Zima 2020/2021
Uvažujme objekt vložený do plazmatu, který není vodivě spojený se zemí. Plazma
Vnořme do plazmatu objekt, který byl na začátku nenabitý. Na stěnu objektu budou dopadat elektrony a ionty z plazmatu (předpokládejme že jsou pohlceny) a postupně se na něm bude budovat převaha záporného náboje, protože na něj dopadá více elektronů. Tok elektronů je větší než tok iontů díky jejich malé hmotnosti.
Objekt se záporně nabije a vytvoří ve svém okolí elektrické pole, které bude elektrostaticky odpuzovat elektrony a přitahovat kladné ionty. Díky tomu se zvýší proud iontů na stěnu a sníží se proud elektronů. Potenciál stěny nakonec bude takový, že toky elektronů a iontů budou vyrovnané. Těleso pak bude na tzv. plovoucím potenciálu.
Uspokojivý matematický popis stěnové vrstvy je dosti složitý. Ale fyzikální rozbor mechanizmů vzniku stěnové vrstvy je dostatečně jednoduše pochopitelný a pomůže nám vybudovat fyzikální intuici pro daný problém.
Odvoďme hodnotu potenciálu na který se plovoucí objekt v plazmatu nabije. Budeme předpokládat, že elektrony a ionty jsou v tepelné rovnováze se stěnou. Tento předpoklad je dobře splněný pro elektrony, ale neplatí dobře pro iony, kde předpovídá že koncentrace iontů bude směrem k plovoucí stěně růst. Ve skutečnosti bude trend koncentrace iontů směrem ke stěně klesající, díky rovnici kontinuity, jak si ukážeme později.
Počet částic typu \(\alpha\), které projdou jednotkovou plochou za jednotku času z jedné strany je roven \[ \Gamma_\alpha = \frac{1}{4} n_\alpha \langle v\rangle_\alpha, \] kde \(\langle v\rangle_\alpha\) je střední hodnota velikosti rychlosti částic typu \(\alpha\). Pro Maxwell-Boltzmannovské rozdělení jsme odvodili výraz \[ \langle v \rangle_\alpha = \left(\frac{8}{\pi}\right)^{\!1/2} \left(\frac{kT_\alpha}{m_\alpha}\right)^{\!1/2}. \] Tok tedy bude \[ \Gamma_\alpha = n_\alpha \left(\frac{kT_\alpha}{2\pi m_\alpha}\right)^{\!1/2} \] V plazmatu je \(n_e\sim n_i\) a platí \[ \frac{T_e}{m_e} \gg \frac{T_i}{m_i} \] Proto tok elektronů na stěnu objektu v plazmatu převyšuje tok iontů a stěna se postupně nabíjí záporně.
Negativní potenciál stěny začne odpuzovat elektrony.
Tok elektronů klesá a tok iontů roste až negativní potenciál vzroste natolik, že se toky elektronů a iontů se vyrovnají: \[ \Gamma_e = \Gamma_i \]
Stěna je na plovoucím potenciálu a proud iontů a elektronů je stejný.
Plazma je o neporušené koncentraci \(n_0=n_e=n_i\), teplotě \(T=T_e=T_i\) a zvolme referenční bod v plazmatu, v neporušené oblasti, ve kterém položíme elektrický potenciál \(\phi=0\). Potenciál na stěně je plovoucí na hodnotě \(\phi_w\)
Najděme stacionární stav za předpokladu že elektrony a ionty jsou v lokální termodynamické rovnováze s elektrický polem ve stěnové vrstvě a mají teplotu \(T\).
Pro konzervativní elektrické pole \(-q_\alpha\nabla\phi\) jsme dostali pro lokální koncentrace elektronů a iontů: \[ n_e(x) = n_0\exp\left(\frac{e\phi(x)}{kT}\right), \] \[ n_i(x) = n_0\exp\left(\frac{-e\phi(x)}{kT}\right). \] Tento výsledek je velmi přibližný protože zanedbává drift částic ke stěně, detalnější analýzu se započítáním driftu iontů provedeme později.
I takto jednoduchý popis ovšem dává velmi důležitý výsledek: odhad potenciálu \(\phi_w\).
