2. Sluneční soustava

Úloha 2.1 Vysvětlete, proč za běžných podmínek pozorujeme okraj slunečního disku ostře ohraničený zatímco při úplném zatmění se sluneční koróna jeví neostrá? Teplota fotosféry Slunce je $5\,780\,\mathrm{K}$, koróny $2.10^6\,\mathrm{K}$.

Úloha 2.2 Průměrně jeden den po chromosférické erupci na Slunci vznikají různé geofyzikální poruchy. Stanovte kinetickou energii protonů, které je vyvolávají.

Úloha 2.3 Můžeme lidským zrakem chráněným vhodným filtrem pozorovat na Slunci sluneční skvrnu o velikosti Země respektive Jupitera? Připomínáme, že lidské oko je schopno rozlišit předměty pozorované přibližně pod úhlem nejméně $2'$.

Úloha 2.4 Určete úbytek hmotnosti Slunce prostřednictvím slunečního větru. Předpokládejte sféricky symetrické šíření slunečního větru meziplanetárním prostorem, nechť veškerá hmota ze Slunce prochází sférou ve vzdálenosti $r = 1\,\mathrm{AU}$. V okolí Země je průměrná rychlost slunečního větru $v = 500\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, hustota částic je $n = 7 . 10^6\mathrm{m}^{-3}$.

Úloha 2.5 Stanovte stáří vzorku horniny Země z jihozápadního Grónska, u kterého byl zjištěn poměr ${}^{206}_{\;82}\mathrm{Pb}/{}^{238}_{\;92}\mathrm{U}=0,623$. Rozpadová reakce je dána vztahem ${}^{238}_{\;92}\mathrm{U}\rightarrow{}^{206}_{\;82}\mathrm{Pb}+8{}^4_2\mathrm{He}$, poločas rozpadu $\tau = 4,5 . 10^9\,\mathrm{roků}$.

Úloha 2.6 Jaké bylo stáří jednoho ze vzorků horniny Měsíce získaného při výpravě Apolla 17 v roce 1972, jestliže byl u něho zjištěn poměr ${}^{87}_{38}\mathrm{Sr}/{}^{87}_{37}\mathrm{Rb}=0,065$? Rozpadová reakce ${}^{87}_{37}\mathrm{Rb}\rightarrow{}^{87}_{38}\mathrm{Sr}+\mathrm{e}^-$, poločas rozpadu $\tau = 4,7 . 10^{10}\,\mathrm{roků}$.

Úloha 2.7 Určete tlakové škálové výšky pro kyslík a dusík v atmosféře Země, předpokládejte $g = 9,8\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-2}$ a průměrnou teplotu $280\,\mathrm{K}$.

Úloha 2.8 Nejvyšší hora na Zemi Mount Everest má výšku $h = 8\,848\,\mathrm{m}$ nad úrovní moře. Horolezci k jejímu zdolání zpravidla používají kyslíkové přístroje. Zdůvodněte proč, stanovte koncentraci kyslíku $n$ na vrcholu hory. Střední teplotu atmosféry Země v této vrstvě atmosféry pokládáme rovnou $280\,\mathrm{K}$.

Úloha 2.9 Keckovy dalekohledy byly postaveny na vrcholu hory Mauna Kea na Havaji ve výšce $h = 4\,100\,\mathrm{m}$ nad úrovní moře v místě s průměrnou teplotou $T = 280\,\mathrm{K}$. Jedním z důvodů tohoto umístění je snížený obsah vodních par v této výšce, tudíž zlepšení podmínek pro pozorování. Tento úsudek doložte výpočtem.

