f_\alpha= ({\bf v}\cdot \nabla)(\chi\,f_\alpha) \] Dále rozepíšeme-li \[ \nabla\cdot({\bf v} \chi f_\alpha) = \chi f_\alpha\nabla\cdot {\bf v} + ({\bf v} \cdot \nabla)(\chi f_\alpha), \] zjistíme že první člen je nula, protože \(\nabla\cdot {\bf v}=0\). Z toho již plyne požadovaný tvar.
člen bude
\[\int_v \chi({\bf a}\cdot \nabla_{\!{\bf v}})f_\alpha\, {\rm d}{\bf v}
=-\int_v [({\bf a}\cdot\nabla_{\!{\bf v}})\chi]f_\alpha\, {\rm d}{\bf v}
=-n_\alpha\langle{\bf a}\cdot \nabla_{\!{\bf v}}\chi\rangle_\alpha,
\] kde jsme využili toho, že \[
\nabla_{\!{\bf v}}\cdot({\bf a} \chi f_\alpha) = ({\bf a}\cdot \nabla_{\!{\bf v}}f_\alpha)\chi + ({\bf a} \cdot \nabla_{\!{\bf v}}\chi)f_\alpha+ \chi f_\alpha\nabla_{\!{\bf v}}\cdot {\bf a}.
\] Poslední člen je nulový protože pro Lorentzovu sílu je \(\nabla_{\!{\bf v}}\cdot{\bf a}=0\), na levé straně po integraci sežere integrace \(\nabla_{\!{\bf v}}\) a zbude argument v mezích \(v_i\rightarrow \pm \infty\), protože \(f_\alpha\) jde k nule pro rychlost jdoucí do nekonečna, bude levá strana rovna nule. Dostaneme požadovaný tvar třetího členu.
Obecná transportní rovnice bude: \[ \frac{\partial }{\partial t}[n_\alpha\langle\chi\rangle_\alpha] + \nabla\cdot(n_\alpha\langle\chi{\bf v}\rangle_\alpha) -n_\alpha\langle{\bf a}\cdot\nabla_{\!{\bf v}}\chi\rangle_\alpha= \left[\frac{\delta}{\delta t}\left(n_\alpha\langle\chi\rangle_\alpha\right)\right]_{\rm coll} \]
Zvolíme \(\chi=1\), pak \[ \langle \chi \rangle_\alpha=1, \quad \langle \chi {\bf v}\rangle_\alpha = {\bf u}_\alpha, \quad \nabla_{\!{\bf v}}\chi = 0. \] Dostaneme \[ \frac{\partial }{\partial t}(n_\alpha) + \nabla\cdot(n_\alpha{\bf u}_\alpha) = \Sigma_\alpha, \] kde \[{\bf \Gamma}_\alpha = n_\alpha{\bf u}_\alpha\]
A \(\Sigma_\alpha\) je zdrojový člen, tedy je ztráta nebo zisk částic vlivem srážek.
V plazmatu, jako výsledek srážek, budeme uvažovat různé procesy, které je možné zapsat podobně jako chemické reakce. Každý takový proces bude mít nějakou odpovídající reakční `konstatnu’ bude představovat jistý zdrjový člen na pravé straně rovnice kontinuity.
Ionizace: \[ {\rm e} + {\rm M} \overset{k_i}{\longrightarrow} {\rm e } + {\rm e } + {\rm M}^+, \] kdy z molekuly M vzniká nárazem elektronu iont M\(^+\) a uvolní se z ní jeden elektron. \(k_i\) je reakční konstanta ionizace. Koncentraci budeme značit \([\cdot]\). Ionizace představuje příspěvek do zdrojového členu v rovnici kontinuity pro elektrony ve tvaru \[ \frac{\partial [{\rm e}]}{\partial t} = + k_i\,[{\rm e}][{\rm M}], \] Kolik elektronů vznikne ionizací je úměrné součinu koncentrací reaktantů \([{\rm e}]\) a \([{\rm M}]\) a rychlostní konstanty \(k_i\). Stejný proces představuje úbytek v koncentraci M: \[ \frac{\partial [\rm M]}{\partial t} = -k_i\,[{\rm e}][{\rm M}] \] a přírustek v koncentraci iontu M\(^+\): \[ \frac{\partial [\rm M^+]}{\partial t} = + k_i\,[{\rm e}][{\rm M}]. \] jednotka \(k_i\) je m\(^3\)/s.
