Počítačové úlohy

Úloha 14.1Pomocí databáze SIMBAD (http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/) nalezněte souřadnice, radiální rychlost a paralaxu a) hvězdy Arcturus, b) hvězdy HD 37776, c) galaxie M 31.

Řešení:    Na stránce http://simbad.u-strasbg.fr/simbad/ zvolíme hledání prostřednictvím názvu ("Query by identifier") a jako "Identifier" zadáme název hvězdy.
a) $\alpha=14^\mathrm{h} 15^\mathrm{m} 39,6720^{s}$, $\delta=19^\circ 10' 56,677''$, $v_\mathrm{rad}=-5,2\pm 0,9\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $\pi=(88,85\pm0,74).10^{-3}\,\mathrm{arcsec}$, b) $\alpha=5^\mathrm{h}40^\mathrm{m}56,3704^{s}$, $\delta= -1^\circ30' 25,852''$, $v_\mathrm{rad}=27\pm5\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $\pi=(1,96\pm0,98).10^{-3}\,\mathrm{arcsec}$, c) $\alpha=0^\mathrm{h}42^\mathrm{m}44,31^{s}$, $\delta= 41^\circ 16' 09,4''$, $v_\mathrm{rad}=-301\pm7\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Úloha 14.2Na základě dat z článku autorů M. Asplund, N. Grevesse a A. J. Sauval "The Solar Chemical Composition" (2005, ASP Conference Series, Vol. 336, str. 25) nakreslete graf relativního zastoupení jednotlivých prvků (vzhledem k vodíku) ve sluneční atmosféře. Stanovte hmotnostní podíl prvků těžších než helium.

Řešení:    Na stránce http://adsabs.harvard.edu zvolíme "Search", "Astronomy and Astrophysics Search", hledáme např. články autora "Asplund" z roku 2005. Vybereme hledaný článek, který je možné získat prostřednictvím stránek xxx.lanl.gov (volba "arXiv e-print"). V Tabulce 1 tohoto článku jsou uvedeny hodnoty relativního zastoupení jednotlivých prvků jako $\log(N_\mathrm{prvek}/N_\mathrm{H})+12$. S jejich pomocí nakreslíme graf a spočteme relativní hmotnostní zastoupení těžších prvků $Z=0,0122$.

Obrázek: Relativní zastoupení jednotlivých prvků v atmosféře Slunce

Úloha 14.3Nalezněte deset nejbližších hvězd viditelných pouhým okem.

Řešení:    Na stránkách CDS (http://cds.u-strasbg.fr) zvolíme VizieR, databáze "HIP" (Hipparcos), klepneme na "Find Catalogue", zvolíme "I/239/hip_main", v políčku Vmag vyplníme "<6", zvolíme "Sort" podle políčka "Plx", zvolíme "Output Order" jako "-" a klepneme na "Submit Query" a získáme seznam nejbližších a nejjasnějších hvězd (viz tabulka, ve které je zaneseno prvních deset z nich). Označení bylo získáno pomocí databáze SIMBAD.

HIP	hvězda	$m_\mathrm{V}$ [mag]	$\pi$ [ $10^{-3}\,\mathrm{arcec}$]
71681	$\alpha$ Cen B	1,35	$742,12 \pm 1,40$
71683	$\alpha$ Cen A	-0,01	$742,12 \pm 1,40$
32349	$\alpha$ CMa (Sirius)	-1,44	$379,21 \pm 1,58$
16537	$\varepsilon$ Eri	3,72	$310,75 \pm 0,85$
104214	61 Cyg	5,20	$287,13 \pm 1,51$
37279	$\alpha$ CMi (Prokyon)	0,40	$285,93 \pm 0,88$
108870	$\varepsilon$ Ind	4,69	$275,76 \pm 0,69$
8102	$\tau$ Cet	3,49	$274,17 \pm 0,80$
19849	$o$ Eri	4,43	$198,24 \pm 0,84$
88601	70 Oph	4,03	$196,62 \pm 1,38$

Úloha 14.4V jedné ze svých knih A. C. Clarke píše o tom, že Halleyova kometa má dvě oddělená jádra. Pomocí databáze NASA ADS (http://adsabs.harvard.edu) ověřte, zda je toto tvrzení hodnověrné.

Řešení:    Na stránce http://adsabs.harvard.edu zvolíme vyhledávání ("Search"), "Astronomy and Astrophysics Search" a jako položku "Title Words" zvolíme klíčová slova "Halley comet splitting". Získáme několik odkazů věnujících se rozpadu jádra Halleyovy komety během jejího posledního průchodu kolem Slunce. Tvrzení je jednou z úspěšných předpovědí autora.

Úloha 14.5 Nakreslete křivku vyzařování černého tělesa pro teploty $5\, 000 \,\mathrm{K}$ a $5\,780\,\mathrm{K}$. Čím se liší?

Řešení:     Pro spektrální hustotu energie vyzařování černého tělesa platí

$$E(\lambda)=\frac{8\pi c h}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda k T}-1}.$$

Pro výpočet lze použít například následující funkci:

function b(tep,lam:double):double;

const h=6.6256e-34;     {Planckova konstanta}
      c=2.99792e8;      {rychlost svetla}
      bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta}

var lam5:double;

begin
 lam5:=lam*lam*lam*lam*lam;
 b:=8.0*pi*h*c/lam5/(exp(h*c/lam/bolk/tep)-1.0);
end;

Obrázek: Závislost spektrální hustoty vyzařování černého tělesa na vlnové délce.

