Proměnné hvězdy - řešení

Řešení úlohy 9.1
Nejprve určíme zářivý výkon ${\text{log}\frac{L}{L_{\odot}}=\frac{4,75+5}{2,5}=3,9}$, dále platí
$\frac{R}{R_{\odot}}=\left(\frac{L}{L_{\odot}}\right)^{{\frac{1}{2}}}\left(\frac{T_{{{\text{ef}}}}}{T_{{{\text{ef}\odot}}}}\right)^{{-2}}\cong560$.

Řešení úlohy 9.2
Dosadíme do Pogsonovy rovnice ${\frac{{{\phi}}_{{1}}}{{{\phi}}_{{2}}}=2,512^{{\left(m_{{2}}-m_{{1}}\right)}}\cong 480}$.

Řešení úlohy 9.3
Pro úhlový poloměr platí vztah ${{{\alpha}}=\frac{R}{r}}$, odtud ${R={{\alpha}r}}$. Dosazením pro poloměr v maximu jasnosti obdržíme ${R_{{\text{max}}}=4\cdot10^{{11}}} \mathrm{m}=570 R_{\odot}$ a v minimu jasnosti
${R_{{\text{min}}}=8\cdot10^{{{11}}}} \mathrm{m}= 1140 R_{\odot}$.

Řešení úlohy 9.4
Lze předpokládat závislost periody $P\sim G, \rho, R$. Platí ${P}\sim {G^{{x}}{{\rho}}^{{y}}R^{{z}}}$, rozměr jednotlivých parametrů je $[ P] =$   s, $[G] = \mathrm{m}^3.$kg$^{-1}.$s$^{-2}$, $[\rho] = \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $[R]=\mathrm{m}$. Porovnáním rozměrů levé a pravé části vztahu obdržíme s$=\mathrm{m}^{3x}.$kg$^{-x}.$s$^{-2x}.$   kg$^y.$m$^{-3y}.\mathrm{m}^z$. K platnosti rozměrové rovnice musí být splněny algebraické rovnice

$$[ ]\qquad1 =-2 x,$$

$$[\mathrm{m}]\qquad0 =3x- 3 y + z,$$

$$[ ]\qquad0 =-x+y$$

Jejich řešením dostaneme ${x=-{\frac{1}{2}}}$, ${y=-{\frac{1}{2}}}$, ${z=0}$. Po úpravě a dosazení získáme závislost pro základní periodu radiálních pulsací hvězd $P\sim{\left({G{\rho}}\right)^{{-{\frac{1}{2}}}}}$. Perioda nezávisí na poloměru R hvězdy.

Řešení úlohy 9.5
Předpokládejme, že v atmosféře hvězdy převládá látka složená z neutrálních atomů. Pro střední kvadratickou rychlost atomů platí ${v_{{{\text{kvad}}}}=\sqrt{\frac{3kT}{{{\mu}}}}}$, kde $T$ je teplota a ${{{\mu}}}$ hmotnost atomů, teplotou rozumíme efektivní povrchovou teplotu hvězdy. Druhá kosmická rychlost ${v_{{2}}=\sqrt{\frac{2GM}{R}}}$, kde $M$ je hmotnost hvězdy a $R$ její poloměr. Poměr uvedených rychlostí je ${\frac{v_{{{\text{kvad}}}}}{v_{{2}}}=\sqrt{\frac{3kTR}{2GM{{\mu}}}}=\sqrt{\frac{3k}{2GM{{\mu}}}{TR}}={\text{konst}}\text{.}}$ Hmotnost hvězdy i neutrálních atomů se nemění, proto platí $T.R={\text{konst}}\text{.}$, součin teploty a poloměru hvězdy je stálý. Nechť ${T_{{1}}}$ a ${R_{{1}}}$ jsou teplota a poloměr proměnné hvězdy v maximu jasnosti, ${T_{{2}}}$ a ${R_{{2}}}$ analogicky teplota a poloměr v minimu jasnosti. V obou případech teplota odpovídá efektivní povrchové teplotě. Po dosazení do Pogsonovy rovnice obdržíme ${m_{{2}}-m_{{1}}=-2,5\log\frac{R_{{2}}^{{2}}T_{{2}}^{{4}}}{R_{{1}}^{{2}}T_{{1}}^{{4}}}=-2,5\log\frac{R_{{1}}^{{2}}}{R_{{2}}^{{2}}}=1}$, odtud je poměr poloměrů ${\frac{R_{{1}}}{R_{{2}}}=\text{10}^{{-0,2}}=0,\text{63}}$. V úlohách v této kapitole lze nahradit rozdíl absolutních bolometrických hvězdných velikostí rozdílem z pozorování přímo zjištěných pozorovaných hvězdných velikostí.

