Astrofyzikální metody - řešení

Řešení úlohy 1.1
Vycházíme ze vztahu pro difrakci na kruhovém otvoru, Besselova funkce I. řádu má nulovou hodnotu pro , proto platí $\frac{1}{2}kD\sin\Theta=3,84$ . Po dosazení za $k=2\pi/\lambda$ dostáváme $\sin\Theta=\frac{3,84}{\pi}\frac{\lambda}{D}$ a odtud pro malé úhly při úpravě $\sin\Theta=1,22\lambda/D$ , tedy $\Theta=1,22\lambda/D$ .

Řešení úlohy 1.2
Předpokládáme $\lambda = 550\,\mathrm{nm}$ , $D\cong2\,\mathrm{mm}$ . $\Theta=1,22\lambda/D = 1,22\frac{550.10^{-9}}{2.10^{-3}}= 3,4.10^{- 4}\,\mathrm{rad} = 69'' \cong 1'$ . Reálná hodnota je zhruba .

Řešení úlohy 1.3
$\Theta=1,22\lambda/D= 6,2 . 10^{ -8}\,\mathrm{rad} = 0,0127''$ . Pod tímto úhlem bychom pozorovali minci o nominální hodnotě 20 Kč ze vzdálenosti $400\,\mathrm{km}$ .

Řešení úlohy 1.4
$\Theta=1,22\lambda/D= 2,4.10^{-7}\,\mathrm{rad}$ . Úhlová vzdálenost mezi hvězdami převyšuje 4krát limitní hodnotu, použitým dalekohledem lze obě hvězdy rozlišit.

Řešení úlohy 1.5
Vlnová délka je $\lambda=c/f=0,75\,\mathrm{m}$ . Dosazením do $\Theta=1,22\lambda/D= 3 .10^{-3}\,\mathrm{rad}$ . K rozlišení obou hvězd na této vlnové délce bychom potřebovali 3000krát větší rozlišení. Toho lze dosáhnout sdružením rádiových teleskopů na vzdálenosti řádově tisíce kilometrů.

Řešení úlohy 1.6
Dosadíme do vztahu $\Theta=1,22\lambda/D= 4,7.10^{-7}\,\mathrm{rad}\cong 1''$ . Teoreticky uvažovaný rádiový teleskop se stejnou rozlišovací schopností by musel mít průměr $D =10^7\,\mathrm{m}$ , což je technicky nemožné. Proto jsou používány interferometrické soustavy rádiových teleskopů.

Řešení úlohy 1.7
Pozorovaný úhlový průměr je $\Theta=\frac{d}{r}=\frac{6794}{55.10^6} = 1,2.10^{-4}\,\mathrm{rad}\cong25''$ . Při ohniskové vzdálenost $f = 2,8\,\mathrm{m}$ je obraz velký $\Theta f= 0,3\,\mathrm{mm}$ .

Řešení úlohy 1.8
Platí $\Theta=d/r= 4.10^{-8}\,\mathrm{rad} = 0,0086''$ . Hubbleovým kosmickém dalekohledem nelze pozorovat kotouček hvězdy, neboť jeho rozlišovací schopnost je $\Theta=1,22\lambda/D=2,8.10^{-7}\,\mathrm{rad}$ .

Řešení úlohy 1.9
Perihéliová vzdálenost od Slunce je $r = a (1 - e) = 29,6\,\mathrm{AU}$ , vzdálenost od Země je $28,6.1,5.10^{11}\,\mathrm{m} = 4,3 . 10^{ 12}\,\mathrm{m}$ . Dosadíme do vztahu $\Theta=\frac{d}{r}=\frac{19,6.10^3\,\mathrm{km}} {28,6.1,5.10^8\,\mathrm{km}} = 4,6. 10^{-6}\,\mathrm{rad}= 0,9''$ . Toto rozlišení je dosažitelné jen při velmi dobrých pozorovacích podmínkách, kvalitním seeingu. Ke stanovení průměru dalekohledu využijeme vztah $D=1,22\lambda/\Theta = 0,13\,\mathrm{m}$ .

Řešení úlohy 1.10
Vzdálenost hvězdy je $r=1/\pi=250\,\mathrm{pc}$ . Při stejné spektrální třídě jako Slunce můžeme předpokládat obdobnou hmotnost. Dále určíme velikost velké poloosy dráhy planety $a=T^{2/3}= 16\,\mathrm{AU}$ . Ze vzdálenosti $1\,\pc$ bychom pozorovali velkou poloosu dráhy $16\,\mathrm{AU}$ pod úhlem , tedy ze vzdálenosti $250\,\pc$ pod úhlem . Rozlišovací schopnost dalekohledu je $\Theta=1,22\lambda/D= 0,01''$ , planetu můžeme pozorovat.