Graf závislosti Planckovy funkce na vlnové délce pro teploty $5\, 000 \,\mathrm{K}$ a $5\,780\,\mathrm{K}$ je na obrázku 2. Jsou patrné dva závěry. V celém intervalu vlnových délek platí, že spektrální hustota vyzařovaná tělesem s vyšší teplotou je větší. Patrný je posuv maxima obou křivek, pro vyšší teploty směrem k nižším vlnovým délkám.

Úloha 14.6Pomocí katalogů CDS nalezněte pět nejjasnějších hvězd v rentgenovém oboru, které mají spektrální typ O nebo B.

Řešení:    Na stránce http://cdsweb.u-strasbg.fr zvolíme "VizieR", jako "Wavelength" zvolíme "X-ray", jako "Astronomical keywords" zvolíme "Stars:early-type" a zadáme hledání ("Find Catalogues"). Vybereme katalog odpovídající úloze, "ROSAT all-sky survey catalogue of OB stars", "Detections". V prohledávání zvoleného katalogu zaškrtneme třídění ("Sort") podle pozorované hustoty toku rentgenového záření ("Apparent X-ray flux"). Aby se třídění opravdu provedlo, je nutné ještě zadat vhodnou podmínku ("Constraint", vzhledem k velikosti pozorovaného toku např. "$<0$"). Je nutné navíc zvolit "Output Order" jako "-". Z tabulky zjistíme, že nejjasnějšími hvězdami spektrálních typů O nebo B v rentgenovém oboru jsou X Per ( $F_\mathrm{x}=1,0.10^{-13}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$), $\beta$ Per ( $F_\mathrm{x}=6,6.10^{-14}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$), $\gamma$ Cas ( $F_\mathrm{x}=3,0.10^{-14}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$), $\theta^1$ Ori ( $F_\mathrm{x}=2,8.10^{-14}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$) a $\iota$ Ori ( $F_\mathrm{x}=2,5.10^{-14}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$).

Úloha 14.7Pomocí atlasu slunečního spektra http://bass2000.obspm.fr/solar_spect.php nakreslete sluneční spektrum v intervalu vlnových délek $587-593\,\mathrm{nm}$ a pokuste se identifikovat nejsilnější čáry.

Řešení:    Na uvedené stránce získáme potřebná data. Zdroj pro identifikaci čar nalezneme v katalozích CDS, http://cdsweb.u-strasbg.fr/cats/Cats.htx, zvolíme hledání "identification spectrum", katalog "VI/26 Identification list of lines in Stellar Spectra (Moore, 1959)" a jeho novou verzi "VI/71A Revised version of the ILLSS Catalogue (Coluzzi 1993-1999)", v prohledávání zvoleného katalogu ("VizieR query form") zadáme podmínku pro vlnové délky jako " $>5870\;\&\&\;<5930$" a identifikujeme čáry. Výsledný graf je na obrázku 3.

Obrázek: Sluneční spektrum v oblasti sodíkového dubletu

Úloha 14.8 S použitím programu STATSTAR vypočtěte model hvězdy se sluneční hmotností (s parametry¹ hmotnost, zářivý výkon a efektivní teplota rovnými $1,0\,M_{\odot}$, $0,86071\,L_{\odot}$ a $5\,500,2\,\mathrm{K}$, chemické složení odpovídá Slunci, $X = 0,7$, $Y=0,292$ a $Z=0,008$).

1. Nakreslete závislost $P$, $M_r$, $L_r$ a $T$ na $r$.
2. Pro jakou teploty a pro jaký poloměr dosahuje $L_r$ $99\%$ a $50\%$ své povrchové hodnoty? Jaká tomu odpovídá hodnota $M_r$?

Řešení:     Graf jednotlivých závislostí je na obr. 4.

Obrázek: Model hvězdy se sluneční hmotností

Úloha 14.9 Pomocí programu STATSTAR vypočtěte model hvězdy na hlavní posloupnosti s hmotností $1,0\,M_{\odot}$ (pro tuto hvězdu jsou zářivý výkon a efektivní teplota rovny $0,86071\,L_{\odot}$ a $5\,500,2\,\mathrm{K}$) a porovnejte ho s modelem hvězdy o hmotnosti $0,75\,M_{\odot}$ (pro tuto hvězdu jsou zářivý výkon a efektivní teplota rovny $0,1877\,L_{\odot}$ a $3\,839,1\,\mathrm{K}$). Pro obě hvězdy předpokládejte chemické složení odpovídající Slunci ($X = 0,7$, $Y=0,292$ a $Z=0,008$).

Řešení:     Centrální tlak a teplota hvězdy se sluneční hmotností ( $T_c=1,4.10^{7}\,\mathrm{K}$, $\rho_c=7,7.10^{4}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$) jsou vyšší než odpovídající hodnoty pro hvězdu s hmotností nižší ( $T_c=1,1.10^{7}\,\mathrm{K}$, $\rho_c=6,8.10^{4}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$).

Úloha 14.10 Porovnejte parametry hvězd s hmotností $1,0\,M_{\odot}$ s různými chemickými složeními $X = 0,7$, $Y=0,292$, $Z=0,008$ a $X = 0,7$, $Y=0,29$, $Z=0,01$. Vysvětlete případné rozdíly.