Řešení úlohy 9.6
Z uvedených charakteristik spočítáme průměrnou hustotu a dosadíme do uvedeného vztahu $P\cong {\left({G{\rho}}\right)^{{-{\frac{1}{2}}}}}$. Obdržíme u bílého trpaslíka ${{{\rho}}=4.\text{10}^{{8}}} \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $P = 6,2$s, u hvězdy typu ${\delta}$ Cephei ${{{\rho}}=1,9.10^{{-2}}} \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $P = 10,3$dne a u miridy ${{{\rho}}=3,1.\text{10}^{{-5}}} \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $P = 254,6$dne.

Řešení úlohy 9.7
Dosadíme číselně do uvedeného vztahu ${{{\Delta}m}_{\text{b}}=-2,17\frac{1}{40}+4,34\frac{1000}{5300}} = 0,77 \mathrm{mag}$.

Řešení úlohy 9.8
Platí aplikace Stefanova-Boltzmannova zákona ${L_{{\text{max}}}=4{{\pi}R}_{{\text{min}}}^{{2}}{{\sigma}T}_{{{\text{ef}} \text{max}}}^{{4}}}$ a
${L_{{\text{min}}}=4{{\pi}R}_{{\text{max}}}^{{2}}{{\sigma}T}_{{{\text{ef}} \text{min}}}^{{4}}}$, dále ${{{\Delta}m}=-2,5\log\frac{L_{{\text{min}}}}{L_{{\text{max}}}}=-5\log\frac{R_{... ...n}}}}{R_{{\text{max}}}}-\text{10}\log\frac{T_{{\text{min}}}}{T_{{\text{max}}}}}$. Dostáváme
${\log\frac{R_{{\text{min}}}}{R_{{\text{max}}}}=-0,2 {{\Delta}m}-2\log\frac{T_{{\text{min}}}}{T_{{\text{max}}}}}$, po dosazení ${\log\frac{R_{{\text{min}}}}{R_{{\text{max}}}}=-0,24}$ ${\Rightarrow }$ ${R_{{\text{min}}}=0,57 R_{{\text{max}}}}$.

Řešení úlohy 9.9
Nejprve určíme z uvedeného vztahu absolutní hvězdnou velikost
${M=-2,76\log T_{{{\text{dny}}}}-1,37} = -3,38 \mathrm{mag}$. Vzdálenost stanovíme dosazením do vztahu $r={10}^{{\frac{m-M}{5}+1}}= {{10}^{{2,46}}}= 285 \pc$.

Řešení úlohy 9.10
Nejprve určíme z uvedeného vztahu absolutní hvězdnou velikost
$M=-2,76\log T_{{{\text{dny}}}}-1,37 = - 4,13 \mathrm{mag}$. Vzdálenost stanovíme dosazením do vztahu $r={10}^{{\frac{m-M}{5}+1}}= {10}^{{4,68}}= 48$kpc.

Řešení úlohy 9.11
Pro vzdálenost platí ${r=\text{10}^{{\frac{m_{\text{v}}-M_{\text{v}}}{5}+1}}}$, dále obdržíme ${\frac{{{\Delta}r}}{r}=-0,\text{46} {{\Delta}M}_{\text{v}}}$.

