11. Závěrečná stadia vývoje hvězd



Úloha 11.1 Odvoďte vztah pro gravitační rudý posuv u bílého trpaslíka o hmotnosti $ M$ a poloměru $ R$.



Úloha 11.2 K ověření gravitačního rudého posuvu, relativistické dilatace času uvažujme následující zadání: Mějme dvoje hodiny, první ukazují čas $ T_1$ ve vzdálenosti $ R_1$ od středu níže uvedených kosmických těles o hmotnosti $ M$. Druhé hodiny ukazují čas $ T_2$ ve vzdálenosti $ R_2$. Pro poměr časů platí $ \displaystyle \frac{T_2}{T_1}=\left(\frac{1-\frac{2GM}{c^2R_2}}{1-\frac{2GM}{c^2R_1}}\right)^{1/2}$. Jaký poměr obou časů ukazují hodiny v případech, jestliže:
a) Jedny hodiny jsou umístěny na povrchu bílého trpaslíka, druhé ve velké vzdálenosti.
b) Jedny hodiny jsou umístěny na povrchu neutronové hvězdy, druhé ve velké vzdálenosti.
c) Jedny hodiny jsou umístěny ve vzdálenosti Schwarzschildova poloměru u tělesa o hmotnosti $ 3\,M_{\odot}$, druhé ve velké vzdálenosti.




Úloha 11.3 Odhadněte tepelnou a gravitační energii bílého trpaslíka s teplotou nitra $ 10^7\,\mathrm{K}$, hmotností $ 1\,M_{\odot}$, poloměru $ 0,01\,R_{\odot}$, zářivém výkonu $ 0,01\,L_{\odot}$ a celkovým počtem částic $ 10^{57}$ ve hvězdě. Určete předpokládanou dobu existence bílého trpaslíka.

Pokles zářivého výkonu bílého trpaslíka



Úloha 11.4 Odvoďte závislost poloměru bílého trpaslíka na hmotnosti za předpokladu nerelativistické degenerace $ p \sim \rho^{\frac{5}{3}}$.

Závislost mezi hmotností a poloměrem u bílých trpaslíků


Úloha 11.5 Radiální rychlosti hvězd, jak známo, určujeme pomocí Dopplerova jevu. Skupinové určování radiálních rychlostí bílých trpaslíků ukázalo na jejich systematické vzdalování střední rychlostí $ 38\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Co můžeme konstatovat o průměrné hmotnosti bílých trpaslíků, jestliže přijmeme jejich průměrný poloměr $ 7 700\,\mathrm{km}$?



Úloha 11.6 Určete teplotu nitra bílého trpaslíka se zářivým výkonem $ L = 0,03\,L_{\odot}$ o hmotnosti $ \,M_{\odot}$, $ X = 0$, $ Y = 0,9$, $ \mu = 1,4$.



Úloha 11.7 Odhadněte hustotu, při které nastává proces neutronizace, tedy slučování elektronů a protonů na neutrony podle reakce $ \mathrm{p}^+ + \mathrm{e}^- \rightarrow \mathrm{n} + \nu_{\mathrm{e}}$.



Úloha 11.8 Zářivý výkon Siria B je $ 0,022\,L_{\odot}$, efektivní povrchová teplota dosahuje $ 24 \,800 \,\mathrm{K}$, naměřená hodnota gravitačního rudého posuvu je $ z = 3 . 10^{ - 4}$. Určete hmotnost Siria B a jeho průměrnou hustotu. Stanovte teplotu nitra a dokažte, že elektrony se nacházejí ve stavu degenerace.



Úloha 11.9 Zářivý výkon hvězdy 40 Eri B je $ 0,017\,L_{\odot}$, efektivní teplota $ 17 \,000 \,\mathrm{K}$. Naměřená hodnota gravitačního rudého posuvu $ z = 6 . 10^{ - 5}$. Určete hmotnost tohoto bílého trpaslíka.




Úloha 11.10 Stanovte horní hranici poloměru pulsaru - neutronové hvězdy o hmotnosti $ 1,4\,M_{\odot}$, s periodou rotace $ 1,5 . 10^{ - 3}\,\mathrm{ s}$. Řešte v newtonovském přiblížení.



Úloha 11.11 Jeden z prvních objevených bílých trpaslíků 40 Eri B má efektivní povrchovou teplotu $ 17 \,000 \,\mathrm{K}$ a absolutní bolometrickou hvězdnou velikost $ 9,2\,\mathrm{mag}$. Nalezněte jeho poloměr.



Úloha 11.12 Neutronová hvězda vzniklá po výbuchu supernovy má v průběhu prvních 100 roků po vzniku povrchovou teplotu $ T$ větší než $ 2.10^6\,\mathrm{K}$. Na jaké vlnové délce leží maximum intenzity vyzařování předpokládáme-li, že vyzařuje jako černé těleso s výše uvedenou teplotou. Určete zářivý výkon, jestliže poloměr neutronové hvězdy je $ 10\,\mathrm{km}$.



Úloha 11.13 S využitím vztahu $ z=\frac{\Delta\lambda }{\lambda}=\frac{GM}{c^2 R}$ dokažte, že maximální hodnota rudého posuvu z pro záření z povrchu neutronové hvězdy je 0,14.



Úloha 11.14 Zjištěný časový rozdíl příchodu signálů z pulsaru v Krabí mlhovině PSR 0531+21 na frekvencích $ f_2=430\,\mathrm{MHz}$ a $ f_1=196\,\mathrm{ MHz}$ má hodnotu $ 4,796\,\mathrm{s}$. Určete vzdálenost pulsaru, jestliže hustota elektronů v mezihvězdném prostoru ve směru Krabí mlhoviny je $ n_{\mathrm{e }} = 2,8.10^4\,\mathrm{ m}^{ - 3}$.