Rekombinace (tříčásticová) \[ {\rm e} + {\rm M^+} + {\rm A} \overset{k_r}\longrightarrow {\rm M} + {\rm A} \] zdrojové členy: \[ \frac{\partial [{\rm e}]}{\partial t} = - k_r\,[{\rm e}][{\rm M^+}][{\rm A}],\quad \frac{\partial [{\rm M^+}]}{\partial t} = - k_r\,[{\rm e}][{\rm M^+}][{\rm A}] \] \[ \frac{\partial [{\rm M}]}{\partial t} = k_r\,[{\rm e}][{\rm M^+}][{\rm A}],\quad \frac{\partial [{\rm A}]}{\partial t} = 0 \] jednotka \(k_r\) je m\(^6\)/s.
Záchyt elektronu \[ {\rm e} + {\rm A} + {\rm B}\overset{k_c}\longrightarrow {\rm A^-} + {\rm B} \] zdrojové členy: \[ \frac{\partial [{\rm e}]}{\partial t} = - k_c\,[{\rm e}][{\rm A}][{\rm B}], \quad \frac{\partial [{\rm A^-}]}{\partial t} = k_c\,[{\rm e}][{\rm A}][{\rm B}] \] \[ \frac{\partial [{\rm B}]}{\partial t} =0 \] jednotka \(k_c\) je m\(^6\)/s.
Přenos náboje \[ {\rm A^{+}} + {\rm B} \overset{k_t}\longrightarrow {\rm A}+ {\rm B^{+}} \] zdrojové členy: \[ \frac{\partial [{\rm A^+}]}{\partial t} = - k_t\,[{\rm A^+}][{\rm B}], \quad \frac{\partial [{\rm B}]}{\partial t} = - k_t\,[{\rm A^+}][{\rm B}] \] \[ \frac{\partial [{\rm A}]}{\partial t} = + k_t\,[{\rm A^+}][{\rm B}], \frac{\partial [{\rm B^+}]}{\partial t} = + k_t\,[{\rm A^+}][{\rm B}] \] jednotka \(k_t\) je m\(^3\)/s.
Disociace \[ {\rm AB} + {\rm C} \overset{k_d}\longrightarrow {\rm A} + {\rm B} + {\rm C} \] zdrojové členy: \[ \frac{\partial [{\rm AB}]}{\partial t} = - k_d\,[{\rm AB}][{\rm C}],\quad \frac{\partial [{\rm C}]}{\partial t} = 0 \] \[ \frac{\partial [{\rm A}]}{\partial t} = + k_d\,[{\rm AB}][{\rm C}],\quad \frac{\partial [{\rm B}]}{\partial t} = + k_d\,[{\rm AB}][{\rm C}] \] jednotka \(k_d\) je m\(^3\)/s.
Zářivá deexcitace: \[ {\rm A^*} \overset{\nu}\longrightarrow {\rm A} + \gamma \] zdrojové členy: \[ \frac{\partial [{\rm A^*}]}{\partial t} = - \nu\,[{\rm A^*}],\quad \frac{\partial [{\rm A}]}{\partial t} = \nu\,[{\rm A^*}] \] jednotka \(\nu\) je s\(^{-1}\).
