Zima 2020/2021
Budeme uvažovat případ slabě ionizovaného plazmatu, kdy interakce mezi nabitými částicemi a neutrály jsou dominantní. Pohybová rovnice (Langevinova rovnice) pro elektronovou kapalinu bude mít tvar \[ m_{\rm e}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_{\rm e}+({\bf u}_{\rm e}\cdot\nabla){\bf u}_{\rm e}\right] = - e ({\bf E} + {\bf u}_{\rm e}\times{\bf B}) +({\bf F}_{\rm coll})_{\rm e}, \] kde \({\bf u}_{\rm e}\) je průměrná rychlost elektronů, \(({\bf F}_{\rm coll})_{\rm e}\) je časová změna hybnosti elektronů vlivem srážek s neutrálními částicemi (odpor prostředí). Markroskopický srážkový člen můžeme vyjádřit jako součin hybnosti elektronů a efektivní srážkové frekvence pro přenos hybnosti: \[ ({\bf F}_{\rm coll})_{\rm e} = -\nu_cm_{\rm e}{\bf u}_{\rm e}. \] Znaménko mínus je zde proto, že srážky působí proti pohybu průměrného elektronu. Chybějící rychlost neutrálních částic v tomto výrazu znamená, že jejich pohyb je naprosto náhodný, že se nikam v průměru neposouvají, nikam nedriftují.
V případě bez působení vnější síly, budeme mít \[ m_{\rm e}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_{\rm e}+({\bf u}_{\rm e}\cdot\nabla){\bf u}_{\rm e} \right] = - \nu_cm_{\rm e}{\bf u}_{\rm e}, \] s řešením \[ {{\bf u}_{\rm e}} = {\bf u}_{\rm e}(0)\exp(-\nu_c t). \] Srážky elektronů s neutrály tedy zpomalují drift elektronů exponenciálně, charakteristická doba tohoto procesu je dána srážkovou frekvencí \(\nu_c\).
Podobnou rovnici můžeme napsat pro ionty \[ m_{\rm i}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_{\rm i}+({\bf u}_{\rm i}\cdot\nabla){\bf u}_{\rm i}\right] = Ze({\bf E} + {\bf u}_{\rm i} \times {\bf B}) + {\bf F}_{\rm coll,i}, \] kde \(Ze\) je náboj iontů. V mnoha případech lze pohyb iontů zanedbat (\({\bf u}_{\rm i}=0\)). Plazma, kde se pohybují jen elektrony se nazývá Lorentzův plyn.
Nelineární členy jsou:
Konvektivní derivace.
\(({\bf u}_{\rm e}\cdot \nabla) {\bf u}_{\rm e} \approx 0\), může nastat pro malé rychlosti nebo když je \({\bf u}_{\rm e} \perp \nabla {\bf u}_{\rm e}\).
Magnetická část Lorentzovy síly \({\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}\):
\({\bf B}\) separujeme do dvou částí: \[ {\bf B}({\bf r}, t) = {\bf B}_0 + {\bf B}^{\prime}({\bf r}, t) \] tak že \[ q({\bf E} + {\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}) = q ({\bf E} + {\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0 + {\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}^{\prime}) \] V případě, že \[ |{\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}^{\prime}|\ll|{\bf E}| \] pak nelinearitu \({\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}^{\prime}\approx 0\).
Linearizovaná Langevinova rovnice bude \[ m_{\rm e}\frac{\partial {\bf u}_{\rm e}}{\partial t} = q ({\bf E} + {\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0) - m_{\rm e}\nu_c {\bf u}_{\rm e}. \]
Budeme uvažovat případ, kdy se \({\bf u}_{\rm e}\), \({\bf B}^{\prime}\) a \({\bf E}\) mění harmonicky v čase.
Planární vlny
jednoduchý matematický přístup
libovolně složitá vlna se dá realizovat jako superpozice rovinných vln
Planární vlna \[ \{{\bf u}_{\rm e},{\bf B}^{\prime},{\bf E}\} \sim \exp[{\rm i}({\bf k}\cdot{\bf r} -\omega t)], \] kde \(\omega\) je úhlová frekvence, \({\rm i}\) je imaginární jednotka, \({\bf k}\) je vlnový vektor (míří ve směru propagace vlny), \({\bf r}\) je vektor z počátku souřanic do uvažovaného místa na rovinné vlně.