Úloha 11.15 Určete hustotu elektronů v mezihvězdném prostoru ve směru pulsaru PSR 0901 - 63, jestliže na frekvencích $ f_2=405\,$MHz a $ f_1=234\,$MHz byl zjištěn časový rozdíl příchodu signálů $ 3,797\,$s. Vzdálenost pulsaru $ d = 3 000\,\pc$.



Úloha 11.16 Určete energii, kterou ztrácí pulsar - neutronová hvězda o hmotnosti $ 1,4\,M_{\odot}$ a poloměru $ R = 10\,\mathrm{km}$ v Krabí mlhovině každou sekundu při zmenšování úhlové rychlosti rotace prostřednictvím změny rotační energie. Je zadáno $ P = 0,033\,\mathrm{s}$ a $ \frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}t}=4.10^{-13}$.

Krabí mlhovina


Úloha 11.17 Pulsar v Krabí mlhovině má zářivý výkon $ 5 . 10^{ 31}\,\mathrm{ W}$, jeho perioda rotace $ P = 0,033\,\mathrm{s}$, hmotnost $ 1,4\,M_{\odot}$, $ R = 10\,\mathrm{km}$. Určete nárůst periody rotace a odhadněte stáří pulsaru.



Úloha 11.18 Určete velikost magnetické indukce magnetického pole pulsaru v Krabí mlhovině. Perioda rotace $ P = 0,033\,\mathrm{s}$, časová změna $ {\mathrm d}P/{\mathrm d}t = 4 . 10^{ - 13}$, $ \theta = 90^{\circ}$.



Úloha 11.19 Stanovte charakteristickou energii relativistických elektronů v Krabí mlhovině vyvolávajících v optickém oboru záření o vlnové délce $ \lambda = 600\,\mathrm{nm}$. Velikost magnetické indukce je $ 1 . 10^{-8}\,\mathrm{T}$. Střední energie vyzářených fotonů synchrotronovým mechanismem je $ \epsilon = 2,0 . 10^{ - 16}\,\mathrm{T}^{-1}.\mathrm{eV}$.

Schéma pulsaru
Schéma pulsaru


Úloha 11.20 Pulsar o zářivém výkonu $ 7,8 . 10^{29}\,\mathrm{W}$, hmotnosti $ 1,4\,M_{\odot}$ a poloměru $ R = 10\,\mathrm{km}$ má periodu rotace $ P = 0,089\,\mathrm{s}$. Určete nárůst periody rotace a jeho přibližné stáří.



Úloha 11.21 Zdroje rtg. záření v Galaxii se vyznačují zářivými výkony v intervalu ( $ 10^{26} - 10^{ 31})\,$W . Odhadněte lineární velikost zdrojů, jestliže vlnová délka maximální intenzity ve spojitém spektru je $ \lambda_m = 0,3\,\mathrm{nm}$, tudíž teplota dosahuje asi $ 10^7\,\mathrm{K}$. Jakou akreční rychlostí musí hmota padat na objekt, aby produkovala pozorovaný zářivý výkon?



Úloha 11.22 Určete velikost energie, kterou Krabí mlhovina vyzařuje a částečně spotřebuje na svoji expanzi, víte-li, že ztrátu $ E_{\mathrm{rot}}$ v důsledku zbržďování rotující neutronové hvězdy způsobené interakcí magnetického pole s plazmatickou obálkou můžeme vyjádřit vztahem $ \frac{{\mathrm d}E_{\mathrm{rot}}}{{\mathrm d}t}=I\omega\frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t}$. Fyzikální charakteristiky neutronové hvězdy jsou $ 1,4\,M_{\odot}$, $ R = 10\,\mathrm{km}$, $ \omega = 190,3\,\mathrm{s}^{ -1}$, $ \frac{{\mathrm d}\omega}{{\mathrm d}t}=-2,4.10^{-9}\,\mathrm{s}^{-2}$.



Úloha 11.23 Rtg. pulsary ve dvojhvězdách představují neutronové hvězdy, na které dopadá hmota. K takovým objektům patří rtg. pulsar Her X 1 s periodou $ P = 1, 24\,\mathrm{s}$, jehož zářivý výkon je $ L\cong 8. 10^{ 30}\,\mathrm{ W}$. Odhadněte rychlost akrece u tohoto pulsaru v  $ M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$. Údaje pro $ R = 1,5.10^4\,$m, $ M = 3 . 10^{ 30}\,$kg.



Úloha 11.24 Rtg. pulsar má periodu $ P = 3,61\,\mathrm{s}$ a zářivý výkon $ L_x = 3,8 . 10^{29}\,\mathrm{ W}$. Předpokládejme, že jde o neutronovou hvězdu o hmotnosti $ 1,4\,M_{\odot}$ a poloměru $ 10\,$km, s magnetickou indukcí na povrchu $ 10^8\,$T. Nalezněte $ {\mathrm d}P/{\mathrm d}t$ a hodnotu $ \frac{1}{P}\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}t}$. Můžeme rtg. pulsar vysvětlit jako rádiový?



Úloha 11.25 Porovnejte velikost maximálního úhlového momentu hybnosti černé díry o hmotnosti $ 1,4\,M_{\odot}$ s velikostí úhlového momentu hybnosti následně uvedeného pulsaru. Z dosud nám známých pulsarů je nejrychleji rotujícím pulsar s periodou $ P = 0,00156\,$s, hmotností $ 1,4\,M_{\odot}$ a poloměrem $ 10\,$km.