Na základě rovnosti toků elektronů a iontů na stěnu plovoucího objektu (stěna na potenciálu \(\phi_w\), nulový proud) \[ \left.\Gamma_e\right|_{wall} = \left.\Gamma_i\right|_{wall} \]
\[ n_e(\phi_w)\left(\frac{kT}{2\pi m_e}\right)^{\!1/2} = n_i(\phi_w)\left(\frac{kT}{2\pi m_i}\right)^{\!1/2} \]
\[ n_0\exp\left(\frac{e\phi_w}{kT}\right)\left(\frac{kT}{2\pi m_e}\right)^{\!1/2} = n_0\exp\left(\frac{-e\phi_w}{kT}\right) \left(\frac{kT}{2\pi m_i}\right)^{\!1/2} \]
\[ \left(\frac{m_i}{m_e}\right)^{\!1/2}=\exp\left(\frac{-2e\phi_w}{kT}\right) \]
Dostaneme potenciál na stěně:
\[\begin{equation} \label{wallpot} \phi_w = - \left(\frac{kT}{4e}\right)\ln\left(\frac{m_i}{m_e}\right) \tag{1} \end{equation}\]
Potenciální energie částic u stěny je srovnatelná s jejich tepelnou energií: \[ \frac{|e\phi_w|}{kT} = \frac{1}{4}\ln\left(\frac{m_i}{m_e}\right)\sim 2\ldots3. \] Hodnota na pravá strana rovnice je zhruba 2 pro vodík a 3 pro těžší ionty. Díky logaritmické závislosti \(m_i/m_e\) na hmotnosti molekul plynu příliš nezávisí. Navzdory jednoduchosti modelu na základě kterého tato rovnice byla odvozena funguje překvapivě dobře při srovnání s experimentem.
Budeme uvažovat elektropozitivní plyn (pouze kladní iony, elektrony a neutrální částice), ve kterém jsou nabité částice produkované v centrálním objemu a zanikají na stěnách.
Podmínky v centrálnám objemu se liší od podmínek v blízkosti stěny:
v centrálním objemu platí podmínka kvazineutrality \(n_{\rm e} \sim n_{\rm i}\).
u stěny vzniká vrstva prostorového náboje, který stíní centrální objem od vlivu stěny, tzv. stěnová vrstva (anglicky sheath).
Budeme hledat vlastnosti stěnové vrstvy a centrálního objemu
za stacionárního stavu: \[\frac{\partial }{\partial t}\longrightarrow 0 \]
v 1D modelu \[\nabla \longrightarrow \frac{{\mathrm d}\ }{{\mathrm d}x} \]
Na rozhraní mezi plazmatem a stěnovou vrstvou nechť je koncentrace nabitých částic \(n_s\).
Koncentrace plazmatu ve středu symetire něchť je \(n_0\).
V následujícím se podíváme na různé modely stěnové vrstvy v 1D, stacionárním případě. Koncentrace nabitých částic na hranici mezi kvazineutrálním plazmatem a stěnovou vrstvou bude \(n_s\).
Tloušťka stěnové vrstvy bude \(s\). Stěna je v \(x=0\).
Předpokládáme: ve stěnové vrstvě nevznikají nabité částice. Tzn. že tloušťka stěnové vrstvy je malá ve srovnání se střední vzdáleností na které dochází k ionizačním srážkám. Platí tedy \[ s \ll \lambda_{ion} = \frac{1}{n_g \sigma_{ion}} \]
Předpokládáme, že elektrony jsou v rovnováze s polem (použijeme Boltzmannův faktor),
a ionty nejsou potenciálem ovlivněny. Podobná situace může být, nastane je-li porucha v potenciálu velice rychle: ionty na rychlou změnu pole nestačí reagovat, protože jsou příliš těžké, zatímco pro lehké elektrony se již ustálí rovnováha s polem.
Uvažme bezsrážkový případ. Elektrony o teplotě \(T_e\) jsou v rovnováze s polem (při zanedbání jejich setrvačnosti) \[ k T_e \frac{{\mathrm d}n_e(x)}{{\mathrm d}x} = - e n_e E = - e n_e \frac{{\mathrm d}\phi(x)}{{\mathrm d}x},\] \[ n_e(x) = n_0 \exp\left( \frac{e\phi(x)}{k T_e} \right).\]
Koncentrace iontů je konstantní: \[n_i(x) = n_0.\]
Prostorový nábojová hustota \(\rho(x)\) bude s uvážením malé poruchy v potenciálu \(|e\phi| \ll k T_e\): \[ \rho(x)= e(n_i-n_e) = e n_0\left[1-\exp\left(\frac{e\phi(x)}{k T_e}\right)\right] \sim e n_0\left[1-\left(1+\frac{e\phi(x)}{k T_e}\right)\right] = -\frac{e^2n_0}{k T_e}\phi(x). \] Dosazením do Poissonovy rovnice dostaneme: \[ \frac{{\mathrm d}^2\phi(x)}{{\mathrm d}x^2}=\frac{e^2 n_0}{\varepsilon_0 k T_e}\phi(x)=\frac{\phi}{\lambda_D^2}. \] Okrajové podmínky jsou: potenciál \(\phi\rightarrow 0\) pro \(x\rightarrow\infty\), řešení tedy je: \[ \phi(x)=\phi_0\exp\left(-\frac{x}{\lambda_D}\right).\] Potenciál se z hodnoty \(\phi_0\) exponenciálně rychle blíží k nule s charakteristickou délkou odpovídající \(\lambda_D\).
