Kosmická mechanika - řešení

Řešení úlohy 3.1
Pro I. kosmickou rychlost platí ${v_{\mathrm{I}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}}}} = 7,9\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, pro II. kosmickou rychlost ${v_{{{\mathrm{II}}}}=\sqrt{2G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}}}}= 11,2\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Parabolická rychlost vzhledem ke Slunci je $v_{{{\mathrm{pS}}}}=\sqrt{2G\frac{M_{\odot}}{r_{{{\mathrm{ZS}}}}}} = 42,3\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, střední rychlost Země kolem Slunce $29,8\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, tedy potřebujeme rychlost $12,5\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ na hranici oblasti přitažlivosti Země. Pro startovací rychlost ze Země platí ${v=\sqrt{11,2^{{2}}+12,5^{{2}}}}= 16,7\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 3.2
Platí $\frac{v_{{{\mathrm{IZ}}}}}{v_{{{\mathrm{IM}}}}}=\sqrt{\frac{M_{\mathrm{Z}}}{M_{\mathrm{M}}}\frac{R_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{Z}}}}=4,65$.

Řešení úlohy 3.3
Pro rychlost na kruhové dráze platí vztah ${v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h}}}$, odtud určíme $h = 710\,\mathrm{km}$.

Řešení úlohy 3.4
Nejprve stanovíme ${r_{\mathrm{a}}=R_{\mathrm{Z}}+H_{\mathrm{a}}=4,64.{10}^{{7}}}\,\mathrm{m}$ a ${r_{\mathrm{p}}=R_{\mathrm{Z}}+H_{\mathrm{p}}=6,9.{10}^{{6}}}\,\mathrm{m}$, pro velikost hlavní poloosy platí ${a=\frac{r_{\mathrm{a}}+r_{\mathrm{p}}}{2}=2,67.{10}^{{7}}}\,\mathrm{m}$. Rychlost v apogeu určíme ze vztahu $v_{\mathrm{a}}=\sqrt{{{GM}}_{\mathrm{Z}}\left(\frac{2}{r_{\mathrm{a}}}-\frac{1}{a}\right)}= 1,5\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ a v perigeu $v_{\mathrm{p}}=\sqrt{{{GM}}_{\mathrm{Z}}\left(\frac{2}{r_{\mathrm{p}}}-\frac{1}{a}\right)}=10,0\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 3.5
Pro kruhovou dráhu obdržíme ${v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h}}=7,58}\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Po zvýšení rychlosti se družice dostane na eliptickou dráhu, pro velikost její hlavní poloosy $a$ platí $a=\frac{r_{\mathrm{p}}{{GM}}_{\mathrm{Z}}}{2{{GM}}_{\mathrm{Z}}-r_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}^{{2}}}= 101\,000\,\mathrm{km}$, odtud ${H_{\mathrm{a}}=2a-\left(2R_{\mathrm{Z}}-H_{\mathrm{p}}\right)} = 189\,000\,\mathrm{km}$.

Řešení úlohy 3.6
Předpokládejme, že změna rychlosti družice proběhne za velmi krátký časový okamžik ve srovnání s velikostí oběžné doby. Platí $v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h}}=7,48\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, dále ze vztahu $2a=H_{\mathrm{p}}+H_{\mathrm{a}}+2R_{\mathrm{Z}}$ určíme $a= 26\,754\,\mathrm{km}$. Rychlost v perigeu eliptické dráhy je ${v_{\mathrm{p}}=\sqrt{{{GM}}_{\mathrm{Z}}\left(\frac{2}{r_{\mathrm{p}}}-\frac{1}{a}\right)}}= 9,84\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, změna rychlosti ${{{\Delta}v}=v_{\mathrm{p}}-v_{\mathrm{k}}}= 2,36\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Oběžnou dobu stanovíme z III. Keplerova zákona ${\frac{a_{\mathrm{k}}^{{3}}}{a_{\mathrm{e}}^{{3}}}=\frac{T_{\mathrm{e}}^{{2}}}{T_{\mathrm{k}}^{{2}}}}$, kde ${a_{\mathrm{k}}=R_{\mathrm{Z}}+h}$, ${a=a_{\mathrm{e}}}$. Odtud při $T_{\mathrm{k}}=\frac{2{{\pi}}\left(R_{\mathrm{Z}}+h\right)}{v_{\mathrm{k}}}=1,7\, \mathrm{hod}$. $T_{\mathrm{e}}=12,1\,\mathrm{hod}$.

