12. Hvězdy a mezihvězdná látka

Úloha 12.1 V typickém mezihvězdném mračně při $T = 50 \,\mathrm{K}$ je $n = 5.10^{-4}\,\mathrm{ m}^{-3}$. Budeme předpokládat, že mračno je složeno z vodíku H I, $\rho_0 = m_{\mathrm{H}} n_{\mathrm{H}} = 8,4 . 10^{ - 19}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$. Určete kritickou Jeansovu hmotnost.

Úloha 12.2 Stanovte teoretickou hodnotu Jeansovy hmotnosti mezihvězdných mračen, pro tři možné případy: a) chladné oblasti s  $T = 10^2 \,\mathrm{K}$, $\rho_0 = 10^{ - 19}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ b) oblasti H II, kde $T = 10^4 \,\mathrm{K}$, $\rho_0 = 10^{ - 21}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ c) horké oblasti, ve kterých $T = 10^6 \,\mathrm{K}$, $\rho_0 = 10^{ - 23}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ Molekulární hmotnost $\mu$ přijměte rovnu 1 v případě a), v dalších případech pokládáme $\mu=\frac{1}{2}$.

Úloha 12.3 Určete dobu smršťování mračna volným pádem, jestliže průměrná hustota mračna je $\rho = 3 . 10^{ -15}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$

Úloha 12.4 Stanovte střední zářivý výkon protohvězdy v průběhu počátečního smršťování, které probíhalo na časové škále $3.10^5\,$roků$= 10^{13}\,$s. Smršťující se mračno o hmotnosti $1,5\,M_{\odot}= 3. 10^{ 30}\,\text{kg}$ se vyznačovalo původní velikostí mračna $\approx10^{ 11}\,\text{m}$, po proběhlé gravitační kontrakci mělo jádro mračna velikost $R = 1,6.10^{11}\,$m. Předpokládáme, že smršťování probíhalo relativně pomalu ,,kvazirovnovážně", platila pro něj viriálová věta $\langle E_$k$\rangle +2\langle E_$p$\rangle = 0$.

Úloha 12.5 Určete střední dobu mezi dvěma srážkami atomů neionizovaného vodíku při teplotě mezihvězdného mračna $80\,$K, jestliže účinný srážkový průřez atomů je přibližně $\sigma\cong10^{-19}\,\mathrm{m}^{2}$, předpokládaná hustota atomů je $n_{\mathrm{H}}\cong10^{-6}\,\mathrm{m}^{-3}$.

Úloha 12.6 V mezihvězdném prostředí, jehož vlastnosti se blíží vlastnostem ideálního jednoatomového plynu, je teplota určována pomocí vztahu $\frac{3}{2}kT=\frac{9}{32}m_{\mathrm{H}}v^2$. Určete teplotu je-li rychlost rozšiřování vláknových struktur mlhoviny rovna $v\cong10^2\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Úloha 12.7 Určete dobu pobytu atomu vodíku v ionizovaném stavu v planetární mlhovině, je-li zadána koncentrace volných elektronů $n_{\mathrm{e}}=10^{10}\,\mathrm{m}^{-3}$, teplota mlhoviny $T = 10^4 \,\mathrm{K}$.

Úloha 12.8 Uvažujte atomu vodíku nacházející se v mezihvězdném mračně. Teplota mračna určuje rychlost pohybu atomů $v_$t$=\sqrt{2kT/m_\text{H}}$, úniková rychlost atomů na okraji mračna je dána vztahem $v_$u$=\sqrt{2GM/R}$. Zdůvodněte výpočtem, proč emisní mlhoviny drží pohromadě.

Úloha 12.9 Jak se mění poloha hvězdy na diagramu barva - pozorovaná hvězdná velikost pro kulové hvězdokupy, jestliže
a) vzdálenost hvězdokupy se zvětší $10\times$
b) mezi hvězdokupou a pozorovatelem leží mračno prachu pro které $A = 5\,$mag.

Úloha 12.10 Odhadněte teplotu prachové částice nacházející se ve vzdálenosti $r_v = 100\,\mathrm{AU}$ od nově vzniklé hvězdy hlavní posloupnosti spektrální třídy F0. Předpokládejme, že rotující částice je ve stavu termodynamické rovnováhy, to znamená, že množství energie absorbované částicí v daném časovém intervalu je přesně rovno množství vyzářené energie touto částicí. Dále předpokládáme, že částice je sféricky symetrická a absorbuje záření jako černé těleso. Uvažovaná hvězda hlavní posloupnosti má povrchovou teplotu $8 \,200 \,\mathrm{K}$ a poloměr $1,8\,R_{\odot}$.