Opět budeme uvažovat, že elektrony a ionty se ve stěnové vrstvě pohybují bez srážek.
Koncentrace iontů je konstantní: \[n_i(x) = n_0.\]
A elektrony jsou silně odpuzovány (platí \(e\phi\ll-k T_e\), \(\phi\) je záporné), tak že jejich koncentrace ve stěnové vrstvě je zanedbatelná vůči koncentraci iontů.
Okraj stěnové vrstvy je v \(x=s\).
Příklad: Jaká musí být hodnota \(e\phi/k T_e\) aby se koncentrace elektronů u stěny zredukovala na 1 % hodnoty v plazmatu, kde je \(\phi=0\) a koncentrace nabitých částic je \(n_0\)? \[ \frac{n_e(0)}{n_0}= 0.01 = \exp\left(\frac{e\phi}{k T_e}\right) \Longrightarrow \frac{e\phi}{k T_e} = \ln(0.01) = -0.46.\] V laboratorním plazmatu s teplotou elektronů 1–5 eV stačí i jen pár voltů na to aby byla u záporné stěny podstatně zredukovaná koncentrace elektronů.
Poissonova rovnice pro maticový sheath: \[ \frac{{\mathrm d}^2 \phi(x)}{{\mathrm d}x^2} = - \frac{e n_0}{\varepsilon_0} \Longrightarrow - \frac{e n_0}{\varepsilon_0} \left( \frac{x^2}{2} + C_1 x + C_2 \right). \]
Okrajové podmínky podmínky jsou (stěna \(x=0\), okraj sheathu: \(x=s\) ):
\[\left. \frac{{\mathrm d}\phi}{{\mathrm d}x}\right|_{x=s} = 0, \quad \left. \phi \right|_{x=s} = 0.\] Proto \[ C_1 = -s, \quad C_2 = s^2/2. \] Potenciál ve maticové stěnové vrstvě tedy bude: \[ \phi(x)=-\frac{e n_0}{\varepsilon_0}\left(x-s\right)^2. \] Maticový model dává jednoduchý odhad šířku stěnové vrstvy. Pro potenciál na stěně \(-V_0\) vzhledem k potenciálu plazmatu bude šířka stěnové vrstvy \[ s = \sqrt{\frac{2\varepsilon_0}{e n_0}} \sqrt{V_0} = \sqrt{\frac{2e}{kT_e}} \lambda_D \sqrt{V_0} \]
Příklad: najděte šířku stěnové vrstvy maticového modelu pro potenciál na stěně rovný \(-V_0 =-200\,\)V vzhledem k potenciálu plazmatu. Předpokládejte, že elektrony mají teplotu 2 eV. Odpověd: \(s = \sqrt{200} \lambda_D \sim 14 \lambda_D\).
Protože je v maticovém modelu stěnové vrstvy kompletně zanedbaný prostorový náboj elektronů a prostorový náboj iontů je nadhodnocený (koncentrace iontů musí ve stěnové vrstvě klesat směrem ke stěně v důsledku kontinuity proudu) bude šířka stěnové vrstvy realitě větší než maticový model předpovídá.
V dalším modelu opět zanedbáme prostorový náboj elektronů ale uvážíme urychlování iontů směrem ke stěně (volný pád iontů v potenciálovém gradientu u stěny).
Budeme uvažovat že elektrická síla působící na ionty je kompenzována setrvačným členem v pohybové rovnici pro iontovou kapalinu. Odporová síla srážek iontů s neutrály je zanedbatelná
Za předpokladu, že ionty (shmotností M) vstupují do stěnové vrstvy s nulovou rychlostí zintegrujeme rovnici pro hybnost \[ M n_i u \frac{{\mathrm d}u}{{\mathrm d}x} = n_i e E \] a dostaneme zachování energie iontů: \[ \frac{1}{2}Mu(x)^2+e\phi(x) = 0. \] Platí \(e\phi(x)\leq0.\) A z rovnice kontinuity s uvážením nulovosti zdrojových členů (žádné ionty v sheathu nevznikají) dostaneme konstantní hustotu proudu iontů \(J_i\): \[ \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}\left(n(x)u(x)\right)=0 \Longrightarrow J_i = e n(x)u(x). \] Vidíme že bude-li rychlost iontů při jejich průchodu stěnovou vrstvou růst (jsou urychlovány) musí nutně jejich koncentrace klesat, tak aby byla zachována konstantnost proudové hustoty \(J_i\).