Řešení:     Hvězda s vyšším obsahem kovů má nižší efektivní teplotu ( $T_{\rm ef}=5\,280\,\mathrm{K}$) a zářivý výkon ( $L=0,76104 L_{\odot}$) než hvězda s chemickým složením shodným se Sluncem (viz. příklad 8). Důvodem je větší opacita látky hvězdy s vyšším obsahem kovů. U hvězdy s menším zářivým výkonem je nižší centrální teplota.

Úloha 14.11 Pomocí programu STATSTAR vypočtěte teoretickou hlavní posloupnost pro hvězdy s hmotnostmi $0,5\,M_{\odot}$ - $13,0\,M_{\odot}$. Zvolte sluneční chemické složení ($X = 0,7$, $Y=0,292$ a $Z=0,008$).

Řešení:     Charakteristiky²hvězd hlavní posloupnosti získané programem STATSTAR jsou uvedeny v tabulce.

$M$ [$M_{\odot}$]	$L$ [$L_{\odot}$]	$T_{\mathrm{ef}}$[K]
$0,50$	$0,0213005$	$2321,4$
$0,70$	$0,129867$	$3523,0$
$1,00$	$0,86071$	$5500,2$
$1,50$	$6,39$	$8726,4$
$2,00$	$22,5809$	$11218,4$
$3,00$	$116,58$	$15007,3$
$4,00$	$341,1$	$17904,0$
$7,00$	$2260,2$	$24074,0$
$10,00$	$6641,5$	$28263,6$
$13,00$	$13789,5$	$31493,0$

Úloha 14.12Podle dat z článku Allende Prieto C., Lambert D. L., Astronomy & Astrophysics 352, 555, dostupných v databázi CDS http://cdsweb.u-strasbg.fr nakreslete HR diagram nejbližších hvězd nacházejících se do vzdálenosti $100\,\mathrm{pc}$.

Řešení:    Na uvedené stránce zvolíme např. "Catalogues ", hledání podle "Allende Prieto Lambert", zvolíme hledaný článek a získáme potřebný soubor (např. zvolíme stahování prostřednictvím http, soubor "table1.dat.gz". Formát souboru je popsán v popisu katalogu. Pomocí získaného souboru nakreslíme HR diagram (obrázek 5).

Obrázek: HR diagram nejbližších hvězd

Úloha 14.13Nakreslete vývojový HR diagram. Potřebné soubory získejte na stránkách CDS http://cdsweb.u-strasbg.fr z článku Schaller G. a kol., Astronomy & Astrophysics Suppl. Ser. 96, 269. S pomocí nakresleného grafu odhadněte hmotnost hvězdy $\sigma$ Ori E, pro kterou byla z pozorování zjištěna efektivní teplota $22\,500\,\mathrm{K}$ a poloměr $5,3\,R_{\odot}$.

Řešení:    Na uvedené stránce zvolíme např. "Catalogues ", hledání podle "Schaller" a zvolíme hledaný článek. Například prostřednictvím http získáme potřebné soubory "table*" a nakreslíme graf 6. Odhadovaná hmotnost hvězdy $\sigma$ Ori E je $9\,M_{\odot}$.

Obrázek: Vývojový HR diagram

Úloha 14.14 Nakreslete graf závislosti poměru koncentrace neutrálního vodíku k celkové koncentraci vodíku v závislosti na teplotě za předpokladu termodynamické rovnováhy. Pro zjednodušení předpokládejte, že koncentrace elektronů je  $n_{e}=10^{17}\mathrm{m}^{-3}$.

Řešení:     Pro Sahovo rozdělení platí

$$\frac{N_{1}}{N_0}=\frac{2 B_{1}}{n_e B_0} \left(\frac{2\pi m_\mathrm{e} k T}{h^2}\right)^{3/2}\mathrm{e}^{-\chi_i/kT},$$

kde $N_{1}$ je koncentrace iontu, $N_0$ neutrálního atomu, $B_1$ a $B_0$ jsou příslušné rozdělovací funkce a $\chi_i$ ionizační potenciál. Celková koncentrace atomů vodíku $N=N_{1}+N_0$. Pro získání hodnot v grafu je možné použít následující program:

program sahav;

var tep,nel,x:double;
    i:integer;

function saha(tep,nel:double):double;

const em=9.10956e-31;   {hmotnost elektronu}
      bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta}
      h=6.6256e-34;     {Planckova konstanta}
      exc=13.598;       {excitacni energie H v eV}
      enab=1.6022e-19;  {naboj elektronu}

var b1,b2,x:double;

begin
 b1:=2.0;
 b2:=1.0;
 x:=2.0*pi*em*bolk*tep/h/h;
 saha:=2.0*b2*sqrt(x)*x*exp(-exc*enab/bolk/tep)/nel/b1;
end;

begin
 tep:=1000;
 nel:=1.0e17;
 for i:=1 to 200 do
 begin
  tep:=tep+100.0;
  x:=saha(tep,nel);
  writeln(tep,1.0/(1.0+x));
 end;
end.

Výsledný graf je na obrázku 7.

Obrázek: Graf závislosti relativní koncentrace atomů HI na teplotě.

Úloha 14.15 Nakreslete graf závislosti poměru koncentrace vodíku s elektronem, nacházejícím se na druhé energetické hladině k celkové koncentraci vodíku v závislosti na teplotě za předpokladu termodynamické rovnováhy. Pro zjednodušení předpokládejte, že koncentrace elektronů je  $n_{e}=10^{20}\mathrm{m}^{-3}$. Vysvětlete tvar získaného grafu. Jaký závěr lze učinit pro čáry Balmerovy série vodíku?