Řešení úlohy 3.7
Vykonaná práce při přechodu z jedné na druhou oběžnou dráhu je rovna $A=\left(W_{{\mathrm{k1}}}+W_{{\mathrm{p1}}}\right)-\left(W_{{\mathrm{k2}}}+W_{... ...{{2}}^{{2}}-G\frac{m_{\mathrm{H}}M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h_{{2}}}\right)$, pro rychlosti na kruhových oběžných drahách platí ${v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h}}}$. Po dosazení obdržíme $A= G\frac{m_{\mathrm{H}}M_{\mathrm{Z}}}{2}\left(\frac{1}{R_{\mathrm{Z}}+h_{{2}}}-\frac{1}{R_{\mathrm{Z}}+h_{{1}}}\right) = -4,5.{10}^{{9}}\,\mathrm{J}$.

Řešení úlohy 3.8
Minimální práce je rovna ${A\cong {{mR}}_{\mathrm{Z}}g_{\mathrm{Z}}-{{mR}}_{\mathrm{M}}g_{\mathrm{M}}\cong 6,1.{10}^{{{12}}}}\,\mathrm{J}$.

Řešení úlohy 3.9
Ze vztahu $T=\frac{2{{\pi}r}}{v}=\displaystyle\frac{2{{\pi}r}}{\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{V}}}{r}}}$ stanovíme $r=\left(\frac{{\mathrm{GM}}_{\mathrm{V}}T^{{2}}}{4{{\pi}}^{{2}}}\right)^{{\frac{1}{3}}} = 1\,528\,000\,\mathrm{km}$. Oblast aktivity Venuše vzhledem ke Slunci má přibližný poloměr $615\,000\,\mathrm{km}$, tudíž družice bude velmi rychle zachycena gravitační silou Slunce.

Řešení úlohy 3.10
Platí ${\frac{F_{{{\mathrm{MS}}}}}{F_{{{\mathrm{MZ}}}}}=\displaystyle\frac{G\frac{M_{... ...{2}}}}{G\frac{M_{\mathrm{M}}M_{\mathrm{Z}}}{r_{{{\mathrm{MZ}}}}^{{2}}}}} = 2,17$. Kolem Slunce obíhá barycentrum soustavy Země - Měsíc.

Řešení úlohy 3.11
Vztah pro slapovou sílu, kde Země je rušené kosmické těleso a Měsíc respektive Slunce jsou rušícími, je dán vztahem ${F=\frac{2{\mathrm{GM}}_{\mathrm{Z}}M_{{{\mathrm{rušící}}}}R_{\mathrm{Z}}}{r^{{3}}}}$, kde $r$ je vzdálenost středů obou uvažovaných kosmických těles. Připomínáme, že vztah udává převrácenou kubickou závislosti s mnohem rychlejším poklesem síly. Po dosazení číselných hodnot obdržíme pro velikost působících slapových sil Měsíce na Zemi ${F_{{{\mathrm{MZ}}}}}= 6,7. 10^{18}\,\mathrm{N}$ a Slunce na Zemi ${F_{{{\mathrm{SZ}}}}=} 3,0. 10^{18}\, \mathrm{N}$. Tedy prvně počítané slapové působení činí 2/3 a druhé 1/3 z celkového slapového působení obou kosmických těles. Slapové síly vyvolávané Měsícem jsou přibližně 2,2krát větší než slapové síly Slunce. Jinak vyjádřeno slapové síly vytvářené Sluncem dosahují přibližně pouze 46% slapových sil Měsíce. Při hypotetickém zvětšení vzdálenosti Měsíce 2krát, by jeho slapové působení pokleslo 8krát a stalo by se 4krát slabší než slapové působení od Slunce.