Řešení úlohy 9.12
V prvním případě platí $m_{\mathrm{bol}}=-$10$\log\frac{T_{{\text{min}}}}{T_{{\text{max}}}}$, odtud po dosazení obdržíme
$\log T_{{\text{min}}}=3,55$, $T_{{\text{min}}}= 3 550 \mathrm{K}$. V druhém případě platí ${\log\frac{R_{{\text{min}}}}{R_{{\text{max}}}}=-0,2 {{\Delta}m_{\mathrm{bol}}}}$, tedy
${\frac{R_{{\text{min}}}}{R_{{\text{max}}}}=0,63}$.

Řešení úlohy 9.13
Pro vzdálenost $r$ platí vztah ${r=\frac{9,305{{\Delta}R}}{{{\Delta}{\theta}}}}$, kde $r$ je v pc, změna poloměru $R$ v $R_{\odot}$ a změna úhlového poloměru ${{{\theta}}}$ v mas. Dosazením obdržíme $r= 354$pc.

Řešení úlohy 9.14
Pro vzdálenost $r$ platí vztah ${r=\frac{9,305{{\Delta}R}}{{{\Delta}{\theta}}}}$, odtud ${{{\Delta}R}=\frac{{{\Delta}{\theta} r}}{9,305}}$, dosazením obdržíme ${{{\Delta}R}} = 2,3 R_{\odot}$, což odpovídá stanovenému poměru ${\frac{R_{{\text{max}}}}{R_{{\text{min}}}}=1,119}$.

Řešení úlohy 9.15
Dosadíme do vztahu ${\frac{1}{{{\Pi}}}=\frac{1}{P_{{2}}}-\frac{1}{P_{{1}}}}$ vyjádříme ${P_{{2}}}$ a dosazením obdržíme ${P_{{2}}} = 0,466$dne.

Řešení úlohy 9.16
Dosadíme do vztahu ${\frac{1}{{{\Pi}}}=\frac{1}{P_{{2}}}-\frac{1}{P_{{1}}}}$ a určíme vyjádříme ${{{\Pi}}}$ = 5,248 dne.

Řešení úlohy 9.17
Při $t = 0$, ${j\left(0\right)=3,90} \mathrm{mag}$, $t = 1$, ${j\left(1\right)=4,22} \mathrm{mag}$, $t =2$, ${j\left(2\right)=4,15} \mathrm{mag}$.

Řešení úlohy 9.18
Dosadíme do vztahu ${\log R=a+b\log P}$, odkud obdržíme $R = 70 R_{\odot}$, což je ve velmi dobré shodě s hodnotou, kterou bychom dostali Baadeovou-Wesselinkovou metodou, viz úloha 13.

Řešení úlohy 9.19
Perioda ${P} = 3,0$dne$= 2,6.10^{5}$s, ${{{\omega}}=\frac{2{{\pi}}}{P}=2,4.\text{10}^{{-5}}} \text{rad}.\text{s}^{-1}$. Zavedeme $\frac{I_{{1}}}{I_{{0}}}={{\alpha}}=0,90$ a ${\frac{I_{{2}}}{I_{{0}}}={{\beta}}=0,63}$, odtud platí $\frac{I_{{0}}}{I_{{1}}}=1+\left(\frac{R_{{2}}}{R_{{1}}}\right)^{{2}}\left(\frac{T_{{2}}}{T_{{1}}}\right)^{{4}}=\frac{1}{{{\alpha}}}$ a $\frac{I_{{2}}}{I_{{1}}}=1-\left(\frac{R_{{2}}}{R_{{1}}}\right)^{{2}}\left[1-\left(\frac{T_{{2}}}{T_{{1}}}\right)^{{4}}\right]=\frac{{{\beta}}}{{{\alpha}}}$. Po úpravách obdržíme ${\frac{R_{{1}}}{R_{{2}}}=\sqrt{\frac{{{\alpha}}}{1-{{\beta}}}}=1,6}$ a ${\frac{T_{{1}}}{T_{{2}}}=\sqrt[{{4}}]{\frac{1-{{\beta}}}{1-{{\alpha}}}}=1,4\text{.}}$