Při prostorové a časové závislosti tvaru \(\exp[{\rm i}({\bf k}\cdot{\bf r} -\omega t)]\), nahradíme derivace: \[ \nabla \longrightarrow {\rm i}{\bf k}, \quad \frac{\partial }{\partial t} \longrightarrow - {\rm i}\omega. \] Pak \[ \nabla \times {\bf E} = -\frac{\partial {\bf B}}{\partial t} \quad \longrightarrow \quad {\rm i}{\bf k}\times {\bf E} = +{\rm i}\omega{\bf B}^{\prime} \quad \Longrightarrow \quad {\bf B}^{\prime} = \frac{{\bf k}\times {\bf E} }{\omega}. \] Protože jsme požadovali aby \[ |{\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}^{\prime}|\ll|{\bf E}| \quad\Longrightarrow\quad \left|{\bf u}_{\rm e}\times \left(\frac{{\bf k}\times {\bf E} }{\omega}\right) \right| \ll |{\bf E}| \quad \Longrightarrow\quad \left|u_{\rm e}k E/\omega \right| \ll |E|, \] Tedy \[\frac{u_{\rm e}k}{\omega} \ll 1\] nebo \[ u_{\rm e} \ll \frac{\omega}{k}, \] kde \(\frac{\omega}{k}\) je fázová rychlost světla.
Uvažujme případ kdy \({\bf B}=0\) a ustálený stav \((\frac{\partial }{\partial t}\approx 0)\). Langevinova rovnice bude \[ 0 = - e {\bf E} - m_{\rm e}\nu_c {\bf u}_{\rm e}. \] V takovém případě je síla působící na elektron právě vyvážena srážkami mezi elektrony a neutrály. Hustota proudu elektronů \[ {\bf J} = - e n_{\rm e} {\bf u}_{\rm e}. \] Vztah mezi proudovou hustotou a elektrickým polem bude \[ {\bf J} =\frac{n_{\rm e}e^2}{m_{\rm e}\nu_c} {\bf E} \] má tvar Ohmova zákona (diferenciálním tvaru). Z toho dostáváme stejnosměrnou vodivost plazmatu \[ \sigma_0 = \frac{n_{\rm e}e^2}{m_{\rm e}\nu_c}. \]
Pohyblivost \(\mu\) je definována vztahem mezi driftovou rychlostí a elektrickým polem \[ {\bf u}_{\rm e} = \mu_{\rm e} {\bf E} \] Pohyblivost tedy bude: \[ \mu_{\rm e} = - \frac{e}{m_{\rm e}\nu_c} \]
Vyjdeme z Langevinovy rovnice za stacionárního stavu \[ -e({\bf E} +{\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0 ) - m_{\rm e}\nu_c{\bf u}_{\rm e}=0 \]
Podobně jako v předchozím případě můžeme psát \[ \frac{m_{\rm e}\nu_c}{e n_{\rm e}}(-en_{\rm e} {\bf u}_{\rm e} ) = e({\bf E} +{\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0 ) \] Dostáváme zoběcněný ohmův zákon \[ {\bf J} = \sigma_0({\bf E} +{\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0). \] Který chceme opět přepsat do tvaru \[ {\bf J} = \mathbb{S}\cdot {\bf E}, \] kde \(\mathbb{S}\) bude tenzor vodivosti (matice), zkusme ji najít.
Zvolme směr magnetického pole podél osy \(z\): \[ {\bf B} = B_0\hat{\bf z}. \] Driftovou rychlost \({\bf u}_{\rm e}\) vyjádříme pomocí \({\bf J}\) jako \[ {\bf u}_{\rm e} = - \frac{{\bf J}}{e n_{\rm e}}. \] Ohmův zákon bude \[ {\bf J} = \sigma_0 {\bf E} + \frac{\sigma_0B_0}{en_{\rm e}}({\bf J}\times \hat{\bf z}) = \sigma_0 {\bf E} - \frac{\Omega}{\nu_c}({\bf J}\times \hat{\bf z}), \] Dále \[ {\bf J}\times \hat{\bf z} = J_y\hat{\bf x} - J_x\hat{\bf y}. \] Dostaneme soustavu rovnic pro jednotlivé složky \({\bf J}\). \[ J_x = \sigma_0 E_x - \frac{\Omega}{\nu_c} J_y \] \[ J_y = \sigma_0 E_y + \frac{\Omega}{\nu_c} J_x \] \[ J_z = \sigma_0 E_z,\] kterou rozřešíme a dostaneme požadovaný tvar Ohmova zákona \[ \begin{pmatrix} J_x \\ J_y \\ J_z \\ \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} \sigma_\perp & -\sigma_{\rm H} & 0 \\ \sigma_{\rm H} & \sigma_\perp & 0 \\ 0 & 0 & \sigma_0 \\ \end{pmatrix} \begin{pmatrix} E_x \\ E_y \\ E_z \\ \end{pmatrix} \] Kde jsou:
Vodivost podél \({\bf B}\) (\(\parallel {\bf E}_{\parallel}\), \(\parallel {\bf B}\)): \[\sigma_0 = \frac{n_{\rm e}e^2}{m_{\rm e}\nu_c},\]
Transverzální vodivost (\(\parallel {\bf E}_\perp\), \(\perp {\bf B}\)): \[\sigma_\perp = \sigma_0 \frac{\nu_c^2}{\nu_c^2+\Omega^2}\]
Hallova vodivost (\(\perp {\bf E}\), \(\perp {\bf B}\)): \[\sigma_{\rm H} = \sigma_0 \frac{\Omega \nu_c}{\nu_c^2+\Omega^2} \]
Příklad: Hustoty proudu kolmé a rovnoběžné na magnetické pole jsou \[{\bf J}_\perp = \hat{\bf x}(\sigma_\perp E_x - \sigma_{\rm H} E_y) + \hat{\bf y}(\sigma_{\rm H}E_x + \sigma_\perp E_y) \] \[ {\bf J}_\parallel = \hat{\bf z} \sigma_\parallel E_z\] Jaký je proud kolmý na elektrické pole.
Limit vysoké vodivosti
Pro případ vysoké vodivosti (\(\sigma_0\rightarrow\infty\), \(\nu_c\rightarrow0\)), dostaneme zjednodušenou rovnici \[ 0= {\bf E} +{\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0. \] Vynásobením zprava vektorově s \({\bf B}\) \[ 0={\bf E}\times {\bf B}_0 + ({\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0)\times {\bf B}_0 \] po úprvě dostaneme drift elektronové kapaliny \[ {\bf u}_{\rm e \perp} = \frac{{\bf E}\times {\bf B}_0}{B_0^2}. \] Drift nezávisí na náboji, podobný výraz najdeme pro ionty. Výsledný proud v plazmatu je tedy nulový: \({\bf J} = {\bf 0}\).
V případě že strážky nejsou plně zanedbatelné bude pohyb elektronů více bržděn než pohyb iontů a výsledný (Hallův) proud bude \[ {\bf J} = e n_{\rm e} ( {\bf u}_{\rm i \perp} - {\bf u}_{\rm e \perp}). \]
V případě že \({\bf E}\) a \({\bf u}_{\rm e}\) budou harmonické v čase: \[ \{ {\bf E}, {\bf u}_{\rm e}\} \sim \exp({\rm i} \omega t) \] pak \[ -e({\bf E} + {\bf u}_{\rm e}\times{\bf B}_0) - m_{\rm e}(\nu_c - {\rm i}\omega){\bf u}_{\rm e} = 0 \]
Nahradíme: \[ \nu_c \longrightarrow \nu_c - {\rm i}\omega \] Vodivost pak bude komplexní, tz. že bude fázový posun mezi \({\bf J}\) a \({\bf E}\).
Linearizovaná Langevinova rovnice pro ionty typu \(\alpha\) je:
\[ m_\alpha \frac{\partial {\bf u}_{\alpha}}{\partial t} = q ({\bf E} + {\bf u}_{\alpha}\times {\bf B}_0) - m_\alpha \nu_{\alpha c} {\bf u}_{\alpha}, \] kde \(\nu_{\alpha c}\) je srážková frekvence mezi ionty \(\alpha\) a neutrály. Rovnice pro jednotlivé typy nabytých částic nejsou propojené, srážejí se pouze s neutrály (dominantní interakce), každý typ částice po svém, ne nabité částice mezi sebou.
Celková proudová hustota bude \[ {\bf J} = \sum\limits_\alpha n_\alpha q_\alpha {\bf u}_\alpha = \sum\limits_\alpha{\bf J}_\alpha = \left( \sum\limits_\alpha \mathbb{S}_{\alpha} \right) \cdot {\bf E} \] Pro plazma s několika typy iontů (součet přes index \(j\), \(\omega_{ej}\), \(\omega_{pj}\) je plazmová frekvence ) \[ \sigma_\perp = \varepsilon_0 \left[ \frac{\omega_{pe}^2(\nu_{ce}-i\omega)}{(\nu_{ce}-i\omega)^2+ \Omega_{ce}^2} + \sum\limits_j \frac{\omega_{pj}^2(\nu_{cj}-i\omega)}{(\nu_{cj}-i\omega)^2+ \Omega_{cj}^2} \right] \]
\[ \sigma_{H} = \varepsilon_0 \left[ \frac{\omega_{pe}^2\Omega_{ce}}{(\nu_{ce}-i\omega)^2+ \Omega_{ce}^2} + \sum\limits_j \frac{\omega_{pj}^2\Omega_{cj}}{(\nu_{cj}-i\omega)^2+ \Omega_{cj}^2} \right] \]
\[ \sigma_\parallel = \varepsilon_0 \left[ \frac{\omega_{pe}^2}{(\nu_{ce}-i\omega)} + \sum\limits_j \frac{\omega_{pj}^2}{(\nu_{cj}-i\omega)}\right] \]
Použijme Maxwellovu rovnici \[ \nabla\times{\bf B} = \mu_0\left({\bf J} + \varepsilon_0 \frac{\partial {\bf E}}{\partial t}\right) \] a nahradíme hustotu proudu \({\bf J}\) pomoci ohmova zákona \[ {\bf J} = \mathbb{S}\cdot {\bf E} \] Opět budeme předpokládat harmonickou závislot na čase a nahradíme \[\frac{\partial }{\partial t}\longrightarrow -i\,\omega\] Dostaneme \[ \nabla\times{\bf B} = \mu_0\mathbb{S}\cdot {\bf E} -i\,\omega\mu_0 \varepsilon_0 {\bf E} \] \[ \nabla\times{\bf B} = -i\,\omega \mu_0 \varepsilon_0\left(\mathbb{I}+\frac{i\mathbb{S}}{\omega \varepsilon_0}\right)\cdot{\bf E} = -i\,\omega \mu_0\, \cal{E}\cdot{\bf E} \] Kde \[ \cal{E} = \varepsilon_0\left(\mathbb{I}+\frac{i\mathbb{S}}{\omega \varepsilon_0}\right) \] je dielektrický tenzor plazmatu. V maticové podobě má tvar \[ \cal{E} = \varepsilon_0 \begin{pmatrix} \varepsilon_1 & -\varepsilon_2 & 0 \\ \varepsilon_2 & \varepsilon_1 & 0 \\ 0 & 0 & \varepsilon_3 \\ \end{pmatrix} \] kde jednotlivé složky jsou \[ \varepsilon_1 = 1 + \frac{i}{\omega\varepsilon_0}\sigma_\perp, \] \[ \varepsilon_2 = \frac{i}{\omega\varepsilon_0}\sigma_H, \] \[ \varepsilon_3 = 1 + \frac{i}{\omega\varepsilon_0}\sigma_0. \] Zobeznění na plazma s více typy nabitých částic je přímočaré.
Materiálové vztahy pro plazma pak budou \[ {\bf D} = \cal{E}\cdot {\bf E}, \quad {\bf B} = \mu_0 {\bf H}. \]