Kontrolní otázka: Jaký bude zdrojový člen pro změnu koncentrace dusíkového atomu \({\rm N}\) díky procesu: \[ {\rm e} + {\rm N_2} \overset{k}{\rightarrow} {\rm e} + {\rm N} + {\rm N}? \]
\[\frac{\partial [{\rm N}]}{\partial t} = +2k\,[{\rm e}][{\rm N_2}].\]
Zvolíme \(\chi({\bf v})=m_\alpha{\bf v}_\alpha\), z obecné transportní rovnice dostaneme:
\[ m_\alpha n_\alpha \left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_\alpha+({\bf u}_\alpha\cdot\nabla){\bf u}_\alpha\right] + \nabla\cdot \mathbb{P}_\alpha - n_\alpha\langle{\bf \bf F}_\alpha \rangle = {\bf A}_\alpha - {\bf u}_\alpha S_\alpha \]
\[ \frac{\partial }{\partial t}+({\bf u}_\alpha\cdot\nabla) \] je totální derivace, tj. časová variace pozorovaná v souřadné soustavě spojené s pohybující se kapalinou, \({\bf u}_\alpha\) je proudové pole.
\[ {\bf A}_\alpha = m_\alpha \int_v {\bf v} \left[\frac{\delta f}{\delta t}\right]_{\!{\rm coll}}\, {\rm d}{\bf v} \] je změna hybnosti částic (kapaliny) vlivem srážek s částicemi jiného typu. Srážky s částicemi stejného typu nemůžou změnit hybnost.
\[\mathbb{P}_\alpha\] je tenzor tlaku, \[- \nabla\cdot \mathbb{P}_\alpha\] je hustota síly vyvinutá v plazmatu díky náhodnému pohybu částic: \[ \nabla\cdot \mathbb{P}_\alpha = \nabla\cdot\left(m_\alpha n_\alpha\langle{\bf c}_\alpha\,{\bf c}_\alpha\rangle\right) \] Skalární tlak je: \[ p_\alpha = \frac{1}{3}(P_{\alpha xx}+P_{\alpha yy}+P_{\alpha zz}). \]
Změna hybnosti \(\alpha\) vliven srážek s částicemi \(\beta\), \(\nu_{\alpha\beta}\) je srážková frekvence pro přenos hybnosti [s^{-1}]. \[ {\bf A}_\alpha = \rho_{m\alpha} \sum\limits_\beta \nu_{\alpha\beta}({\bf u}_\alpha - {\bf u}_\beta) \]
Zákon zachování hybnosti: \[ \rho_{m_\alpha}\nu_{\alpha\beta}({\bf u}_\alpha - {\bf u}_\beta) + \rho_{m_\alpha}\nu_{\beta\alpha}({\bf u}_\beta - {\bf u}_\alpha) = 0 \]
Srážky elektronů s neutrály: \[ {\bf A}_\alpha = - \rho_{m_\alpha} \nu {\bf u}_\alpha, \quad ({\bf u}_\alpha \gg {\bf u}_\beta) \]
Pohybová rovnice pro elektronovou kapalinu (skalární tlak, bez vzniku a zániku částic): \[ m_{\rm e} n_{\rm e} \left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_{\rm e}+({\bf u}_{\rm e}\cdot\nabla){\bf u}_{\rm e}\right] = -\nabla p + q n_{\rm e}({\bf E} + {\bf u}_{\rm e} \times {\bf B}) -m_{\rm e} n_{\rm e} \nu {\bf u}_{\rm e} \]
Podívejme se trochu blíže na tok hybnosti, který jsme v předchozí části asociovali s tlakem. Předpokládali jsme, že přes naši plochu se může přenášet jenom hybnost rovnoběžná s normálou plochy. Obecně tomu tak ale být nemusí a můžeme definovat, např., přenos \(x\)-ové složky hybnosti přes plochu, která má normálu v směre \(z\) za jednotku času a byla by daná integrálem: \[\begin{gather} \Pi_{xz} = m n \langle v_x v_z\rangle \end{gather}\]
Definujme tedy tok hybnosti jako tenzorovou veličinu: \[\begin{gather} \Pi_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = m n \langle v_i v_j\rangle = m \int_v v_i v_j f(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) \mathrm{d}^3 v \end{gather}\]