Řešení:     Využijeme výsledku předcházejícího příkladu (14) pro výpočet relativního zastoupení neutrálního vodíku. Pro výpočet podílu koncentrace vodíku na druhé hladině k celkovému množství neutrálního vodíku využijeme Boltzmannovy rovnice

$$\frac{N_{B}}{N_A}=\frac{g_B}{g_A}\mathrm{e}^{-\chi_{AB}/kT},$$

kde $N_{B}$ a je koncentrace atomu vodíku na druhé hladině a $N_A$ celková koncentrace neutrálního vodíku, $g_B$ a $g_A$ jejich statistické váhy, $\chi_{AB}$ excitační energie.

Pro získání grafu na obrázku 8 je možné použít následující program,

program sahav2;

const em=9.10956e-31;   {hmotnost elektronu}
      bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta}
      h=6.6256e-34;     {Planckova konstanta}
      exc=13.598;       {excitacni energie H v~eV}
      enab=1.6022e-19;  {naboj elektronu}

var tep,nel,x,n,gh,g2,x2:double;
    i:integer;

function saha(tep,nel:double):double;

const em=9.10956e-31;   {hmotnost elektronu}
      bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta}
      h=6.6256e-34;     {Planckova konstanta}
      exc=13.598;       {excitacni energie H v~eV}
      enab=1.6022e-19;  {naboj elektronu}

var g1,g2,x:double;

begin
 g1:=2.0;
 g2:=1.0;
 x:=2.0*pi*em*bolk*tep/h/h;
 saha:=2.0*g2*sqrt(x)*x*exp(-exc*enab/bolk/tep)/nel/g1;
end;

begin
 tep:=1000;
 nel:=1.0e20;
 gh:=2.0;
 n:=2.0;
 g2:=2.0*n*n;
 for i:=1 to 200 do
 begin
  tep:=tep+100.0;
  x:=saha(tep,nel);
  x2:=g2/gh*exp(-exc*enab/bolk/tep*(1.0-1.0/n/n));
  writeln(tep,x2/(1.0+x));
 end;
end.

ve kterém jsme využili funkci saha z předcházejícího příkladu.

Obrázek: Graf teplotní závislosti relativní koncentrace atomů vodíku na druhé energetické hladině na teplotě.

Tvar křivky je dán jednak tím, že s rostoucí teplotou roste podíl excitovaných atomů vodíku k atomům v základním stavu. Proto křivka pro nízké teploty zprvu roste. Pro vyšší teploty se začíná vodík ionizovat, ubývá celkového množství atomů vodíku v základním stavu a tedy i podíl atomů vodíku na druhé hladině klesá.

Balmerovy čáry vznikají přechody mezi hladinou s kvantovým číslem $2$ a vyššími hladinami. Proto jsou za dané elektronové koncentrace nejvýraznější právě pro teplotu $T\cong 9800{\rm K}$.

Úloha 14.16 Intenzita vycházející z izotermické vrstvy nacházející se v lokální termodynamické rovnováze je dána přesným řešením rovnice přenosu záření

$$I_{\lambda}=I_{\lambda}(0)\mathrm{e}^{-\tau_0}+ \int_{0}^{\tau_0}B_{\lambda}(T(\tau))\mathrm{e}^{-(\tau-\tau_0)}\mathrm{d}\tau,$$

kde $I_{\lambda}(0)$ je dopadající intenzita záření v bodě s nulovou optickou hloubkou $\tau=0$, $\tau_0$ je optická hloubka vrstvy a  $B_{\lambda}(T(\tau))$ Planckova funkce. V případě zmiňované izotermické vrstvy lze Planckovu funkci vytknout před integrál a provést integraci,

$$I_{\lambda}=I_{\lambda}(0)\mathrm{e}^{-\tau_0}+B_{\lambda}(T)(1-\mathrm{e}^{-\tau_0})$$

Zvolte $B_{\lambda}(T)=2B_0$ a nakreslete závislost vystupující intenzity na optické tloušťce vrstvy pro hodnoty dopadající intenzity záření $I_{\lambda}(0)=0,\, 1B_0,\, 2B_0,\, 3B_0$. Diskutujte získané výsledky. Co platí pro opticky tenkou vrstvu ( $\tau_0\ll 1$) a pro opticky tlustou vrstvu ( $\tau_0\gg 1$)?

Řešení:     Pro výpočet závislosti vystupující intenzity na tloušťce vrstvy je možné použít následující program:

program izotv;

var i: integer;
    b,tau,int,i0: double;

begin
 b:=2.0;
 i0:=3.0;
 for i:=1 to 100 do
 begin
  tau:=(i-1)/10.0;
  int:=i0*exp(-tau)+b*(1.0-exp(-tau));
  writeln(tau,int);
 end;
end.

Obrázek: Závislost intenzity vyzářené vrstvou na její optické hloubce pro různé hodnoty dopadající intenzity.