Úloha 12.11 Ve středu planetární mlhoviny Helix se nachází horká hvězda - bílý trpaslík s povrchovou teplotou $T = 100 \,000 \,\mathrm{K}$. Velká část záření centrální hvězdy je pohlcována mlhovinou. Objasněte proč můžeme skrze ni pozorovat vzdálenější galaxie.
Úloha 12.12 Odvoďte vztah pro geometrickou délku zorného paprsku uvnitř prstencové mlhoviny, skládající se z obálky o tloušťce $d$ a vnějším poloměru $r$. Bude mlhovina vypadat jako planetární, jestliže hustota uvnitř obálky se zmenší o jeden řád a $d/r = 0,1$?

Úloha 12.13 Uprostřed emisní mlhoviny Růžice se nachází hvězda spektrální třídy O5 s povrchovou teplotou asi $50 \,000 \,\mathrm{K}$ a odhadovaným poloměrem $18\,R_{\odot}$. Kolik mezihvězdných atomů vodíku dokáže tato hvězda ionizovat za 1 sekundu? Jak by se změnil počet fotonů, jestliže by se teplota hvězdy zvýšila na $100 \,000 \,\mathrm{K}$?
Úloha 12.14 Doložte výpočtem vznik oblasti H II ionizujícím zářením v prostoru kolem hvězdy spektrální třídy O6, $T_{\mathrm{ef}}\cong 45 \,000 \,\mathrm{K}$, $L \cong 1,3 . 10^5 \,L_{\odot}$.

Úloha 12.15 Které jsou dva hlavní faktory určující velikost oblasti H II? Objasněte astrofyzikální podstatu své odpovědi, odvoďte velikost Strömgrenovy sféry.

Úloha 12.16 Dokažte, že Strömgrenův poloměr zóny H II závisí na koncentraci atomů vodíku v závislosti $r_S\sim n^{-2/3}$.

Úloha 12.17 Nalezněte poloměr Strömgrenovy oblasti kolem hvězdy Spicy, B2V, $T = 24 \,000 \,\mathrm{K}$, $R = 5\,R_{\odot}$ . Předpokládaná hustota $n_{\mathrm{H}} = 10^6 \,\mathrm{m}^{ -3}$, koeficient rekombinace na všechny energetické hladiny vyjma první základní je $\alpha = 2,3 . 10^{ - 19}\,\mathrm{ m}^3.\mathrm{ s}^{ -1}$.

Úloha 12.18 Hvězda s povrchovou teplotou $16 \,000 \,\mathrm{K}$ je pohroužena do mezihvězdného mračna. Odhadněte, jaká část její vyzařované energie připadá na ionizaci mezihvězdného vodíku. Předpokládejme, že hvězda vyzařuje jako černé těleso.

Úloha 12.19 Boltzmannův člen $\exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)$ umožňuje určení relativního obsazení energetických hladin. Užijte tento člen k výpočtu teploty nezbytné pro atomy vodíku, aby proton a elektrony přešly z antiparalelního do paralelního spinu. Jsou teploty mračen H I dostatečné k produkování této nízké energie?

Úloha 12.20 Emisní čára HI je pozorována na kmitočtu $\nu = 1\,420,4057\,$MHz. Určete poměr obsazení horních a dolních energetických hladin při teplotách $T = 100\,$K, $T = 10\,$K.

Úloha 12.21 U planetární mlhoviny byl spektroskopicky zjištěn Balmerův dekrement, poměr intenzit spektrálních čar H$_\alpha$ a H$_\beta$ rovný $3,50$. Teoreticky propočítaná hodnota tohoto poměru je $2,86$. Rozdíl velikostí intenzit spektrálních čar na různých vlnových délkách je způsoben zčervenáním v mezihvězdném prostředí, které je větší v krátkovlnné než v dlouhovlnné (červené) oblasti optického spektra. Jev je vyvolán prachovými částicemi, hovoříme o zčervenání. Určete vzdálenost planetární mlhoviny, jestliže závislost mezihvězdné absorpce na vzdálenosti je v Galaxii dána empirickým vztahem $A_\lambda=\frac{6,5\,\text{\AA}}{\lambda}.2.10^{-4}\,\text{mag}\,\text{pc}^{-1}$.