Řešení úlohy 9.20
Platí Dopplerův vztah ${\frac{{{\Delta}{\lambda}}}{{{\lambda}}_{{0}}}=\frac{v}{c}}$. Maximální a minimální vlnové délky jsou
${{{\lambda}}_{{1\text{max}}}=589,77} \mathrm{nm}$, ${{{\lambda}}_{{1\text{min}}}=589,41} \mathrm{nm}$ a ${{{\lambda}}_{{2\text{max}}}=589,90} \mathrm{nm}$, ${{{\lambda}}_{{2\text{min}}}=589,28} \mathrm{nm}$. Rozdíly
${{{\Delta}{\lambda}}_{{1}}=0,36} \mathrm{nm}$ a ${{{\Delta}{\lambda}}_{{2}}=0,62} \mathrm{nm}$. Odtud získáme $v_{{1}}=c\frac{{{\Delta}{\lambda}}_{{1}}}{2{{\lambda}}_{{0}}}=9,2.10^4 \mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ a $v_{{2}}=c\frac{{{\Delta}{\lambda}}_{{2}}}{2{{\lambda}}_{{0}}}=1,6.10^5 \mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Pro poměr hmotností ${\frac{M_{{1}}}{M_{{2}}}=\frac{v_{{2}}}{v_{{1}}}=1,7}$. Platí ${r=\frac{v}{{{\omega}}}}$, určíme ${r_{{1}}=3,8.{10}^{{9}}} \mathrm{m}$ a ${r_{{2}}=6,5.{10}^{{9}}} \mathrm{m}$, ${r=r_{{1}}+r_{{2}}=\text{10}^{{\text{10}}}} \mathrm{m}$. Hmotnosti jednotlivých hvězd stanovíme ze vztahu ${G\frac{M_{{1}}M_{{2}}}{r^{{2}}}=M_{{1}}\frac{v_{{1}}^{{2}}}{r_{{1}}}}$ a obdobně pro druhou složku. Získáme ${M_{{1}}=\frac{r^{{2}}v_{{2}}^{{2}}}{{{Gr}}_{{2}}}}$ a ${M_{{2}}=\frac{r^{{2}}v_{{1}}^{{2}}}{{{Gr}}_{{1}}}}$, dosazením ${M_{{1}}=6.\text{10}^{{{30}}}} \text{kg}$ a ${M_{{2}}=3.{10}^{{{30}}}}$kg.

Řešení úlohy 9.21
Analýzou časových údajů v J.D. nalezneme periodu $P = 3,68713$dne.

Řešení úlohy 9.22
Analýzou časových údajů v J.D. nalezneme periodu $P = 1,471625$dne.

Řešení úlohy 9.23
Amplitudy změn jasnosti při zákrytu hvězdy s menším poloměrem za s větším poloměrem a naopak při průchodu hvězdy s menším poloměrem před s větším jsou stejné a lze je popsat vztahem ${{{\Delta}m}=-2,5\log\frac{R_{{v}}^{{2}}}{R_{{v}}^{{2}}+R_{{m}}^{{2}}}=-2,5\log\frac{{10}^{{-0,4M_{{v}}}}}{{10}^{-0,4M_{{v}}}{+{10}^{-0,4M_{{m}}}}}}$, kde ${R_{{v}}}$ a ${R_{{m}}}$ jsou poloměry větší a menší hvězdy, ${M_{{v}}}$ a ${M_{{m}}}$ jejich absolutní hvězdné velikosti. Při stejných teplotách obou hvězd je větší jasnější. Maximální amplituda změn jasnosti zákrytové proměnné nastane tehdy, jestliže druhá hvězda bude mít stejný poloměr a absolutní hvězdnou velikost jako hvězda první. Amplituda je rovna ${{{\Delta}m}_{{1}}=-2,5\log\left(\frac{1}{2}\right)=0,753} \mathrm{mag}$, soudobá fotometrická technika umožňuje určovat jasnosti na tři desetinná čísla.

