10. Počítačové úlohy

Úloha 10.1 Nakreslete křivku vyzařování černého tělesa pro teploty $5\, 000 \,\mathrm{K}$ a $5\,780\,\mathrm{K}$. Čím se liší?

Úloha 10.2 S použitím programu STATSTAR vypočtěte model hvězdy se sluneční hmotností (s parametry hmotnost, zářivý výkon a efekti vní teplota rovnými $1,0\,M_{\odot}$, $0,86071\,L_{\odot}$ a $5\,500,2\,\mathrm{K}$, chemické složení odpovídá Slunci, $X = 0,7$, $Y=0,292$ a $Z=0,008$). Přesné hodnoty parametrů hvězd jsou uvedeny pouze pro získání daného modelu stavby hvězdy (jsou vybrány tak, aby byly splněny příslušné okrajové podmínky diferenciálních rovnic popisujících stavbu hvězd) a nemají tedy astrofyzikální smysl.

1. Nakreslete závislost $P$, $M_r$, $L_r$ a $T$ na $r$.
2. Pro jakou teploty a pro jaký poloměr dosahuje $L_r$ $99\%$ a $50\%$ své povrchové hodnoty? Jaká tomu odpovídá hodnota $M_r$?

Úloha 10.3 Pomocí programu STATSTAR vypočtěte model hvězdy na hlavní posloupnosti s hmotností $1,0\,M_{\odot}$ (pro tuto hvězdu jsou zářivý výkon a efektivní teplota rovny $0,86071\,L_{\odot}$ a $5\,500,2\,\mathrm{K}$) a porovnejte ho s modelem hvězdy o hmotnosti $0,75\,M_{\odot}$ (pro tuto hvězdu jsou zářivý výkon a efektivní teplota rovny $0,1877\,L_{\odot}$ a $3\,839,1\,\mathrm{K}$). Pro obě hvězdy předpokládejte chemické složení odpovídající Slunci ($X = 0,7$, $Y=0,292$ a $Z=0,008$).

Úloha 10.4 Porovnejte parametry hvězd s hmotností $1,0\,M_{\odot}$ s různými chemickými složeními $X = 0,7$, $Y=0,292$, $Z=0,008$ a $X = 0,7$, $Y=0,29$, $Z=0,01$. Vysvětlete případné rozdíly.

Úloha 10.5 Pomocí programu STATSTAR vypočtěte teoretickou hlavní posloupnost pro hvězdy s hmotnostmi $0,5\,M_{\odot}$ - $13,0\,M_{\odot}$. Zvolte sluneční chemické složení ($X = 0,7$, $Y=0,292$ a $Z=0,008$).

Úloha 10.6 Nakreslete graf závislosti poměru koncentrace neutrálního vodíku k celkové koncentraci vodíku v závislosti na teplotě za předpokladu termodynamické rovnováhy. Pro zjednodušení předpokládejte, že koncentrace elektronů je  $n_{e}=10^{17}\mathrm{m}^{-3}$.

Úloha 10.7 Nakreslete graf závislosti poměru koncentrace vodíku s elektronem, nacházejíc ím se na druhé energetické hladině k celkové koncentraci vodíku v závislost i na teplotě za předpokladu termodynamické rovnováhy. Pro zjednodušení předpokládejte, že koncentrace elektronů je  $n_{e}=10^{20}\mathrm{m}^{-3}$. Vysvětlete tvar získaného grafu. Jaký závěr lze učinit pro čáry Balmerovy série vodíku?

Úloha 10.8 Intenzita vycházející z izotermické vrstvy nacházející se v lokální termodynamické rovnováze je dána přesným řešením rovnice přenosu záření $$I_{\lambda}=I_{\lambda}(0){\mathrm e}^{-\tau_0}+ \int_{0}^{\tau_0}B_{\lambda}(T(\tau)){\mathrm e}^{-(\tau-\tau_0)}{\mathrm d}\tau,$$ kde $I_{\lambda}(0)$ je dopadající intenzita záření v bodě s nulovo u optickou hloubkou $\tau=0$, $\tau_0$ je optická hloubka vrstvy a  $B_{\lambda}(T(\tau))$ Planckova funkce. V případě zmiňované izotermické vrstvy lze Planckovu funkci vytknout před integrál a provést integraci, $$I_{\lambda}=I_{\lambda}(0){\mathrm e}^{-\tau_0}+B_{\lambda}(T )(1-{\mathrm e}^{-\tau_0})$$ Zvolte $B_{\lambda}(T)=2B_0$ a nakreslete závislost vystupující intenzity na optické tloušťce vrstvy pro hodnoty dopadající intenzity záření $I_{\lambda}(0)=0,\, 1B_0,\, 2B_0,\, 3B_0$. Diskutujte získané výsledky. Co platí pro opticky tenkou vrstvu ($\tau_0\ll 1$) a pro opticky tlustou vrstvu ( $\tau_0\gg 1$)?