Nejprve diskutujme případ, kdy na vrstvu nedopadá žádné záření ( $I_{\lambda}(0)=0$, viz. obr. 9). Je patrné, že pro opticky tenké vrstvy je intenzita záření závislá na optické hloubce lineárně, pro rostoucí optické hloubky vrstvy se blíží k Planckově funkci. Obecně, pro libovolnou intenzitu dopadajícího záření platí, že intenzita vystupujícího záření pro případ opticky tenké vrstvy je přibližně rovna intenzitě dopadajícího záření. Příkladem opticky tenkých prostředí mohou být například některé hvězdné větry. Naopak, pro opticky tlustá prostředí intenzita vystupujícího záření se blíží Planckově funkci, nezávisí tedy na intenzitě dopadajícího záření a na optické hloubce vrstvy. Příkladem opticky tlustého prostředí může být sluneční atmosféra v čáře $\mathrm{H}_{\alpha}$.

Úloha 14.17 Předpokládejte, že nad povrchem hvězdy, který září jako černé těleso o teplotě $T_p=5\,780\,\mathrm{K}$ se nachází vrstva s optickou hloubkou $\tau=1$ ve stavu lokální termodynamické rovnováhy. V pozorované oblasti spektra hvězdy se nachází atomární čára, která má střed na vlnové délce $\lambda_0=500\mathrm{nm}$. S využitím výsledku předcházejícího příkladu vypočtěte pozorovanou relativní intenzitu v závislosti na vlnové délce (vyjádřené v násobcích Dopplerovské šířky čáry  $\Delta\lambda_D$) v případě, že teplota vrstvy je a)  $T_v=5\,000\,\mathrm{K}$, b)  $T_v=7\,000\,\mathrm{K}$, c) $T_v=T_p$. Přitom položte zdrojovou funkci $S(\lambda_0,T)=V(a,v)B(\lambda,T_v)$, kde $V(a,v)$ je tzv. Voigtova funkce s parametry $v=(\lambda-\lambda_0)/\Delta\lambda_D$ a parametrem $a$, charakterizujícím Lorentzovské rozšíření čáry (zvolte např. $a=1$). Voigtovu funkci aproximujte vztahem $V(a,v)\cong \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\exp(-v^2)+\frac{a}{\sqrt{\pi}\left(v^2+a^2\right)}\right)$. Vysvětlete získané výsledky.

Řešení:     Pro intenzitu záření černého tělesa je možné odvodit vztah

$$B(\lambda,T)=\frac{2 h c^2}{\lambda^5}\frac{1}{\mathrm{e}^{hc/\lambda k T}-1}.$$

Se znalostí předcházejícího příkladu 16 je možné napsat následující program, který vypočítá záření emitované vrstvou:

program prof;

const a=1.0;
      tau0=1.0;
      ts=5780.0;
      tl=5000.0;
      lam0=5000.0e-10;

var i,j:integer;
    i0,u:double;
      
function voigt(v,agam:double):double; {Voigtova funkce} 
 begin
  if(abs(v)>8.0) then
    voigt:=agam/sqrt(pi)/(agam*agam+v*v)/sqrt(pi)
   else
    voigt:=(exp(-v*v)+agam/sqrt(pi)/(agam*agam+v*v))/sqrt(pi);
 end;

function b(tep,lam:double):double;

const h=6.6256e-34;     {Planckova konstanta}
      c=2.99792e8;      {rychlost svetla}
      bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta}

var lam5:double;

begin
 lam5:=lam*lam*lam*lam*lam;
 b:=2.0*h*c*c/lam5/(exp(h*c/lam/bolk/tep)-1.0);
end;

function profil(a,tau0,u:double):double;
var tau: double;
begin
 tau:=tau0*voigt(u,a);
 profil:=b(ts,lam0)*exp(-tau)+b(tl,lam0)*(1.0-exp(-tau));
end;

begin
 u:=-10.0;
 i0:=profil(a,tau0,u);
 for i:=0 to 2000 do
  begin
   u:=u+0.01;
   writeln(u,profil(a,tau0,u)/i0);
  end;
end.

Obrázek: Profily čar vyzařované vrstvou nacházející se v lokální termodynamické rovnováze pro různé teploty látky.

Na obrázku 10 jsou nakresleny profily čar, získané uvedeným programem. Jednotlivým případům uvedeným v zadání se budeme věnovat podrobněji. Obecně však platí (viz. výsledek předcházejícího příkladu 16), že v centru čáry, kde je optická hloubka vrstvy vysoká, se pozorovaná intenzita blíží Planckově funkci s teplotou rovnou teplotě vrstvy. Naopak v křídlech čáry, kde je optická hloubka vrstvy nízká, se pozorovaná intenzita blíží Planckově funkci s teplotou rovnou teplotě dopadajícího záření. Tento poznatek je také klíčem k pochopení jednotlivých případů. V případě a), kdy je teplota vrstvy nižší než teplota dopadajícího záření, je také hodnota Planckovy funkce v centru čáry nižší, než hodnota Planckovy funkce dopadajícího záření a my pozorujeme absorpční čáry. Tento model je možné použít pro vysvětlení vzniku absorpčních čar např. ve viditelném spektru Slunce. Opačný jev nastává v případě b), kdy je teplota vrstvy vyšší než teplota dopadajícího záření. Tento model popisuje vznik emisních čar. V případě c), kdy je teplota vrstvy rovna teplotě dopadajícího záření se vrstva spolu s okolním zářením nachází ve stavu termodynamické rovnováhy a žádné čáry nepozorujeme.

Úloha 14.18 Pro situaci popsanou v předcházejícím příkladě nakreslete závislost ekvivalentní šířky čáry na optické hloubce čáry.