Rozdělme rychlost na rychlost průměrnou a náhodnou: \[\begin{gather} v_i = \langle v_i\rangle + c_i = u_i + c_i \\ \Pi_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = m n \langle u_i u_j\rangle + m n \langle u_i c_j\rangle + m n \langle c_i u_j\rangle + m n \langle c_i c_j\rangle \end{gather}\]
Z definice náhodné rychlosti je: \[\begin{gather} m n \langle u_i c_j\rangle = m n \langle c_i u_j\rangle = m n u_i \langle c_j\rangle = 0, \end{gather}\] a hybnostný tok se nám rozpadne dvě složky: \[\begin{gather} \Pi_{ij}(\mathbf{r}, \mathbf{v}, t) = m n \langle u_i u_j\rangle + m n \langle c_i c_j\rangle. \end{gather}\]
První část je konvektivní – hybnost “nese samu sebe”, druhou část budeme nazývat tenzor tlaku a značit: \[\begin{gather} P_{ij} = m n \langle c_i c_j\rangle \end{gather}\] Rozdíl mezi tlakem a hybnostním tokem je, že tlak je vyvolaný jenom termálními rychlostmi částic a ne celkovým pohybem plynu. Je dobré si všimnout, že tenzory tlaku (i hybnostního toku) jsou symetrické tenzory – můžeme vyměnit indexy \(i\) a \(j\) beze změny na hodnotě složky tenzoru.
Klasicky skalární tlak je součástí tenzoru tlaku a je definovaný jako: \[\begin{gather} p = \frac{1}{3} \mathrm{Tr}(P) = \frac{1}{3} m n \langle c_x^2 + c_y^2 + c_z^2\rangle = \frac{1}{3} m n \langle c^2\rangle \end{gather}\] kde \(\mathrm{Tr}(P)\) je stopa tenzoru \(P\), t.j. suma prvků na diagonále, \(\sum_{i} P_{ii}\).
Sílu na jednotku plochy z tenzoru tlaku dostaneme jak: \[\begin{gather} \frac{\mathbf{F}}{S} = - P \cdot \mathbf{\hat{n}} = - m n \langle\mathbf{c} (\mathbf{c} \cdot \mathbf{\hat{n}})\rangle, \end{gather}\] kde mínus je z důvodu konvence orientace normálového vektoru uzavřené plochu, který směřuje ven z objemu.
Pro získaní síly, která působí v objemu plynu vlivem náhodného pohybu částic můžeme integrovat přes uzavřenou plochu okolo daného objemu a použit Stokesův teorém (Gauss-Ostrogradského věta): \[\begin{gather} \mathbf{F} = -\oint_{\partial V} P \cdot \mathrm{d}\mathbf{S} = - \int_V \nabla \cdot P \mathrm{d}^3 r, \end{gather}\] a můžeme zavést hustotu síly (síla na jednotku objemu): \[\begin{gather} \mathbf{f} = - \nabla \cdot P \end{gather}\]
Zvolíme \(\chi({\bf v})=m_\alpha v_\alpha^2/2\), z obecné transportní rovnice dostaneme:
\[ \frac{\partial }{\partial t}\frac{3 p_\alpha}{2}+({\bf u}_\alpha\cdot\nabla)\frac{3 p_\alpha}{2} + \frac{3 p_\alpha}{2}\,\nabla\cdot {\bf u}_\alpha + ({\mathbb P}_\alpha \cdot \nabla ){\bf u}_\alpha + \nabla\cdot{\bf q}_\alpha = M_\alpha - {\bf u}_\alpha\cdot {\bf A}_\alpha + \frac{1}{2}u_\alpha^2 m_\alpha\Sigma_\alpha \]
Fyzikální interpretace jednotlivých členů je:
člen: totální rychlost změny hustoty tepelné energie částic v objemovém elementu který se pohybuje rychlostí odpovídající rychlosti pohybu kapaliny \({\bf u}_\alpha\). Hustota tepelné energie je \(3p_\alpha/2 = \rho_{m\alpha}\langle c_\alpha^2\rangle/2.\)
člen: odpovídá změně hustoty tepelné energie kvůli částicím, které vstupují do objemového elementu s rychlostí \({\bf u}_\alpha\).