Minimální amplituda změn jasnosti při centrálním zákrytu nastane při maximálním rozdílu poloměrů a absolutních hvězdných velikostí. Nechť druhá složka se vyznačuje malým poloměrem a nízkou jasností. Například jde o hvězdu hlavní posloupnosti slunečního typu, s absolutní hvězdnou velikostí 5mag, podtrpaslíka s absolutní hvězdnou velikostí 6mag, respektive bílého trpaslíka s nízkou jasností. První složkou může být veleobr Ia o absolutní hvězdné velikosti $-$8mag. Proto minimální amplituda změn jasností zákrytové proměnné je rovna ${{{\Delta}m}_{{2}}=-2,5\log\frac{{10}^{{0,4.8}}}{{10}^{{0,4.8}}+{10}^{{0,4.0}}}=0,0007} \mathrm{mag}$. Tato veličina je podstatně menší než měřitelné možnosti soudobé fotometrie. Proto existují zákrytové proměnné, jejichž změnu jasnosti fotometricky nemůžeme zjistit, minimální detekovaná amplituda je nulová.

Řešení úlohy 9.24
Stejné hlavní a vedlejší minimum zákrytové proměnné znamenají, že obě složky mají stejnou jasnost, tudíž shodné efektivní povrchové teploty. Označíme ${R_{{v}}}$ a ${R_{{m}}}$ poloměry větší a menší hvězdy, pro velikost minim platí ${{{\Delta}m}=-2,5\log\frac{{{\pi}R}_{{v}}^{{2}}}{{{\pi}R}_{{v}}^{{2}}+{{\pi}R}_{{m}}^{{2}}}=2,5\log\left(1+\frac{R_{{m}}^{{2}}}{R_{{v}}^{{2}}}\right)}$. Odtud nalezneme poměr poloměrů hvězd ${\frac{R_{{m}}}{R_{{v}}}=\sqrt{{10}^{{0,4{{\Delta}m}}}-1}=0,45}$. Z podmínky shodných hustot můžeme určit poměr jejich hmotností ${\frac{M_{{m}}}{M_{{v}}}=\left(\frac{R_{{m}}}{R_{{v}}}\right)^{{3}}=0,091=\frac{1}{11}}$.

Minima nastávají za stejné časové intervaly, tudíž dráhy obou složek jsou kruhové, oběžná doba je 60 dnů. Při centrálním zákrytu můžeme stanovit z pozorování čáry H$_{\alpha}$ rychlost hvězd. Platí ${v=c\frac{{{\Delta}{\lambda}}}{{{\lambda}}}=91,4} \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Odtud stanovíme vzdálenost mezi hvězdami ${a=\frac{{{vT}}}{2{{\pi}}}}= 7,5.10^7$km$= 0,5 \mathrm{AU}$. Znalost velké poloosy umožňuje určení součtu hmotností obou složek ${M_{{v}}+M_{{m}}=\frac{a^{{3}}}{T^{{2}}}=4,6}$ a odtud ${M_{{v}}=4,2} M_{\odot}$ a ${M_{{m}}=0,4} M_{\odot}$.

Řešení úlohy 9.25
Vyjdeme ze vztahu ${\frac{L_{{A}}}{L_{{B}}}=\frac{4{{\pi}R}_{{A}}^{{2}}{{\sigma}T}_{{A}}^{{4}}}{4... ...}^{{2}}{{\sigma}T}_{{B}}^{{4}}}={16}\left(\frac{R_{{A}}}{R_{{B}}}\right)^{{2}}}$ a $-2,5=-2,5\log\frac{L_A+L_B}{L_B}$, odkud ${\frac{L_{{A}}}{L_{{B}}}=9}$. Při numerickém dosazení dostáváme ${\frac{R_{{A}}}{R_{{B}}}=0,75}$.