Řešení:     Pro výpočet ekvivalentní šířky čáry v závislosti na její optické hloubce, je možné využít následující program:

program krivrust;

const taumin=0.5;
      taumax=100.0;
      ntau=300;
      nlam=200;
      u0=-800.0;
      a=1.0;
      ts=5780.0;
      tl=5000.0;
      lam0=5000.0e-10;

var x,gam: double;
    i,j:integer;
    tau0,w,it,i0,u,dltau,dlam:double;

begin
 tau0:=taumin;
 dltau:=exp((ln(taumax)-ln(taumin))/(ntau-1));
 dlam:=2.0*abs(u0)/nlam;
 for j:=0 to ntau do
  begin
   u:=u0;
   i0:=profil(a,tau0,u);
   w:=0;
   for i:=0 to nlam do
    begin
     it:=(i0-profil(a,tau0,u))/i0;
     u:=u+dlam;
     if(i>0) and (i<nlam) then
       w:=w+it
     else
       w:=w+0.5*it;
   end;
   w:=w*dlam;
   writeln(tau0,' ',w);
   tau0:=tau0*dltau;
 end;
end.

Obrázek: Závislost ekvivalentní šířky čáry na optické hloubce čáry.

Funkce voigt, b a profil zde nevypisujeme, všechny je možné převzít z předcházející úlohy 16. Graf, který byl získán uvedeným programem, je na obr. 11.

Úloha 14.19 Hvězdy s hmotnostmi $M_1=0,5\,M_{\odot}$ a $M_2=2,0\,M_{\odot}$ obíhají po kruhových drahách kolem společného hmotného středu. Součet poloos obou drah je $a=2.0\,\mathrm{AU}$, inklinační úhel $i=\pi/6$. Nakreslete křivku radiálních rychlostí.

Řešení:     Vzájemná rychlost obou hvězd je dána vztahem $v^2=G(M_1+M_2)/a$, pro radiální rychlost první hvězdy platí $v_{r1}=-\sin i \sin\theta \mu v/M_1$, kde $\theta$ je úhel mezi přímkou spojující hvězdy a směrem k pozorovateli. Pro vykreslení křivky radiálních rychlostí na obr. 12 lze použít následující program:

Obrázek: Křivka radiálních rychlostí

program radrych;

const au=1.496e11;
      ms=1.989e30;
      a=2.0*au;
      m1=0.5*ms;
      m2=2.0*ms;
      i=pi/6.0;
      ntheta=1000;
      g=6.67e-11;
      rok=60.0*60.0*24.0*365.0;

var si,theta,v,v1,v2,mu,p,t:double;
    j:integer;

begin
 si:=sin(i);
 mu:=m1*m2/(m1+m2);
 p:=2.0*pi*sqrt(a*a*a/g/(m1+m2));
 for j:=0 to ntheta do
 begin
  theta:=2.0*pi*j/ntheta;
  v:=sqrt(g*(m1+m2)/a);
  v1:=-v*mu/m1*sin(theta)*si;
  v2:=v*mu/m2*sin(theta)*si;
  t:=j/ntheta*p/rok;
  writeln(t,' ',v1,' ',v2);
 end;
end.

Úloha 14.20Nakreslete graf Rocheova potenciálu v rovině oběhu složek pro dvojhvězdu s hmotností složek $M_1=0,85\,M_{\odot}$, $M_2=0,17\,M_{\odot}$ se vzdáleností středů hvězd $a$. Na základě výsledků diskutujte povahu Lagrangeových bodů.

Řešení:    Potenciál $\Phi=-\frac{GM_1}{r_1}-\frac{GM_2}{r_2}-\frac{s^2\omega^2}{2}$, kde $s$ je vzdálenost od osy rotace, vyjádříme v bezrozměrných veličinách, $\frac{\Phi}{G(M_1+M_2)/a}=-\frac{M_1}{M_1+M_2}\frac{a}{r_1}-\frac{M_2}{M_1+M_2}\frac{a}{r_2}-\frac{1}{2} \frac{s^2}{a^2}$. Pro vykreslení můžeme například v programu Gnuplot použít následující skript:

m1=0.85
m2=0.17
x1=m2/(m1+m2)
x2=m1/(m1+m2)
mcos(a,b)=a/b
r1(x,y)=(x1*x1+x*x+y*y+2*x1*(x*x+y*y)**0.5*mcos(x,(x*x+y*y)**0.5))**0.5
r2(x,y)=(x2*x2+x*x+y*y-2*x2*(x*x+y*y)**0.5*mcos(x,(x*x+y*y)**0.5))**0.5
splot -(m1/r1(x,y)+m2/r2(x,y)+0.5*(m1+m2)*(x*x+y*y))/(m1+m2)

Obrázek: Průběh potenciální energie v okolí dvojhvězdy, znázorněný ve vztažné soustavě korotující s dvojhvězdou.

Výsledek je na obrázku 13. Lagrangeovy body $L_1$, $L_2$ a $L_3$ jsou sedlovými body potenciálu, v Lagrangeových bodech $L_4$ a $L_5$ dosahuje potenciál svého maxima.