člen: práce vykonaná na objemovém elementu díky působení tenzoru tlaku na jeho povrch
člen: změna hustoty tepelné energie kvůli toku tepla.
členy na pravé straně reprezentují rychlost změny hustoty tepelné energie v důsledku srážek.
Tok tepelné energie \[ {\bf q}_\alpha = \frac{1}{2}n_\alpha m_\alpha \langle c_\alpha^2{\bf c}_\alpha \rangle\]
Hustota tepelné energie: \[\frac{1}{2}n_\alpha m_\alpha \langle c_\alpha^2\rangle = \frac{3}{2}p_\alpha\]
Tenzor tlaku: \[ {\mathbb P}_\alpha = n_\alpha m_\alpha \langle {\bf c}_\alpha \, {\bf c}_\alpha\rangle \]
Model studeného plazmatu představuje nejjednodužší uzavřený systém popsaný dvěma proměnnými: \(\rho_{m\alpha}\) a \({\bf u}_\alpha\). Termální pohyb částic je zanedbán: \[ {\mathbb P}_\alpha = 0 \]
\[ \frac{\partial \rho_{m\alpha}}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho_{m\alpha}{\bf u}_\alpha) = S_\alpha \]
\[ \rho_{m\alpha}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_\alpha+({\bf u}_\alpha\cdot\nabla){\bf u}_\alpha\right] = n_\alpha q_\alpha ({\bf E} + {\bf u}_\alpha\times{\bf B}) +\rho_{m\alpha}{\bf g} + {\bf A}_\alpha - {\bf u}_\alpha S_\alpha \]
Tento model se používá např. na studium šíření elektromagnetických vln plazmatem, v případě že jejich fázová rychlost je mnohem větší než tepelná rychlost částic.
Proměnné: \(\rho_{m\alpha}\) a \({\bf u}_\alpha\), \(p_\alpha\).
V systém rovnic se uzavře předpokladem že o nulovosti tepelného toku energie: \(\nabla\cdot {\bf q}_\alpha= 0\).
Tepelná vodivost plazmatu v této aproximaci je nulová.
Nediagonální členy v tenzoru tlaku jsou také nulové.
Diagonální členy v tezoru tlaku jsou si rovné a divergenci v tenzoru tlaku lze nahradit pomoci gradientu skalárního tlaku: \[ \nabla\cdot \mathbb{P}_\alpha = \nabla p_\alpha. \]
Systém rovnic pro popis teplého plazmatu je:
\[ \frac{\partial \rho_{m\alpha}}{\partial t} + \nabla\cdot(\rho_{m\alpha}{\bf u}_\alpha) = S_\alpha \]
\[ \rho_{m\alpha}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_\alpha+({\bf u}_\alpha\cdot\nabla){\bf u}_\alpha\right] = n_\alpha q_\alpha ({\bf E} + {\bf u}_\alpha\times{\bf B}) +\rho_{m\alpha}{\bf g} -\nabla p_\alpha + {\bf A}_\alpha - {\bf u}_\alpha S_\alpha \]
\[ \frac{\partial }{\partial t}\frac{3p_\alpha}{2}+({\bf u}_\alpha\cdot\nabla)\frac{3p_\alpha}{2} + \frac{5 p_\alpha}{2}(\nabla\cdot {\bf u}_\alpha) = M_\alpha - {\bf u}_\alpha \cdot {\bf A}_\alpha +\frac{1}{2}u_\alpha^2 S_\alpha \]
Poslední rovnice vede při zanedbání zdrojových členů na adiabatickou stavovou rovnici:
\[ p_\alpha\rho_{m\alpha}^{-\gamma}={\rm const.} \]
Mnohdy je možné místo rovnice pro energii uvážit například izotermicou stavovou rovnici: \[ p_\alpha= n_{\alpha} k T_\alpha, \quad T_\alpha = const. \]
V případě, že plazma není ve stavu lokální termodynamické rovnováhy, když není možné zanedbat tok tepla a je třeba uvážit nenulovou viskozitu, může být jediný způsob popisu plazmatu pomocí rozdělovací funkce \(f_\alpha\) ve fázovém prostoru. Makroskopické parametry plazmatu se pak spočítají jako momenty \(f_\alpha\).