Úloha 12.22 Ze spektroskopických pozorování planetární mlhoviny NGC 7027 v souhvězdí Labutě byla zjištěna její teplota $1,1 . 10^4\,\mathrm{K}$. Vyzařovací schopnost plynu mlhoviny, jak ve spektrálních čarách tak ve spojitém spektru, charakterizujeme veličinou nazývanou emisní míra, je zavedena obecně $EM=\int_0^ln_{\mathrm{e}}^2{\mathrm d}l$. V celém rozsahu vlnových délek je povrchová jasnost mlhoviny prakticky úměrná $EM$. V naší úloze je střední emisní míra $EM = 5,3 . 10^{19} \,\mathrm{pc}.\mathrm{ m}^{ - 6}$. Nalezněte koncentraci elektronů $n_{\mathrm{e }}$ v mlhovině a stanovte její hmotnost. Předpokládáme $n_{\mathrm{e}} =$konst. a sférický tvar mlhoviny o průměru $D\cong0,1\,\pc$

Úloha 12.23 Mezihvězdný vodíkový plyn má teplotu $100\,$K .Určete šířku spektrální čáry za předpokladu pouze teplotního rozšíření. Dále stanovte šířku čáry v případě rozšíření srážkami, při hustotě $n=10^6\,$m$^{-3}$ a $\sigma = 3,6.10^{-20}\,$m$^2$.

Úloha 12.24 Zjištěné šířky čar $\mathrm{H}_{\alpha}$ s $\lambda = 656,3 \,\mathrm{nm}$ a N II s  $\lambda=658,4\,\mathrm{nm}$ jsou $\Delta\lambda_1=0,05\,\mathrm{nm}$ a $\Delta\lambda_2=0,04\,\mathrm{nm}$. Nalezněte teplotu a rychlost pohybu oblastí plynu v mlhovině.

Úloha 12.25 Ve spektrech plynných mlhovin pozorujeme pozorujeme rádiové čáry vznikající přechody mezi vysoce položenými energetickými hladinami. Určete vlnovou délku rekombinační čáry vodíku H$n_\alpha$, $n \gg 1$.

Úloha 12.26 Dokažte, že rekombinační čáry vodíku $n_\alpha$, $n_\beta$, $n_\gamma$, $n_\delta$ jsou ekvidistantní podle frekvence.

Úloha 12.27 Nechť mračno mezihvězdného plynu má hmotnost $M$ a jeho úhlový poloměr je $\varphi$. Dokažte, že pro vzdálenost mračna platí $r\sim\frac{M^{2/5}}{\varphi F^{1/5}}$, kde $F$ je tok záření $z$ mračna detekovaný na Zemi. Tento vztah odvodil Šklovskij pro určení vzdálenosti mlhovin za předpokladu, že pro jejich hmotnost platí $M\sim\sqrt{LV}$.

Úloha 12.28 Odhadněte hustotu neutrálního vodíku podél zorného paprsku procházejícího přes mračno, při 10% absorpci ve středu čáry L$_\alpha$. Koeficient absorpce ve středu čáry v přepočtu na 1 atom je $\kappa_C\cong10^{-16}\,\mathrm{m}^{2}$, při předpokládané teplotě plynu přibližně $100\,$K.

Úloha 12.29 Mračno H I emituje spektrální čáru o vlnové délce $21\,$cm s optickou hloubkou v jejím středu $\tau_{\mathrm{H}}=0,5$, jde o opticky tenkou čáru. Průměrná hustota plynu atomů v mračnu je $n_{\mathrm{H}}=10\,\mathrm{cm}^{-3}$, teplota plynu je $100\,$K a šířka čáry, přepočítaná na rychlost je $\Delta v=10\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Nalezněte tloušťku mračna $l$.

Úloha 12.30 Částice kosmického záření jsou udržovány v Galaxii prostřednictvím magnetického pole. Určete poloměr dráhy relativistické částice s nábojem $e$ a energií $10^3\,$GeV kolem siločar magnetického pole o magnetické indukci $B \cong 5 . 10^{ - 10}\,$T.