Úloha 14.21 V případě, že v dvojhvězdě přetéká hmota, je možné rychlost přenosu odhadnout vztahem $\dot M=\rho v A$, kde $\rho$ je hustota látky která přetéká z hvězdy o poloměru $R$ na druhou hvězdu průřezem o ploše $A$. Odhadneme-li plochu jako $A\cong\pi R d$, kde $d$ je tloušťka vrstvy, která přesahuje Rocheovu plochu a rychlost $v$ položíme rovnu tepelné rychlosti, pak rychlost přenosu hmoty je možné odhadnout

$$\dot M \cong\pi R d \rho \left(\frac{3kT}{m_{\mathrm{H}}}\right)^{1/2},$$

kde $k$ je Boltzmannova konstanta, $T$ je teplota a $m_{\mathrm{H}}$ je hmotnost atomu vodíku. Pomocí programu STATSTAR vypočtěte závislost $\dot M$ na $d$ pro hvězdu o sluneční hmotnosti (viz. příklad 8).

Řešení:     Pro výpočet závislosti rychlosti přenosu hmoty $\dot M$ na tloušťce vrstvy hvězdy, která přesahuje Rocheovu plochu, je možné použít následující program, který načítá model atmosféry (bez hlavičky) vypočtený programem STATSTAR:

Obrázek: Rychlost přenosu hmoty ve dvojhvězdě

program phmot;

const rhv=7.11e8;       {polomer hvezdy}
      rcgs=0.01;        {prepocet CGS}
      rhocgs=1000.0;    {prepocet CGS}
      ms=1.989e30;      {hmotnost Slunce}
      bolk=1.38054e-23; {Boltzmannova konstanta}
      mh=1.6735e-27;    {hmotnost atomu vodiku}


var dm,r,qm,lr,t,p,rho: double;
    i: integer;

begin
 for i:=1 to 424 do
 begin
  readln(r,qm,lr,t,p,rho);
  dm:=pi*rhv*(rhv-r*rcgs)*rho*rhocgs*sqrt(3.0*bolk*t/mh);
  writeln(1.0-r*rcgs/rhv,dm/ms);
 end;
end.

Úloha 14.22Zjistěte periodu hvězdy CQ UMa.

Řešení:    Na adrese http://adsabs.harvard.edu zvolíme "Search", "Astronomy and Astrophysics Search" a jako "Object name" zadáme "CQ UMa". Zvolíme hledání, "Send Query". Podle názvu zvolíme článek, který se týká hledání periody, získáme jeho pdf verzi a vyhledáme určenou periodu. Například v článku Improvement of the Period of CQ UMa autorů Jozefa Žižňovského a Zdeňka Mikuláška (IBVS, číslo 4259, strana 1) nalezneme periodu $2,4499141\pm0,0000038\,\mathrm{dne}$.

Úloha 14.23Nakreslete světelnou křivku zákrytové dvojhvězdy GG Lup.

Řešení:    Na adrese http://cds.u-strasbg.fr zvolíme "Catalogs", zadáme hledání
"GG Lup" a zvolíme článek Clausen a kol. 1993, Astron. Astrophys. Suppl. Ser. 101, 563 (například volba FTP). Získáme soubor table1, pomocí něhož nakreslíme světelnou křivku.

Obrázek: Světelná křivka zákrytové dvojhvězdy GG Lup

Úloha 14.24 Pro teplotu akrečního disku platí vztah

$$T=\left(\frac{3GM\dot{M}}{8\pi\sigma R_{S}^{3}}\right)^{1/4} \le... ...frac{R_S}{r}\right)^{3/4}\left[1-\left(\frac{R_S}{r}\right)^{1/2}\right]^{1/4}.$$

Nakreslete průběh teploty v disku a pomocí Wienova zákona vlnovou délku, na které plyn vyzáří nejvíce energie pro černou díru A0620-00, která je složkou dvojhvězdy, s hmotností $3,82\,M_{\odot}$. Ve vztahu $R_S=2GM/c^2$ je Schwarzschildův poloměr, $\sigma$ konstanta Stefanova-Boltzmannova zákona. Graf nakreslete pro poloměr $r>3R_S$, nad kterým v případě nerotující černé díry existují stabilní dráhy hmotných částic.

Řešení:     Pro získání grafů 16 a 17 je možné použít následující program:

Obrázek: Průběh teploty v akrečním disku

Obrázek: Vlnová délka získaná z Wienova posunovacího zákona

program disk;

const ms=1.989e30;      {hmotnost Slunce}
      m=3.82*ms;

      g=6.67e-11;       {gravitacni konstanta}
      dmdt=1.0d14;
      sig=5.67051d-8;   {konstanta Stefan-Boltzmannova zakona}
      c=2.99792e8;      {rychlost svetla}
      b=0.0029;         {konstanta Wienova zakona}

var rs,tdisk,r,dr,ddr,t,mlam: double;
    i: integer;

begin
 rs:=2.0*g*m/c/c;
 tdisk:=3.0*g*m*dmdt/8.0/pi/sig/rs/rs/rs;
 tdisk:=sqrt(sqrt(tdisk));
 r:=3.0*rs;
 for i:=1 to 500 do
 begin
  r:=1.015*r;
  dr:=sqrt(rs/r);
  ddr:=sqrt(dr);
  t:=tdisk*ddr*ddr*ddr*sqrt(sqrt(1.0-dr));
  mlam:=b/t;
  writeln(r/rs,t,mlam*1.0e9);
 end;
end.

4mm

Úloha 14.25S pomocí katalogu TYCHO nakreslete histogram počtu hvězd na obloze podle jejich pozorované hvězdné velikosti. Předpokládejte, že jsou hvězdy v prostoru rozloženy rovnoměrně a že všechny hvězdy mají stejnou hvězdnou velikost. Spočtěte za těchto předpokladů rozdělovací funkci hvězd podle jejich hvězdné velikosti a porovnejte se získaným histogramem. Co můžeme na základě těchto úvah usuzovat o mezihvězdné extinkci?