Úloha 2.10 Tlaková škálová výška atmosféry Země je $H_\mathrm{Z}= 8,4\,\mathrm{km}$, proveďte její výpočet pro Mars, jestliže $M_\mathrm{M}=6,4.10^{23}\,\mathrm{kg}$, $M_\mathrm{M}=0,11M_\mathrm{Z}$, $R_\mathrm{M}=3\,397\,\mathrm{km}$, $R_\mathrm{M}=0,53R_\mathrm{Z}$, střední teplota atmosféry Země je $280\,\mathrm{K}$, Marsu $190\,\mathrm{K}$.

Úloha 2.11 Určete efektivní teplotu rovnovážného záření Země, jestliže je známo Bondovo albedo Země $A = 0,30$, efektivní povrchová teplota Slunce $5\,780\,\mathrm{K}$, poloměr Slunce $7. 10^8\,\mathrm{m}$ a vzdálenost Slunce - Země $a_\mathrm{SZ} = 1\,\mathrm{AU} = 1,5.10^{11}\,\mathrm{m}$. Albedo definujeme jako poměr velikosti záření rozptýleného povrchem koule do všech směrů k celkovému množství záření, jež dopadá na povrch při rovnoběžném svazku záření.

Úloha 2.12 Stanovte efektivní teplotu rovnovážného záření Marsu, známe Bondovo albedo Marsu $A = 0,25$, efektivní povrchovou teplotu Slunce $5\,780\,\mathrm{K}$, poloměr Slunce $7. 10^8\,\mathrm{m}$ a vzdálenost Slunce - Mars $a_\mathrm{M} = 1,52\,\mathrm{AU} = 2,28.10^{ 11}\,\mathrm{m}$.

Úloha 2.13 Hodnota solární konstanty pro Zemi je ve vzdálenosti $1\,\mathrm{AU}$ od Slunce $1\,370\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$. Určete hodnotu solární konstanty pro Jupiter, který obíhá v průměrné vzdálenosti $5,2\,\mathrm{AU}$ od Slunce. Stanovte celkový přijímaný zářivý výkon od Slunce, který získává Jupiter, jestliže Bondovo albedo planety je $0,70$.

Úloha 2.14 Oběžná doba planetky Icarus obíhající kolem Slunce po eliptické dráze je $1,12\,\mathrm{roku}$, excentricita její dráhy je $0,83$. Určete vzdálenost planetky od Slunce v perihéliu a aféliu, stanovte efektivní teplotu rovnovážného záření planetky ve zmíněných bodech její dráhy při znalosti Bondova albeda $A = 0,1$.

Úloha 2.15 Ze spektroskopických studií Neptuna v infračerveném oboru kosmickou sondou Voyager 2 byla stanovena teplota planety na $56\,\mathrm{K}$. Dokažte, že Neptun má vnitřní zdroje energie, jestliže Bondovo albedo je $A = 0,29$, střední vzdálenost od Slunce je $a_\mathrm{Ne} = 30\,\mathrm{AU}$.

Úloha 2.16 Hypoteticky předpokládejte, že jediným zdrojem energie vyzařování Jupitera je gravitační potenciální energie. Jak dlouho by mohl vyzařovat při zachování charakteristik, jestliže současný celkový vyzářený výkon Jupitera je $L = 4 . 10^{17}\,\mathrm{W}$.

Úloha 2.17 Podle kosmogonických hypotéz o vzniku sluneční soustavy před $4,7$ miliardami roků byl původní zářivý výkon Jupitera $0,02\,L_{\odot}$ při povrchové teplotě $1\,000\,\mathrm{K}$. Za předpokladu, že vyzařoval jako absolutně černé těleso určete jeho tehdejší poloměr.

Úloha 2.18 Můžeme ze Země vidět na Marsu údolní útvar Valley Marineris, jehož šířku odhadujeme na $200\,\mathrm{km}$? Předpokládejte pozorování v době opozice, při které je Mars vzdálen od Země $5,6.10^{10}\,\mathrm{m}$.

