Historie astronomie › Astronomie ve středověku a renesanci

Kinematické zákony pohybu planet

S cílem upřesnit teorii planet přistoupil ke studiu jejich pohybu v roce 1600 v Praze německý matematik a astronom Johannes Kepler (1571 - 1630). Měl k dispozici na zpracování rozsáhlý soubor údajů poloh planet, především přesná pozorování Marsu od Tychona Brahe. Kepler si stanovil za cíl určit dráhu Marsu, vyjádřit hledanou křivku matematicky. Uvědomoval si jako stoupenec heliocentrické teorie, že pohyb Marsu byl pozorován z pohybující se Země. Proto nejdříve upřesnil dráhu Země. V roce 1601 nalezl, že dráha Země kolem Slunce je téměř shodná s kružnicí, přičemž Slunce je posunuto mimo střed. Samotný výsledek nebyl nový, byl již obsažen v Koperníkově teorii. Velikost posuvu vyjádřená v dílech poloměru dráhy však byla v Keplerově teorii přibližně 1/59 zatímco v Koperníkově teorii 1/31, tedy 2krát větší. Skutečná eliptická dráha Země má excentricitu rovnou 0,017, malá osa se odlišuje od velké přibližně o 1/7000. Tehdejší přesnost astronomických pozorování nedovolovala Keplerovi odlišit eliptickou dráhu Země od kruhové. Její eliptičnost se však projevovala v posunu polohy Slunce vzhledem ke středu dráhy a v nerovnoměrnosti pohybu. Posledně uvedená nerovnoměrnost je zásadní, neboť podle Koperníkovy teorie založené na epicyklech a deferentech se Země pohybuje po dráze rovnoměrně. Kepler objevil, že pohyb Země je nerovnoměrný, s větší rychlostí v perihéliu než v aféliu.

Johannes Kepler
 Po upřesnění dráhy Země přistoupil Kepler koncem roku 1601 ke studiu dráhy Marsu. Vybral z pozorovacích materiálů údaje o polohách Marsu při opozicích se Zemí v průběhu několika oběžných dob. Vycházel ze znalosti dráhy Země, kterou považoval za téměř kruhovou. Na ní existují polohy $ {Z_{{1}}}$ , $ {Z_{{2}}}$ , $ {Z_{{3}}}$ odpovídající času $ t'_1 =t_{{1}}+kT$ , kde $ kT$ je celistvý násobek siderické oběžné doby Marsu. Základní poloha Země a Marsu byla $ {Z_{{1}}}$ a $ {M_{{1}}}$ , za dobu jedné siderické oběžné doby pak $ {Z_{{2}}}$ a $ {M_{{2}}}$ . Tak lze zachytit polopřímky $ {s_{{1}}}$ a $ {s}'_{1}$ , na kterých pozorujeme Mars z bodů $ {Z_{{1}}}$ a $ {Z'_{{1}}}$ v časech $ t_1$ a $ {t'_{{1}}}$ . Protože polohy Marsu se opakují s periodou $ {T}$ , nachází se Mars v časech $ t_1$ a $ {t'_{{1}}}$ v tomtéž bodě $ {M_{{1}}}$ , který nalezneme jako průsečík polopřímek $ {s_{{1}}}$ a $ {s'_{{1}}}$ . Opakováním popsaného postupu pro další dvojice časů $ {t_{{2}}}$ , $ {t'_{{2}}}$ ; $ t_3$ , $ {t'_{{3}}}$ atd. můžeme postupně sestrojit celou dráhu Marsu.

Kepler naznačeným způsobem vypočítal polohu Marsu v různých časových okamžicích a získal celkovou dráhu. Rozborem výsledků odhalil, že se blíží kružnici, je však protažena podél přímky spojující afélium a perihélium. Maximální vzdálenost Marsu od Slunce v aféliu se odlišuje od minimální přibližně pouze o 0,5 %.

Historicky nejdříve však pomocí údajů o rychlosti pohybu dokázal, že planeta se pohybuje podle zákona ploch jím objeveného, tedy v souladu s II. Keplerovým zákonem, objeveným již v roce 1601.

V dalším období se snažil popsat matematicky nalezenou křivku, podél níž se Mars pohybuje. Z počátku Kepler prověřoval dráhy vejcovitého tvaru, později v roce 1604 oválovité. Až teprve roku 1605 popsal pohyb Marsu rovnicí, která se nyní nazývá Keplerovou. Dospěl k závěru, že dráha Marsu je eliptická a Slunce se nachází v ohnisku elipsy. Kepler porovnával výsledky svých výpočtů s pozorovacími údaji. K prokázání eliptického charakteru drah bylo zapotřebí přesnosti pozorování pod 8′. Správně předpokládal, že Tycho Brahe se při pozorováních dopouštěl chyb menších, dnes víme že přibližně 2′.