Řešení:    Na stránce CDS http://cdsweb.u-strasbg.fr/cats/Cats.htx, na které je možné hledat astronomické katalogy, zadáme hledání "TYCHO". Zvolíme "I/197A Tycho Input Catalogue, Revised version (Egret+ 1992)", ("VizieR query form"). Pro úsporný výpis zvolíme "Maximum Entries per table" jako "unlimited", "Output layout" jako "tiny ascii" a zaškrtneme výpis pouze položky "Vmag". Jako kritérium pro hledání zadáváme např. "4+/-0.5" (postupujeme např. po celých magnitudách). Na základě počtu nalezených hvězd získáme následující obrázek 18.

Obrázek: Histogram počtu hvězd podle jejich hvězdné velikosti. Přímka označuje počet hvězd spočtený za předpokladu, že je mezihvězdné zčervenání zanedbatelné.

Počet hvězd $N$ v kouli o poloměru $r$ je úměrný $N\sim r^3$. Vzdálenost, do které uvidíme hvězdy hvězdné velikosti $m$, které mají stejnou absolutní hvězdnou velikost $M$ je dána vztahem $m - M = 5\log r - 5$, kde $r$ je vyjádřeno v parsecích. Počet hvězd je tedy úměrný $N\sim10^{0,6(m-M+5)}$, počet hvězd s danou hvězdnou velikostí je úměrný $\mathrm{d}N/\mathrm{d}m\sim10^{0,6m}$. Tato křivka je nakreslena nepřerušovanou čarou v obrázku 18. Slabých hvězd pozorujeme nápadně méně, než by to odpovídalo uvažovanému modelu, důvodem je vliv mezihvězdné extinkce.

Úloha 14.26 Určete zářivý výkon aktivní galaxie Cygnus A v rádiovém oboru pomocí zářivého toku uvedeného v tabulce, víte-li, že galaxie je vzdálena $250\,\mathrm{Mpc}$.

$\log\nu$	$\log F_{\nu}$		$\log\nu$	$\log F_{\nu}$
$[\mathrm{Hz}]$	[ $\mathrm{J}.\mathrm{m}^{-2}.\mathrm{Hz}^{-1}$]		$[\mathrm{Hz}]$	[ $\mathrm{J}.\mathrm{m}^{-2}.\mathrm{Hz}^{-1}$]
$7,0$	$-21,88$		$8,7$	$-22,38$
$7,3$	$-21,55$		$9,0$	$-22,63$
$7,7$	$-21,67$		$9,3$	$-22,96$
$8,0$	$-21,66$		$9,7$	$-23,43$
$8,3$	$-22,09$		$10,0$	$-23,79$

Řešení:     Abychom získali zářivý výkon v radiovém oboru, musíme integrovat zářivý tok přes všechny frekvence a sečíst tok na kouli o poloměru $250\,\mathrm{Mpc}$. S použitím lichoběžníkového pravidla je možné napsat následující program:

program agn;

const nf=10;
      d=250.0;
      mpc=3.09e22;

var nu,nus,f,fs,lr,r: double;
    i: integer;

function des(x: double) : double;
begin
 des:=exp(x*ln(10.0));
end;

begin
 lr:=0.0;
 for i:=1 to nf do
 begin
  read(nu,f);
  nu:=des(nu);
  f:=des(f);
  if(i > 0) then lr:=lr+0.5*(fs+f)*(nu-nus);
  fs:=f;
  nus:=nu;
 end;
 r:=d*mpc;
 lr:=4.0*pi*r*r*lr;
 writeln(lr);
end.

Zářivý výkon galaxie Cygnus A v rádiovém oboru je $9\,10^{37}\,\mathrm{J}.\mathrm{s}^{-1}$, což je o šest řádů více, než je zářivý výkon galaxie M31 v rádiové oblasti a asi desetkrát více než zářivý výkon naší Galaxie ve všech oborech elektromagnetického spektra.

Úloha 14.27Nalezněte článek autorů Penziase a Wilsona, za který jim byla udělena Nobelova cena.

Řešení:    Na adrese http://adsabs.harvard.edu zvolíme "Search", "Astronomy and Astrophysics Search" a jako autory (na každý řádek jednoho) napíšeme Penzias a Wilson, zaškrtněte AND, klepneme na "Send Query". Hledaným článkem je A Measurement of Excess Antenna Temperature at 4080 Mc/s (Astrophysical Journal, číslo 142, strana 419). Kliknutím na odkaz vybraného článku pak získáte jeho abstrakt, je možné získat přímo samotný článek.

Úloha 14.28Pomocí vzáleností galaxií a jejich radiálních galaxií uvedených v článku W. A. Freedman a kol., Astrophysical Journal, číslo 553, strana 47, spočtěte hodnotu Hubbleovy konstanty.

Řešení:    Článek získáme například na adrese http://adsabs.harvard.edu. Z tabulky 4 tohoto článku převezmeme vzdálenosti galaxií $D_Z$, z tabulky 5 jejich radiální rychlosti ( $V_\mathrm{Shapley}$). Získanými daty proložíme přímku a spočteme hodnotu Hubbleovy konstanty
$H=77\pm4\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}.\mathrm{Mpc}^{-1}$