Řešení úlohy 1.11
Průměr hvězdokupy je $d=\theta r=\frac{23.60}{206265}.7,2.10^{3}=50\,\mathrm{pc}$ . Počet hvězd tvořících hvězdokupu je $N=4\pi r^2F_\mathrm{bol}/L_{\odot}=4.10^5$ .

Řešení úlohy 1.12
Dosazením do vztahu $r=10^{0,2\left(m-M+5\right)}$ obdržíme $r = 2\,500\,\mathrm{pc} = 2,5\,\mathrm{kpc}$ .

Řešení úlohy 1.13
Pro závislost mezi velikostí obrazu objektu v ohniskové rovině dalekohledu, ohniskovou vzdáleností a úhlovou velikostí objektu $\Theta$ na obloze platí $d = f \Theta$ , kde $\Theta$ je vyjádřené v radiánech. Dosazením obdržíme $\Theta=d/f=1,3.10^{-6}\,\mathrm{rad}= 0,275''\,\mathrm{pixel}^{-1}$ . Pro celý čip obdržíme .

Řešení úlohy 1.14
Na jeden čip připadá $\Theta=d/f=4,8.10^{-7}\,\mathrm{rad}=0,1''$ . Celkové pole detektoru je , tedy Hubbleův kosmický dalekohled můžeme k pozorování této galaxie použít.

Řešení úlohy 1.15
Poměr $\frac{S}{N}=\frac{C_\mathrm{obj}}{\left(C_\mathrm{obj}+2C_\mathrm{obl}\right)^{1/2}}= \frac{8000}{109,54}=73$ . Platí závislost $S/N\approx t^{1/2}$ , tedy požadovaný poměr bude dosažen při expozici $t = 10\,\mathrm{s}$ .

Řešení úlohy 1.16
Reciproční lineární disperze je dána vztahem $\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}x} =\frac{d\cos\theta}{f_2m}$ . Při užití mřížky k pozorování světla o vlnové délce $\lambda$ je záměrný úhel $\theta$ určen: $d\sin\theta =m\lambda \Rightarrow\sin\theta= m\lambda/d$ , $\cos\theta=\left(1-\sin^2\theta\right)^{1/2} =\left[1-\left(\frac{m\lambda}{d}\right)^2\right]^{1/2}$ . Dosazením za $\cos\theta$ obdržíme $\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}x} =\frac{d}{f_2m} \left[1-\left(\frac{m\lambda}{d}\right)^2\right]^{1/2}$ . Numerickým dosazením obdržíme $\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}x}=80\,\mathrm{\AA}/\mathrm{mm}$ . Vyjádříme vše v jednotkách Å/pixel, šířka pixelu je $a = 15\,\mu\mathrm{m}$ , což znamená, že $1\,\mathrm{mm} = 1/a$ pixelů. Reciproká lineární disperze je v Å/pixel $\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}\left(\mathrm{pix}\right)}=a\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}x}= 1,2\,\mathrm{\AA/pixel}$ . Jestliže rozlišení je určováno výhradně šířkou štěrbiny, pak dostáváme $\Delta x=s'=s f_2/f_1=50.20/50=20\,\mu\mathrm{m}$ . Převedení na spektrální rozlišení v Å realizujeme vynásobením reciproční lineární disperzí $W_\lambda=\Delta x\frac{\mathrm{d}\lambda}{\mathrm{d}x}= 1,6\,\mathrm{\AA}$ . Tudíž rozlišovací prvek je $\Delta x= 20\,\mu\mathrm{m}$ , pixel má velikost $a = 15\,\mu\mathrm{m}$ . Rozlišovací prvek pokrývá méně než 2 pixely, tudíž není vhodným.

Řešení úlohy 1.17
Výpočtem stanovíme vlnovou délku $\lambda=hc/E=0,21\,\mathrm{m}$ . Vhodným detekčním přístrojem je rádiový teleskop pracující na vlnových délkách řádově desítek cm, např. v Effelsberku v Německu.

Řešení úlohy 1.18
Známe $T = 210\,\mathrm{K}$ , $\lambda = 0,03\,\mathrm{m}$ , $\Theta = 8,72.10^{-5}\,\mathrm{rad}$ . Dosadíme do vztahu $S_\nu=B(\nu)\Omega=\frac{2kT}{\lambda^2}\left(\pi\frac{\Theta^2}{4}\right)= 3,8.10^{-26}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Hz}^{-1}$ .

Řešení úlohy 1.19
Platí převodní vztah $1\,\mathrm{Jy} = 10^{ -26}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Hz}^{-1}$ . Celkový zářivý výkon je dán vztahem $L=4\pi r^2S=6,5.10^4\,\mathrm{W}\,\mathrm{Hz}^{-1}$ .