Řešení úlohy 9.26
Platí vztahy ${\frac{t_{{4}}-t_{{1}}}{P}=\frac{R_{{v}}+R_{{m}}}{{{\pi}r}}}$, ${\frac{t_{{3}}-t_{{2}}}{P}=\frac{R_{{v}}-R_{{m}}}{{{\pi}r}}}$, ${2{{\pi}r}={{Pv}}}$. Z posledního vztahu obdržíme ${r=\frac{{{Pv}}}{2{{\pi}}}}$= ${8.{10}^{{9}}} \mathrm{m}$, $R_v=7,9.10^9 \mathrm{m}$, $R_m=5,0.10^9 \mathrm{m}$.

Řešení úlohy 9.27
Řešíme rovnice ${\frac{t_{{4}}-t_{{1}}}{P}=\frac{R_{{v}}+R_{{m}}}{{{\pi}r}}}$, ${\frac{t_{{3}}-t_{{2}}}{P}=\frac{R_{{v}}-R_{{m}}}{{{\pi}r}}}$, odkud získáme ${R_{{v}}=0,135} r$ a $R_{{m}}=0,077 r$.

Řešení úlohy 9.28
Nejprve určíme ${a=\frac{0,0406}{\sin i}=6,15.{10}^{{9}}} \mathrm{m}$. Dále platí ${M_{{1}}+M_{{2}}=\frac{a^{{3}}}{P^{{2}}}\frac{4{{\pi}}^{{2}}}{G}}$,
${M_{{1}}+M_{{2}}=1,9.{10}^{{{29}}} {\text{kg}}}$. Platí ${\frac{K_{{1}}}{K_{{2}}}=\frac{M_{{2}}}{M_{{1}}}}$, odtud ${M_{{1}}=0,058} M_{\odot}$, ${M_{{2}}=0,037} M_{\odot}$. Parametr ${q}= {\frac{M_{{2}}}{M_{{1}}}}= 0,631$, následně ${a_{{1}}=\frac{q}{1+q} a}$, dále ${a_{{2}}=\frac{1}{1+q} a}$. Po dosazení obdržíme ${a_{{1}}=2,36.{10}^{{9}}} \mathrm{m}$, ${a_{{2}}=3,73.10^{{9}}} \mathrm{m}$.

Řešení úlohy 9.29
Střední oběžná rychlost první složky je $v_{{1}}=c\left(\frac{{{\Delta}{\lambda}}}{{{\lambda}}}\right)_{{1}}=57 \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, druhé složky je $v_{{2}}=c\left(\frac{{{\Delta}{\lambda}}}{{{\lambda}}}\right)_{{2}}=87 \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Velikost ${a_{{1}}=\frac{v_{{1}}}{2{{\pi}}}P} = {3,1.{10}^{{6}}}$km, ${a_{{2}}=\frac{v_{{2}}}{2{{\pi}}}P}= {4,7.{10}^{{6}}}$km. Dále platí ${a=a_{{1}}+a_{{2}}=7,8.{10}^{{6}}}$km. Dosazením do III. Keplerova zákona a úpravou získáme ${M_{{1}}+M_{{2}}=\frac{a^{{3}}}{P^{{2}}}\frac{4{{\pi}}^{{2}}}{G}}$, odkud po dosazení ${M_{{1}}+M_{{2}}=2,4.{10}^{{{30}}}}$kg$= 1,2 M_{\odot}$. Při platnosti ${M_{{1}}a_{{1}}=M_{{2}}a_{{2}}}$ obdržíme ${M_{{1}}} = 0,7 M_{\odot}$ a ${M_{{2}}} = 0,5 M_{\odot}$.