Úloha 2.19 Merkur má průměrnou hustotu $\rho_\mathrm{c} = 5,4 . 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$. Předpokládaná hustota povrchových vrstev $\rho_\mathrm{o} = 4,5 . 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, jádra $\rho_\mathrm{j} = 8 . 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$. Určete relativní velikost poloměru jádra planety.

Úloha 2.20 Objasněte, proč měsíc Saturna Titan si zachoval svoji atmosféru zatímco Merkur nikoliv. Maximální teplota v dusíkové atmosféře Titanu je $100\,\mathrm{K}$, na povrchu Merkuru až $800\,\mathrm{K}$.

Úloha 2.21 Dokažte pro dostatečně malé částice prachu v kometárním ohonu, že síla tření způsobená slunečním větrem je větší než gravitační síla Slunce.

Úloha 2.22 Prověřte, zda molekuly CN (emisní pás $\lambda = 388,3\,\mathrm{nm}$) jsou uvolňovány z povrchu jádra komety Hale - Bopp v heliocentrické vzdálenosti $r = 2,9\,\mathrm{AU}$ při teplotě $T = 200\,\mathrm{K}$. Kometární jádro má hustotu přibližně $\rho = 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ a poloměr $R = 10\,\mathrm{km}$.

Úloha 2.23 Častým námětem katastrofických filmů je dopad komet na povrch Země. Hypoteticky předpokládejte pád jádra komety do Tichého oceánu rychlostí $10\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Nechť má sférický tvar o průměru $R = 3\,\mathrm{km}$ a hustotě $\rho = 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$. Určete velikost uvolněné energie a porovnejte ji s energií uvolňovanou při erupcích sopek, která dosahuje $100\,\mathrm{MTNT}$. Připomínáme, že 1 megatuna TNT odpovídá energii $4,2 .10^{ 15}\,\mathrm{J}$. Jak velké množství vody se při pádu vypaří?

Úloha 2.24 Určete pomocí empirického vztahu $D\cong D_0(E_\mathrm{k}/E_\mathrm{k0})^{0,294}$, kde $D_0 = 15\,\mathrm{km}$, $E_\mathrm{k0} =10^{ 20}\,\mathrm{J}$ přibližnou hmotnost a poloměr meteoritu Ries, po jehož dopadu zůstal v Německu kráter o průměru $D = 24\,\mathrm{km}$. Předpokládejte modelovou rychlost dopadu $25\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ a hustotu $\rho = 3. 10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$.

Úloha 2.25 Měsíc Charon obíhá kolem Pluta ve vzdálenosti $a_\mathrm{Ch} = 19\,640\,\mathrm{km}$ za dobu $T_\mathrm{Ch}= 6,39\,\mathrm{dne}$. Poloměr Pluta je $R_\mathrm{Pl} = 1\,150\,\mathrm{km}$, $R_\mathrm{Ch} = 600\,\mathrm{km}$. Za zjednodušujícího předpokladu, že obě tělesa mají stejnou hustotu, určete jejich hmotnosti.

Úloha 2.26 V jaké vzdálenosti od Pluta se nachází hmotný střed soustavy Pluto - Charon? Pluto má hmotnost $M_\mathrm{Pl}= 1,2 . 10^{22}\,\mathrm{kg}$ a Charon $M_\mathrm{Ch} = 1,7 . 10^{ 21}\,\mathrm{kg}$, velká poloosa dráhy Charona je $19,6.10^3\,\mathrm{km}$.

Úloha 2.27 Jak se mění tlaková škálová výška atmosféry Pluta při přechodu z afélia do perihélia při excentricitě dráhy planety $e = 0,25$?

Úloha 2.28 Astrologové tvrdí, že kosmická tělesa, zejména planety svými astrologickými silami v okamžiku narození lidí ovlivňují jejich charaktery. Vypočtěte poměr gravitačních sil Jupitera a Země na nově narozené dítě v okamžiku, kdy se Jupiter nachází v opozici ve vzdálenosti $4,2\,\mathrm{AU}$ od Země.