Řešení úlohy 1.20
$S_\mathrm{min}=\frac{2kT_\mathrm{ant}}{P\left(\tau\Delta \nu\right)^{1/2}}= 1,4.10^{-29}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}\,\mathrm{Hz}^{-1}$ .

Řešení úlohy 1.21
Úhrnná plocha všech rádiových teleskopů je $1,3.10^4\,\mathrm{m}^2$ . Dále platí vztah $P=S(\nu)A\Delta\nu= 1.10^{-26}.1,3.10^4.10^7 = 1,3.10^{-15}\,\mathrm{J}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Vzhledem k době pozorování $30\,\mathrm{roků} = 9,47.10^8\,\mathrm{s}$ je celková detekovaná energie $1,2.10^{-6}\,\mathrm{J}$ .

Řešení úlohy 1.22
Ze vztahu $\frac{S}{N}=\frac{\Delta T}{T_\mathrm{sys}}\left(\Delta\nu\tau\right)^{1/2}$ určíme integrační čas $\tau = 8,68.10^6\,\mathrm{s} = 100\,\mathrm{dnů}$ .

Řešení úlohy 1.23
$F_\mathrm{x}=L_\mathrm{x}/\left(4\pi r^2\right)= 8,4 . 10^{ -19}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$ . Celkové množství energie zachycené během expoziční doby je $W_\mathrm{x}=F_\mathrm{x}St= 3,3 . 10^{ -14}\,\mathrm{J}$ . Při průměrné energii $W_\mathrm{ef} = 5\,\mathrm{keV} = 8 . 10^{-16}\,\mathrm{J}$ je počet detekovaných fotonů $N_\mathrm{x}=W_\mathrm{x}/W_\mathrm{f}= 42$ .

Řešení úlohy 1.24
Absolutní hodnota rozdílu původně historicky naměřené a současné správné paralaxy, podělená správnou současnou hodnotou určuje relativní chybu měření. U Vegy byla přesnost měření $\left\vert\frac{0,004}{0,129}\right\vert.100= 3,1\,\%$ , u 61 Cygni $\left\vert\frac{0,027}{0,314}\right\vert .100 = 8,6\,\%$ a u $\alpha$ Cen A = $\left\vert\frac{0,418}{0,742}\right\vert.100=56,3\,\%$ . Nejpřesnější měření tak provedl V. J. Struve a nejméně přesná T. Henderson.

Řešení úlohy 1.25
Laboratorní vlnová délka čáry K Ca II je $\lambda_\mathrm{l} = 393,4\,\mathrm{nm}$ . Dosazením do vztahu $z=v/c=\left(\lambda_\mathrm{p}-\lambda_\mathrm{l}\right)/\lambda_\mathrm{l}=0,04$ stanovíme $v = 0,04c\Rightarrow v=1,2.10^{4}\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Vzdálenost galaxie určíme z Hubbleova zákona $r=v/H=160\,\mathrm{Mpc}=1,6.10^8\,\pc$ . Úpravou vztahu pro modul vzdálenosti obdržíme $m_B = M_B + 5\log r - 5 = 16,5\,\mathrm{mag}$ . Pro limitní hvězdnou velikost dalekohledu o průměru v mm platí vztah $m_B = 2,5 + 5\log D$ . Dosazením získáme $D = 631\,\mathrm{mm} = 63,1\,\mathrm{cm}$ , tudíž dalekohled o průměru $70\,\mathrm{cm}$ je postačující pro pozorování supernovy.

Řešení úlohy 1.26
Pro hustotu zářivého toku platí $F_\mathrm{vně}=F_\mathrm{vni}\mathrm{e}^{-\tau}$ , což lze vyjádřit prostřednictvím zářivého výkonu $L_\mathrm{vně}=L_\mathrm{vni}\mathrm{e}^{-\tau}$ . Rozvedeno $L_\mathrm{roz}=L_\mathrm{vni}-L_\mathrm{vně} =L_\mathrm{vni}-L_\mathrm{vni}\mathrm{e}^{-\tau}=L_\mathrm{vni}{(1-\mathrm{e}^{-\tau})}$ . Neznáme $L_\mathrm{roz}$ , ale známe hustotu zářivého toku $F=\frac{L_\mathrm{vni}}{4\pi r^2}$ . Dosazením obdržíme vztah $F=\frac{L_\mathrm{roz}}{4\pi D^2}=\frac{L_\mathrm{vni}}{4\pi D^2}(1-\mathrm{e}^{-\tau})$ , ze kterého určíme optickou hloubku $\tau=-\ln\left(1- \frac{F4\pi D^2}{L_\mathrm{vni}}\right)$ .