Pozor: předpoklad o nulovosti rychlosti iontové kapaliny vstupující z plazmatu do stěnové vrstvy implikuje nekonečnou koncentraci pro konečné \(J_i\)! Později ukážeme, že tato rychlost musí být nenulová!!
Kombinací zachování energie iontů a kontinuity proudu dostaneme pro koncentraci iontů ve stěnové vrstvě (při známé proudové hustotě) \[ n_i(x)= \frac{J_i}{e}\left(\frac{-2e\phi(x)}{M}\right)^{-1/2}, \] \[ n_e=0, \] Poissonova rovnice pak má tvar: \[\begin{equation} \frac{{\mathrm d}^2\phi(x)}{{\mathrm d}x^2}=-\frac{J_i}{\varepsilon_0}\left(\frac{-2e\phi(x)}{M}\right)^{-1/2} \label{eq:PCL} \tag{PCL} \end{equation}\] Pro integraci této rovnice využijeme toho že platí \[ \frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}x}\left(\frac{{\mathrm d}\phi}{{\mathrm d}x}\right)^2=2\frac{{\mathrm d}\phi}{{\mathrm d}x}\frac{{\mathrm d}^2\phi}{{\mathrm d}x^2}. \] Integrujeme rovnici \(\eqref{eq:PCL}\) od obecného bodu \(x=x_1\) do \(x = s\) (okraj plazmatu), dostaneme: \[ (\phi^\prime (s))^2 - (\phi^\prime (x_1))^2 = 4\frac{J_i}{\varepsilon_0}\left(\frac{2e}{M}\right)^{-1/2} \left[(-\phi(s))^{1/2} - (-\phi(x_1))^{1/2}\right] \] S uvážením okrajových podmínek \(\phi(s)=\phi^\prime(s)=0\): \[ - (\phi^\prime (x_1))^2 = 4\frac{J_i}{\varepsilon_0}\left(\frac{2e}{M}\right)^{-1/2} \left[ - (-\phi(x_1))^{1/2}\right]. \] Integrací od \(x_1=0\) do \(x_1=s\), s okrajovou podmínkou \(\phi(0)=-V_0\) dostaneme: \[ V_0^{3/4} = \frac{3}{2}\left(\frac{J_i}{\varepsilon_0}\right)^{1/2}\left(\frac{2e}{M}\right)^{-1/4}s. \] To je Childův-Langmuirův zákon: šířka stěnové vrstvy je dána hustotou proudu a potenciálovým rozdílem mezi okrajem plazmové oblasti a stěnou. Předpoklady:
ionty starují z klidu z plazmového okraje sheathu (\(x=s\)) a pohybují se balisticky.
ve stěnové vrstvě nejsou žádně elektrony.
Childův-Langmuirův zákon byl poprvé odvozený pro prostorový náboj elektronů v termoemisní diodě (nulový prostorový náboj iontů). Voltampérová charakteristika termoemisní diody. Hustota proudu tekoucí diodou při dané vzdálenosti elektrod je úměrná \(V_0^{3/2}\): \[ J_i \sim V_0^{3/2}\].
(Původní článek: Trevor Lafleur, Acta Astronautica 212 (2023) 370–386)
Předměty v nízké oběžné dráze Země (LEO) zažívají škálu environmentálních podmínek, které ovlivňují jejich trajektorie. Kromě gravitačních účinků a tlaku slunečního záření je hlavní rušivý faktor způsobený odporem zbytkové atmosféry. Ionosféra je prostředím složeným z nabitých částic, kreré způsobují nabíjení kosmických lodí a v nejhorším případě mohou způsobit nežádoucí elektrostatické výboje. Zatímco hustota ionosférického plazmatu je obvykle o řád nižší (nebo více) než hustota atmosférického neutrálního plynu, elektrostatické nabíjení může vést k vytvoření plazmového sheathu kolem objektu: sheath uměle zvyšují jeho efektivní sběrnou plochu. Přímý sběr nabité částice a nepřímé odklonění nabité částice vytvářejí odporovou sílu, která může v některých výškách a nabíjecích potenciálech překročit odpor způsobený pouze atmosférickým neutrálním plynem.
\[ {\bf F}_D = -\frac{1}{2}\rho_n v_0 {\bf v}_0 A C_D \] kde \(\rho_n\) je hmotnostní hustota atmosféry, \({\bf v}_0\) je rychlost satelitu vzhledem k atmosféře, \(v_0\) je relativní rychlost, \(A\) je plocha satelitu kolmá na jeho směr rychlosti a \(C_D\) je koeficient odporu satelitu způsobený neutrály nebo ionty.
Parametr \(\alpha\) vztahující energii nalétávajících částic a předpětí na sondě: \[ \alpha = -\frac{2 q_i \Phi_B}{Mv_0^2}. \]
Howgh!