Představme si neutrální plazmu, do které vložíme malou sférickou perturbaci elektronové hustoty. Tato nadbytečná elektronová hustota vytvoří kolem sebe radiální elektrické pole, které míří směrem k přidané hustotě. Elektrony na okraji a kolem sférické perturbace se začnou vzdalovat dál od perturbace. Vzhledem k tomu, že elektrony získají kinetickou energii, se nakonec dostanou dál než by odpovídalo rovnovážnému stavu, stejným způsobem jak se kyvadlo po vychýlení nezastaví v rovnovážným bodě. Směr radiálního elektrického pole se otočí a naše sférická oblast bude teď vyplněna nadbytkem kladného náboje. Celý proces se periodicky opakuje. Pohyb iontů v plazmatu zanedbejme, jelikož jsou ionty vetšinou mnohem těžší než elektrony a urychlují se pomaleji.
Podívejme se na oscilace, které vznikají tímto procesem. Elektronová hustota je složena z hustoty plazmatu a perturbace: \[\begin{gather} n_e(r, t) = n_0 + n_e'(r, t). \end{gather}\] Uvažujeme, že perturbace je malá, \(\lvert n_e\rvert \lll n_0\), podobně i rychlost elektronů, abychom mohli použít linearizované rovnice kontinuity a hybnosti a taky zanedbáme srážky. Soustavu rovnic doplní Poissonova rovnice a dostáváme systém rovnic: \[\begin{gather} \frac{\partial {n_e'}}{\partial {t}} + n_0 \nabla \cdot \mathbf{u}_e = 0 \\ \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} + \frac{e}{m_e} \mathbf{E} = 0 \\ \nabla \cdot \mathbf{E} = \frac{\rho}{\varepsilon_0} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_e'. \end{gather}\]
Rovnice můžeme dále upravit a dostat rovnici pro \(n_e\): \[\begin{gather} \frac{\partial {^2 n_e'}}{\partial {t^2}} + n_0 \nabla \cdot \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} = 0 \\ \nabla \cdot \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} + \frac{e}{m_e} \nabla \cdot \mathbf{E} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad \nabla \cdot \frac{\partial {\mathbf{u}_e}}{\partial {t}} = \frac{e^2}{m_e \varepsilon_0} n_e' \\ \frac{\partial {^2 n_e'}}{\partial {t^2}} + n_0 \frac{e^2}{m_e \varepsilon_0} n_e' = 0, \end{gather}\] co je rovnice pro harmonický oscilátor s frekvencí: \[\begin{gather} \omega_\mathrm{pe} = \sqrt{\frac{n_0 e^2}{m_e \varepsilon_0}}, \end{gather}\] kterou jsme již potkali – je to elektronová plazmová frekvence.
Řešení rovnice pro perturbovanou hustotu je: \[\begin{gather} n_e'(r, t) = n_e'(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe} t} \end{gather}\] a po dosazení zpátky do soustavy rovnic dostáváme: \[\begin{gather} \nabla \cdot \mathbf{E} = -\frac{e}{\varepsilon_0} n_e'(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe} t}\\ \nabla \cdot \mathbf{u}_e = \frac{1}{n_0} \frac{\partial {n_e'}}{\partial {t}} = \frac{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe}}{n_0} n_e'(r) \mathrm{e}^{-\mathrm{i}\omega_\mathrm{pe} t} \\ \mathbf{u}_e = - \frac{\mathrm{i}e}{\omega_\mathrm{pe} m_e} \mathbf{E} \end{gather}\] z čeho můžeme vypozorovat 2 věci: