Zima 2020/2021
V případě vodivosti jsme uvažovali elektrické pole jako hybnou sílu která působila na elektrony. Budeme-li uvažovat nehomogenitu v koncentraci částic, bude hybnou silou gradient tlaku a proces který se bude snažit vyhladit gradienty v koncentraci bude difúze.
Budeme studovat chování elektronů podle modelu teplého plazmatu s uvážením izotermické stavové rovnice (při skoro izotropní rozdělovací funkci):
\[ \frac{\partial n_{{\rm e}}}{\partial t} + \nabla\cdot(n_{{\rm e}}{\bf u}_{\rm e}) = 0 \]
\[ m_{{\rm e}}n_{\rm e}\left[\frac{\partial }{\partial t}{\bf u}_{\rm e}+({\bf u}_{\rm e}\cdot\nabla){\bf u}_{\rm e}\right] = n_{\rm e} q_{\rm e} ({\bf E} + {\bf u}_{\rm e}\times{\bf B}) - \nabla p_{\rm e} - m_{{\rm e}} n_{\rm e} \nu_{\rm c}{\bf u}_{\rm e} \] \[ p_{\rm e}({\bf r}, t) = k T n_{{\rm e}}({\bf r}, t) \] Teplota elektronů \(T\) bude konstantní, \(\nabla p_{\rm e}\) je nenulové díky fluktuacím v koncentraci \(n_{{\rm e}}({\bf r}, t)\).
Uvážíme nejprve volnou difúzi, tj. bez působení vnějších siových polí \({\bf E} = {\bf 0}\), \({\bf B} = {\bf 0}\).
Volná difúze: \[{\bf E} = {\bf 0} \] \[{\bf B} = {\bf 0} \]
V koncentraci je jen slabá nehomogenita (porucha prvního řádu): \[ n_{{\rm e}}({\bf r}, t) = n_0 + n^{\prime}({\bf r}, t) \] pak \[ \nabla\cdot (n_{{\rm e}}{\bf u}_{\rm e}) = \nabla\cdot ( (n_0+n^{\prime}){\bf u}_{\rm e}) = n_0\,\nabla\cdot {\bf u}_{\rm e} + \nabla\cdot(n^{\prime}{\bf u}_{\rm e}) \approx n_0\,\nabla\cdot {\bf u}_{\rm e} \]
Rychlost pohybu elektronů \({\bf u}_{\rm e}\) je veličina prvního řádu, \(({\bf u}_{\rm e} \cdot \nabla) {\bf u}_{\rm e}\) je druhého řádu, proto: \[ ({\bf u}_{\rm e} \cdot \nabla) {\bf u}_{\rm e} \approx 0 \]
Gradient tlaku vytváří sílu která má tendenci vyhladit nehomogenity v hustotě \[ \nabla p = k T \nabla n_{{\rm e}} = k T \nabla n^{\prime}. \]
V odporové síle se potkají dva členy prvního řádu, jejich součin zanedbáme: \[ n_{\rm e} \nu_{\rm c}{\bf u}_{\rm e} = ( n_{\rm 0} + n^{\prime}) \nu_{\rm c}{\bf u}_{\rm e} \approx n_0 \nu_{\rm c}{\bf u}_{\rm e} \]
Linearizované rovnice kontinuity a rovnice pro hybnost elektronů budou: \[ \frac{\partial n^{\prime}}{\partial t} + n_0 \nabla\cdot({\bf u}_{\rm e}) = 0 \]
\[ n_0\frac{\partial {\bf u}_{\rm e}}{\partial t} = - \frac{k T}{m_{{\rm e}}} \nabla n^{\prime} - \nu_{\rm c} n_0 {\bf u}_{\rm e} \] Rovnici kontinuity zderivujeme podle času a rovnici pro hybnost aplikujeme operátor \(\nabla\cdot\) a dáme je dohromady. Po úpravě dostaneme rovnici ve tvaru \[ -\frac{1}{\nu_c}\frac{\partial ^2n^\prime}{\partial t^2} = -D_{\rm e}\nabla^2n^{\prime} + \frac{\partial n^\prime}{\partial t}, \] kde \[ D_{\rm e} = \frac{kT}{m_{\rm e}\nu_{\rm c}} \] je koeficient volné difuze elektronů.
Nechť \(\tau\) je charakteristická doba a \(L\) charakteristická vzdálenost na které se mění \(n^{\prime}\). Pak můžeme derivace aproximovat: \[ \frac{\partial n^{\prime}}{\partial t} \sim \frac{n^{\prime}}{\tau}, \quad \frac{1}{\nu_{{\bf c}}}\frac{\partial ^2 n^{\prime}}{\partial t^2} \sim \frac{1}{\nu_{{\bf c}}}\frac{n^{\prime}}{\tau^2}, \nabla^2 n^{\prime} \sim \frac{n^{\prime}}{L^2}. \] Bude-li platit \[ \frac{1}{\nu_{{\bf c}}}\frac{n^{\prime}}{\tau^2} \ll \frac{n^{\prime}}{\tau}, \] tedy, že za \(\tau\) nastane mnoho srážek: \[ 1 \ll \nu_{{\bf c}}\tau, \] pak bude člen s druhou derivací zanedbatelný oproti členu s první derivací \(n^{\prime}\): \[ \frac{1}{\nu_c}\frac{\partial ^2n^\prime}{\partial t^2} \ll \frac{\partial n^{\prime}}{\partial t}. \] Dostaneme difuzní rovnici: \[ \frac{\partial n^{\prime}}{\partial t} = D_{\rm e} \nabla^2 n^{\prime}. \] Difuzní rovnici jsme odvodili z makroskopických rovnice pro transport elektronů s uvážením izotermické stavové rovnice.
V ustáleném stavu z rovnice pro hybnost máme \[ 0 \approx - \frac{k T}{m_{{\rm e}}} \nabla n^{\prime} - n_0 \nu_c {\bf u}_{\rm e} \] Linearizovaný tok elektronů bude \[ {\bf \Gamma}_0 = n_0 {\bf u}_{\rm e} = - D_e \nabla n^{\prime}. \] Rovnice jsou analogické s případem vodivosti, při záměně proměnných \[ {\bf J} \longleftrightarrow {\bf \Gamma}_0 \] \[ {\bf E} \longleftrightarrow - \nabla n^{\prime} \] \[ \sigma \longleftrightarrow D_{\rm e} \]
Uvážíme-li difúzi za přítomnosti magnetického pole \({\bf B} = B_0\hat{\bf z}\), budeme mít pro tok elektronů rovnici \[ {\bf \Gamma}_{\rm e} = - D_{\rm e}\nabla n^{\prime} - \frac{e}{m_{\rm e}\nu_c}({\bf u}_{\rm e}\times {\bf B}_0) \] \[ {\bf \Gamma}_{\rm e} = - D_{\rm e}\nabla n^{\prime} - \frac{e B_0}{m_{\rm e}\nu_c}({\bf u}_{\rm e}\times \hat{\bf z}) \] \[ {\bf \Gamma}_{\rm e} = + D_{\rm e}\nabla(- n^{\prime}) - \frac{\Omega}{\nu_c}({\bf u}_{\rm e}\times\hat{\bf z} ) \] Na základě analogie s vodivostí můžeme rovnou psát řešení ve tvaru \[ {\bf \Gamma}_{\rm e} = -\mathbb{D}\cdot\nabla n^{\prime}, \] kde \[ \mathbb{D} = \begin{pmatrix} D_\perp & -D_{\rm H} & 0 \\ D_{\rm H} & D_\perp & 0 \\ 0 & 0 & D_0 \\ \end{pmatrix} \] \[D_0 = \frac{kT}{m_{\rm e}\nu_c},\] \[D_\perp = D_0 \frac{\nu_c^2}{\nu_c^2+\Omega^2}\] \[D_{\rm H} = D_0 \frac{\Omega \nu_c}{\nu_c^2+\Omega^2} \]
Difuzní rovnici lze odvodit dosazením toku \({\bf \Gamma}_{\rm e}\) do rovnice kontinity: \[ \frac{\partial n^{\prime}}{\partial t} = \nabla\cdot(\mathbb{D}\cdot \nabla n^{\prime}) = D_\perp \left( \frac{\partial ^2n^{\prime}}{\partial x^2} +\frac{\partial ^2n^{\prime}}{\partial y^2} \right) + D_0 \frac{\partial ^2n^{\prime}}{\partial z^2} \]
V silném magnetickém poli je \(D_\perp\ll D_0\) protože \(\nu_c \ll \Omega\), difuze napříč magnetickým polem je tedy silně omezena a platí: \[ D_\perp \propto 1/B^2, \] \[ D_H \propto 1/B. \]
V plazmatu jsou elektrony i ionty, můžeme uvažovat podobné rovnice jako pro elektrony i pro ionty. Ustálený tok iontů způsobený nehomogenitou v jejich koncentraci bude analogicky \[ \Gamma_i = - D_i \nabla n^{\prime}_i, \quad D_i = \frac{kT_i}{m_i \nu_{ci}} \] Difuzní koeficient je nepřímo úměrný hmotnosti: \[ D_e \propto \frac{1}{m_{\rm e}},\quad D_i \propto \frac{1}{m_i} \] Elektrony jsou mnohem lehčí než ionty, proto utíkají z plazmatu rychleji. Nechávají za sebou převahu kladného náboje a vzniká (ambipolární) elektrické pole, které brzdí únik elektronů a urychluje únik iontů. Zpočítejme ambipolární pole.
Intermezzo: Za jakých podmínek by bylo možné elektrické pole vzniklé nerovnováhou náboje neuvažovat?
Nechť je charakteristická prostorová škála na které se mění znatelně koncentrace částic \(L\). \[ \nabla \cdot {\bf E} = \frac{e(n_i-n_e)}{\varepsilon_0} \quad \Longrightarrow \quad \frac{E}{L} = \frac{e n^{\prime}}{\varepsilon_0} \] Elektrická síla působící na jednotku hmotnosti částic bude \[ f_E = \frac{eE}{m} \sim \frac{e^2n^{\prime}}{\varepsilon_0 m} L. \] Podobně síla na jednotku hmotnosti způsobená difuzí \[ f_D = \frac{kT}{m n_0}|\nabla n^{\prime}| \sim \frac{kTn^{\prime}}{m n_0 L} \]
Má-li být \(f_E \ll f_D\) muselo by platit \[ \frac{e^2n^{\prime}}{\varepsilon_0 m} L \ll \frac{kTn^{\prime}}{m n_0 L} \] neboli \[ L^2 \ll \lambda_D^2, \] to je v plazmatu splněno zřídka. Proto difuze elektornů a iontů je svázaná a probíhá jako ambilolární difuze.
Uvažujme elektrony a ionty \(\alpha = \{i,e\}\) \[ n_\alpha({\bf r}, t) = n_0 + n_\alpha^{\prime} \]
\[ \frac{\partial n_\alpha^\prime}{\partial t} + n_0 \nabla\cdot{\bf u}_\alpha = 0 \]
\[ \frac{\partial {\bf u}_\alpha}{\partial t} = \frac{q_\alpha}{m_\alpha}{\bf E} - \frac{kT_\alpha}{m_\alpha n_0}\nabla n_\alpha^\prime- \nu_{c\alpha}{\bf u}_\alpha \]
\[ \nabla \cdot {\bf E} = \frac{e(n_i-n_e)}{\varepsilon_0} = \frac{e}{\varepsilon_0}(n_i^\prime-n_e^\prime) \]
elektrony a iony se sráží s neutrály, ne mezi sebou
neutrály nikam nedriftují
Kombinací těchto rovnic pro elektrony a ionty dostaneme
\[ 0 \approx \frac{\partial ^2 n_e^\prime}{\partial t^2} = \omega_{pe}^2(n_e^\prime-n_i^\prime) + \frac{kT_e}{m_e}\nabla^2 n_e^\prime -\nu_{ce}\frac{\partial n_e^\prime}{\partial t}, \]
\[ 0 \approx \frac{\partial ^2 n_i^\prime}{\partial t^2} = - \omega_{pi}^2(n_e^\prime-n_i^\prime) + \frac{kT_i}{m_i}\nabla^2 n_i^\prime -\nu_{ci}\frac{\partial n_i^\prime}{\partial t}, \] kde \(\omega_{p\alpha}\) je plazmová frekvence a levé strany jsou nulové za předpokladu \(\nu_c \tau\gg1\).
Sečtením těchto rovnic dostaneme \[ kT_e\nabla^2 n_e^\prime + kT_i\nabla^2 n_i^\prime - m_i\nu_{ci}\frac{\partial n_i^\prime}{\partial t} - m_e\nu_{ce}\frac{\partial n_e^\prime}{\partial t} = 0 \] Další předpoklad který nyní uděláme bude \(n_i^\prime \approx n_e^\prime \approx n^\prime\). Po úpravě dostaneme rovnici pro ambipolární difuzi: \[ \frac{\partial n^\prime}{\partial t} = D_a \nabla^2 n^{\prime}, \] kde \[ D_a = \frac{k(T_e+T_i)}{m_e\nu_{ce}+m_i\nu_{ci}} \] je coeficient ambipolární difuze.
V plazmatu většinou platí \(T_e > T_i\) a \(m_e \nu_{ce} \ll m_i \nu_{ci}\): \[ D_a = \frac{kT_i}{m_i\nu_{ci}}\frac{1+\frac{\displaystyle T_e}{\displaystyle T_i}}{1+\frac{\displaystyle m_e \nu_{ce}}{\displaystyle m_i \nu_{ci}}} \approx D_i\left(1+\frac{\displaystyle Te}{\displaystyle T_i}\right). \] Ambipolární difuze je tedy řízena ionty, ale díky vyšší teplotě elektronů bude urychlena oproti volné difuzi iontů.
Uvážíme-li jak působení elektrické síly tak gradient tlaku vyvolaný nehomogenitou v koncentraci elektronů (z rovnice pro hybnost v ustáleném stavu), bude tok elektronů dán jak elektrickým polem tak gradientem v koncentraci. Tok v drift-difuzní aproximaci pak bude: \[ {\bf \Gamma}_{\rm e} = n_e\mu{\bf E} - D_{\rm e}\nabla n_e. \] Dynamika elektronů v plazmatu bude pak popsána jedinou rovnicí: \[ \frac{\partial n_e}{\partial t} + \nabla\cdot(n_e\mu{\bf E} - D_{\rm e}\nabla n_e) = \Sigma_e. \] Tato aproximace je často používána pro popis šíření ionizačních vln ve vzduchu za atmosferického tlaku, kdy požadavek na vysokou srážkovou frekvenci elektronů s neutrály je dobře splněn, koeficienty \(D_{\rm e}\), \(\mu\) jsou zde obecněji funkcí redukovaného elektrického pole \(E/N\), kde \(N\) je koncentrace neutrálních částic, nebo střední energie elektronů.
Poměru mezi skalární pohyblivostí \(\mu\) a difuzním koeficientem \(D_{\rm e}\) se říká Einsteinův vztah: \[ \frac{\mu}{D_{\rm e}} = - \frac{e}{kT}, \] používá se na přibližný přepočet mezi \(\mu\) a \(D_{\rm e}\) v případě že je známa jen jedna z těchto veličin (například z experimentu).
Howgh!