Řešení úlohy 3.12
V izolované soustavě, za kterou můžeme zjednodušeně považovat soustavu Země - Měsíc, platí zákon zachování momentu hybnosti. Pro počáteční a koncový stav platí ${L_{{{c1}}}=L_{{{c2}}}}$. Z platnosti podmínek v zadání vyplývá ${L_{{{c1}}}=L_{{{\mathrm{Zrot}}}}}$ + ${L_{{{\mathrm{Mpoč}}}}}$ a ${L_{{{c2}}}=L_{{{\mathrm{Mdrah}}}}}$. Moment setrvačnosti Měsíce vzhledem k rotační ose Země je $J_{{{\mathrm{Mpoč}}}}=M_\mathrm{M}{a_{{\mathrm{poč}}}^{2}}= 1,08.{10}^{{{40}}}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^2$, jeho současná dráhová úhlová rychlost ${\omega_{{{\mathrm{poč}}}}=\frac{2{{\pi}}}{T_{\mathrm{S}}}=2,7.{10}^{{-6}}}\, \mathrm{rad}.\mathrm{s}^{-1}$. Dráhový moment hybnosti Měsíce nyní ${L_{{{\mathrm{Mhpoč}}}}}= J_{{{\mathrm{Mpoč}}}}\omega_{{{\mathrm{poč}}}}= 2,9.{10}^{{{34}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{2}.\mathrm{s}^{-1}$. Počáteční celkový moment hybnosti je ${L_{{{c1}}}}= {L_{{{\mathrm{Zrot}}}}} + {L_{{{\mathrm{Mpoč}}}}}= {3,5.{10}^{{{34}}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{2}.\mathrm{s}^{-1}$. Aplikujeme zákon zachování momentu hybnosti ${L_{{{c1}}}=L_{{{c2}}}}$, kde ${L_{{{c2}}}=} {M_{\mathrm{M}}a_{{{\mathrm{kon}}}}^{{2}}{{\omega}}_{{{\mathrm{kon}}}}}$. Dále platí III. Keplerův zákon upravený do tvaru ${a_{{{\mathrm{poč}}}}^{{3}}{{\omega}}_{{{\mathrm{poč}}}}^{{2}}=a_{{{\mathrm{kon}}}}^{{3}}{{\omega}}_{{{\mathrm{kon}}}}^{{2}}}$. Po dosazení a úpravách obdržíme $a_{{{\mathrm{kon}}}}=a_{{{\mathrm{poč}}}}\left(\frac{L_{{{c2}}}}{L_{{{\mathrm{... ...ight)^{{2}}= 1,45\,{a_{{{\mathrm{poč}}}}}= 5,6. {\mathrm{10}^{{8}}}\,\mathrm{m}$. Rovněž z III. Keplerova zákona získáme konečnou úhlovou rychlost ${{\omega}}_{{{\mathrm{kon}}}}={{\omega}}_{{{\mathrm{poč}}}}\left(\frac{a_{{{\m... ...on}}}}}\right)^{{\frac{3}{2}}}= 1,5. {10}^{{-6}}\,\mathrm{rad}.\mathrm{s}^{-1}$ s konečnou oběžnou dobou ${T_{{{\mathrm{kon}}}}=T_{{{\mathrm{poč}}}}\frac{{{\omega}}_{{{\mathrm{poč}}}}}{{{\omega}}_{{{\mathrm{kon}}}}}}= 48\,$dnů.

Řešení úlohy 3.13
Použijeme III. Keplerův zákon v přesném znění ${\frac{T_{{0}}^{{2}}\left(M_{{\mathrm{Z0}}}+M_{\mathrm{M}}\right)}{T_{{1}}^{{2... ...t(M_{{\mathrm{Z1}}}+M_{\mathrm{M}}\right)}=\frac{a_{{0}}^{{3}}}{a_{{1}}^{{3}}}}$, kde hmotnost ${M_{\mathrm{M}}}$ Měsíce zanedbáváme, ${M_{{\mathrm{Z1}}}}$ je změněná hmotnost Země. Úpravou vztahu obdržíme ${\frac{T_{{0}}^{{2}}M_{{\mathrm{Z0}}}}{\left(\frac{1}{3}T_{{0}}\right)^{{2}}M_{{\mathrm{Z1}}}}=1}$ ${\Rightarrow }$ ${M_{{\mathrm{Z1}}}} = 9 {M_{{{Z0}}}}$.