Úloha 10.9 Předpokládejte, že nad povrchem hvězdy, který září jako černé těleso o teplotě $T_p=5\,780\,\mathrm{K}$ se nachází vrstva s optickou hloubkou $\tau=1$ ve stavu lokální termodynamické rovnováhy. V pozorované oblasti spektra hvězdy se nachází atomární čára, která má střed na vlnové délce $\lambda_0=500\mathrm{nm}$. S využitím výsledku předcházejícího příkladu vypočtěte pozorovanou relativní intenzitu v závislosti na vlnové délce (vyjádřené v násobcích Dopplerovské šířky čáry  $\Delta\lambda_D$) v případě, že teplota vrstvy je a)  $T_v=5\,000\,\mathrm{K}$, b)  $T_v=7\,000\,\mathrm{K}$, c) $T_v=T_p$. Přitom položte zdrojovou funkci $S(\lambda_0,T)=V(a,v)B(\lambda,T_v)$, kde $V(a,v)$ je tzv. Voigtova funkce s parametry $v=(\lambda-\lambda_0)/\Delta\lambda_D$ a parametrem $a$, charakterizujícím Lorentzovské rozšíření čáry (zvolte např. $a=1$). Voigtovu funkci aproximujte vztahem $V(a,v)\cong \frac{1}{\sqrt{\pi}}\left(\exp(-v^2)+\frac{a}{\sqrt{\pi}\left( v^2+a^2\right)}\right)$. Vysvětlete získané výsledky.

Úloha 10.10 Pro situaci popsanou v předcházejícím příkladě nakreslete závislost ekvivalentní šířky čáry na optické hloubce čáry.

Úloha 10.11 Hvězdy s hmotnostmi $M_1=0,5\,M_{\odot}$ a $M_2=2,0\,M_{\odot}$ obíhají po kruhových drahách kolem společného hmotné ho středu. Součet poloos obou drah je $a=2.0\,\mathrm{AU}$, inklinační úhel $i=\pi/6$. Nakreslete křivku radiálních rychlostí.

Úloha 10.12 V případě, že v dvojhvězdě přetéká hmota, je možné rychlost přenosu odhadnout vztahem $\dot M=\rho v A$, kde $\rho$ je hustota látky která přetéká z hvězdy o poloměru $R$ na druhou hvězdu průřezem o ploše $A$. Odhadneme-li plochu jako $A\cong\pi R d$, kde $d$ je tloušťka vrstvy, která přesahuje Rocheovu plochu a rychlost $v$ položíme rovnu tepelné rychlosti, pak rychlost přenosu hmoty je možné odhadnout

$$\dot M \cong\pi R d \rho \left(\frac{3kT}{m_{\mathrm{H}}}\rig ht)^{1/2},$$

kde $k$ je Boltzmannova konstanta, $T$ je teplota a $m_{\mathrm{H}}$ je hmotnost atomu vodíku. Pomocí programu STATSTAR vypočtěte závislost $\dot M$ na $d$ pro hvězdu o sluneční hmotnosti (viz. příklad  10.2).

Úloha 10.13 Pro teplotu akrečního disku platí vztah

$$T=\left(\frac{3GM\dot{M}}{8\pi\sigma R_{S}^{3}}\right)^{1/4} \left(\frac{R_S}{r}\right)^{3/4}\left[1-\left(\frac{R_S}{r}\right)^{1/2}\right]^{1 /4}.$$

Nakreslete průběh teploty v disku a pomocí Wienova zákona vlnovou délku, na které plyn vyzáří nejvíce energie pro černou díru A0620-00, která je složkou dvojhvězdy, s hmotností $3,82\,M_{\odot}$. Ve vztahu $R_S=2GM/c^2$ je Schwarzschildův poloměr, $\sigma$ konstanta Stefanova-Boltzmannova zákona. Graf nakreslete pro poloměr $r>3R_S$, nad kterým v případě nerotující černé díry existují stabilní dráhy hmotných částic.

Úloha 10.14 Určete zářivý výkon aktivní galaxie Cygnus A v rádiovém oboru pomocí zářivého toku uvedeného v tabulce, víte-li, že galaxie je vzdálena $250\,\mathrm{Mpc}$.

$\log\nu$	$\log F_{\nu}$		$\log\nu$	$\log F_{\nu}$
$[\mathrm{Hz}]$	[ $\mathrm{J}.\mathrm{m}^{-2}.\mathrm{Hz}^{-1}$]		$[\mathrm{Hz}]$	[ $\mathrm{J}.\mathrm{m}^{-2}.\mathrm{Hz}^{-1}$]
$7,0$	$-21,88$		$8,7$	$-22,38$
$7,3$	$-21,55$		$9,0$	$-22,63$
$7,7$	$-21,67$		$9,3$	$-22,96$
$8,0$	$-21,66$		$9,7$	$-23,43$
$8,3$	$-22,09$		$10,0$	$-23,79$