Titulní list Keplerova spisu Astronomia nova
 První dva Keplerovy zákony byly zveřejněny v díle napsaném během jeho pobytu v Praze, vydaném v Heidelbergu roku 1609 pod názvem Astronomia nova česky Nová astronomie. Podrobněji titulní list uvádí Nová astronomie, založená na studiu příčin, čili nebeská fyzika, odvozená ze studia pohybu planety Marsu, kterou na základě pozorování ušlechtilého pána Tychona Brahe, z příkazu a na náklad Rudolfa II., císaře římského atd. vypracoval za několikaletého vytrvalého studia v Praze Johannes Kepler, matematik svatého císařského veličenstva.

V Nové astronomii vyslovuje Kepler axiomy týkající se tíže (čili gravitace) následovně:

,,Veškerá tělesná substance, nakolik je tělesná, je zrozena tak, že může setrvávat v klidu na kterémkoliv místě, na něž bude vložena jako zcela osamocená, tj. mimo dosah síly příbuzného tělesa.

Gravitace je vzájemné tělesné působení mezi příbuznými tělesy, směřující k sjednocení či ke spojení (takového druhu je také magnetické působení) tak, že Země více přitahuje kámen, než kámen tíhne k Zemi.``

V Nové astronomii nalezneme různé formulace zákona konstantních plošných rychlostí - II. Keplerova zákona, dnes používáme tuto: Rychlost planety se mění tak, že úsečka spojující Slunce a planetu opisuje za stejný čas stejné plochy.

Přestože Keplerovy zákony jsou kinematického charakteru, snažil se autor odhalit i dynamickou stránku pohybu. V úvodu díla vyjádřil myšlenku, že síla pohybující planetami vychází ze Slunce a má magnetický charakter. Přes chybnost stanovení vlastní podstaty interakce je myšlenka rozhodujícího vlivu Slunce na pohyb planet správná.

Kepler velmi podrobně ve svých dílech rekonstruoval své myšlenkové postupy, včetně i nesprávných myšlenek. Výstižně k tomu konstatoval: ,,Metody, kterými lidé pronikají do podstaty nebeských jevů jsou pro mne stejně tak podivuhodné jako jevy samotné.``

I v dalších letech se Kepler problematikou pohybu planet nepřestal zabývat. Prostřednictvím výpočtů zjistil, že s rostoucí vzdáleností od Slunce se oběžné doby planet zvětšují rychleji než poloměry drah, tedy se zmenšuje rychlost jejich pohybu. V roce 1618 objevil tzv. harmonický, dnes nazývaný III. Keplerův zákon, vyjadřující závislost mezi velikostmi velkých poloos a oběžnými dobami planet. Objev tohoto zákona komentoval Kepler takto:

,,8. března tohoto roku 1618, přeje-li si někdo přesný údaj času, se tento poměr vynořil v mé mysli. Neměl jsme však štěstí, když jsem jej ověřoval výpočtem, takže jsem jej zavrhl jako chybný. Konečně se však dne 15. května opět vrátil a v novém náporu přemohl temnoty mého ducha. Vyplynul přitom tak dokonalý souhlas mezi mou sedmnáctiletou prací nad Brahovými pozorováními a mou současnou úvahou, že jsem se zprvu domníval, že jsem snil a že jsem hledaný vztah vložil do výchozích předpokladů. Ale je to věc zcela jasná a zcela přesná - poměr, který je mezi oběžnými dobami kterýchkoliv dvou planet, je přesně půldruhanásobkem poměru středních vzdáleností, tedy samotných drah; ovšem je přitom třeba dbát na to, že aritmetický průměr obou diametrů eliptické dráhy je poněkud menší než diameter...``

Půldruhanásobkem poměru v latinské matematické mluvě 17. století znamená, že prvé veličiny, tj. oběžné doby, je třeba vzít v druhé mocnině a další veličiny - střední vzdálenosti v mocnině třetí.

III. zákon byl publikován roku 1619 v díle Harmonices mundi libri V. česky Harmonie světa pět knih, které vyšlo v Linci.

Keplerova teorie pohybu planet jednoduchým způsobem nahradila složitá schémata založená na kombinaci rovnoměrných kruhových pohybů po deferentech, epicyklech a vytvořila jasný kinematický obraz pohybu planet. Při heliocentrickém uspořádání a eliptických oběžných drahách vyložila obě nerovnoměrnosti v pozorovaném pohybu planet podél ekliptiky. Smyčky v pohybu planet vznikající proto, že planety pozorujeme ze Země obíhající kolem Slunce, vyložila již Koperníkova teorie. Druhou nerovnoměrnost, která je důsledkem nerovnoměrného pohybu planet po eliptické dráze, objasnila až Keplerova teorie.

Na základě objevených zákonů Kepler propočítal a sestavil roku 1627 Tabulæ Rudolphinæ česky Rudolfínské tabulky, podle kterých bylo možné stanovit efemeridy planet. Byly na svoji dobu přesné a používaly se až do konce 17. století. Staly se praktickým důkazem správnosti Keplerových zákonů.

Koncem první třetiny 17. století tak bylo završeno období studia pohybu planet, které lze nazvat popisným geometrickým. Byla objasněna kinematika pohybu planet, dynamické příčiny však nalezeny nebyly.


Přesná pozorování Pozorovací potvrzení heliocentrické soustavy