Řešení úlohy 3.14
Dosadíme do rovnice vyjadřující, že dostředivé zrychlení je vytvářeno silou přitažlivosti Slunce ${G\frac{M_{{{\odot0}}}M_{\mathrm{Z}}}{r_{{{\mathrm{SZ}}}}^{{2}}}=\frac{M_{\mathrm{Z}}v_{\mathrm{Z}}^{{2}}}{r_{{{\mathrm{SZ}}}}}}$, kde ${\frac{M_{\mathrm{Z}}v_{\mathrm{Z}}^{{2}}}{r_{{{\mathrm{SZ}}}}}=\frac{M_{\math... ...{{\pi}r}_{{{\mathrm{SZ}}}}}{T_{\mathrm{Z}}}\right)^{{2}}}{r_{{{\mathrm{SZ}}}}}}$. Obdobně v případě hypotetického přesunu na dvojnásobnou vzdálenost platí ${G\frac{M_{{{\odot1}}}M_{\mathrm{Z}}}{\left(2r_{{{\mathrm{SZ}}}}\right)^{{2}}}... ...\pi}2r}_{{{\mathrm{SZ}}}}}{T_{\mathrm{Z}}}\right)^{{2}}}{2r_{{{\mathrm{SZ}}}}}}$. Podělením druhé rovnice první obdržíme po úpravě ${M_{{{\odot1}}}=8M_{{{\odot0}}}}$.

Řešení úlohy 3.15
Dosadíme do rovnice vyjadřující zákon zachování mechanické energie pro pohyb Země ${\frac{1}{2}M_{\mathrm{Z}}v_{{\mathrm{Z0}}}^{{2}}-G\frac{M_{\mathrm{Z}}M_{{{\o... ...\mathrm{Z1}}}^{{2}}-G\frac{M_{\mathrm{Z}}M_{{{\odot1}}}}{r_{{{\mathrm{ZS}}1}}}}$. Při zjednodušení na kruhovou dráhu dostáváme ${G\frac{M_{\mathrm{Z}}M_{\odot}}{r_{{{\mathrm{ZS}}}}^{{2}}}=\frac{M_{\mathrm{Z}}v_{\mathrm{Z}}^{{2}}}{r_{{{\mathrm{ZS}}}}}}$ ${\Rightarrow }$ ${v_{{{\mathrm{ZS}}}}^{{2}}=G\frac{M_{\odot}}{r_{{{\mathrm{ZS}}}}}}$. Následně dosadíme do rovnice pro zákon zachování energie ${\frac{1}{2}\frac{{{GM}}_{\mathrm{Z}}M_{{{\odot0}}}}{r_{{{\mathrm{ZS}}0}}}-\fr... ...mathrm{ZS}}1}}}-\frac{{{GM}}_{\mathrm{Z}}M_{{{\odot1}}}}{r_{{{\mathrm{ZS}}1}}}}$. Po úpravě obdržíme ${\frac{M_{{{\odot1}}}}{M_{{{\odot0}}}}=\frac{r_{{{\mathrm{ZS}}1}}}{r_{{{\mathrm{ZS}}0}}}}$. Podělením čitatelů ${{{\Delta}t}}$, zvolíme ${{{\Delta}t}}= 1\,\mathrm{rok}$, $r_{{{\mathrm{ZS}}0}}=1\,\mathrm{AU}$ získáme vztah $${\frac{\frac{{{\Delta}M}_{{{\odot0}}}}{{{\Delta}t}}}{M_{{{\odot0}... ...frac{\frac{{{\Delta}r}_{{{\mathrm{ZS}}0}}}{{{\Delta}t}}}{r_{{{\mathrm{ZS}}0}}}}$$ ${\Rightarrow }$ ${\frac{{{\Delta}r}_{{{\mathrm{ZS}}0}}}{{{\Delta}t}}=8.{10}^{{-{14}}}}\, r_\mathrm{ZS0}.\mathrm{rok}^{-1}$. Přepočtením získáme $\frac{{{\Delta}r}_{{{\mathrm{ZS}}0}}}{{{\Delta}t}}=1\, \mathrm{cm}.\mathrm{rok}^{-1}$.

Řešení úlohy 3.16
Ke stanovení typu dráhy určíme kruhovou a parabolickou rychlost v dané vzdálenosti od Slunce, ${v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{{\odot}}}{r}}}= 38,87\, \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, ${v_{\mathrm{p}}=\sqrt{2G\frac{M_{{\odot}}}{r}}} = 54,96\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Protože platí ${v_{\mathrm{k}}}< v < {v_{\mathrm{p}}}$, kometa se pohybuje pro eliptické dráze. Ze vztahu pro rychlost komety v perihéliu $v=\sqrt{{{GM}}_{{\odot}}\left(\frac{2}{r_{\mathrm{p}}}-\frac{1}{a}\right)}$ vyjádříme velikost velké poloosy $a = 18\,\mathrm{AU}$. Oběžnou dobu stanovíme z III. Keplerova zákona $T=a\sqrt{a}=76\,$roků. Excentricitu vypočítáme ${{\varepsilon}}=\frac{e}{a}=\frac{a-r}{a}=0,967$. Rychlost komety v aféliu je rovna $v_{\mathrm{a}}=\sqrt{{{{GM_{\odot}}}}\left(\frac{2}{r_{{a}}}-\frac{1}{a}\right)} = 0,9\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 3.17
Platí III. Keplerův zákon ${\frac{a_{\mathrm{Z}}^{{3}}}{T_{\mathrm{Z}}^{{2}}}=\frac{a_{\mathrm{G}}^{{3}}}{T_{\mathrm{G}}^{{2}}}}$. Při předpokládané oběžné době 2 roky je velikost hlavní poloosy dráhy ${a_{\mathrm{G}}=1,59}\,\mathrm{AU}$. Planetka s těmito parametry nemůže existovat.

Řešení úlohy 3.18
Pro rychlost v perihéliu platí ${v_{{{\mathrm{per}}}}=v_{\mathrm{k}}\sqrt{\frac{1+{{\varepsilon}}}{1-{{\varepsilon}}}}} = \ 13,4\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, pro rychlost v aféliu ${v_{{{\mathrm{afél}}}}=v_{\mathrm{k}}\sqrt{\frac{1-{{\varepsilon}}}{1+{{\varepsilon}}}}} = 12,8\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Pro kruhovou dráhu platí vztah ${v_{\mathrm{k}}=\frac{29,8}{\sqrt{r}}}$, kde rychlost je $\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ a $r$ v AU. Dosazením obdržíme $r = 5,17\,\mathrm{AU}$.

Řešení úlohy 3.19
Za předpokladu $h\ll R$ platí $T=\frac{2{{\pi}R}}{v_{\mathrm{k}}}=\frac{2{{\pi}R}}{\sqrt{G\frac{M}{R}}}=\sqrt{\frac{3{{\pi}}}{G}}\frac{1}{\sqrt{{{\rho}}}}$, kde ${\frac{1}{\sqrt{{{\rho}}}}=\sqrt{\frac{4{{\pi}R}^{{3}}}{3M}}}$. Oběžná doba kosmické lodi závisí na hustotě planety.

Řešení úlohy 3.20
Vyjdeme ze zákona zachování energie ${\frac{m_{\mathrm{d}}v_{\mathrm{p}}^{{2}}}{2}-G\frac{m_{\mathrm{d}}M_{\mathrm{... ...}v_{\mathrm{a}}^{{2}}}{2}=G\frac{m_{\mathrm{d}}M_{\mathrm{Z}}}{r_{\mathrm{a}}}}$ a zákona zachování momentu hybnosti ${m_{\mathrm{d}}r_{\mathrm{p}}v_{\mathrm{p}}=m_{\mathrm{d}}r_{\mathrm{a}}v_{\mathrm{a}}}$. Řešením rovnic obdržíme vztah pro celkovou mechanickou energie ${W_{\mathrm{c}}=-G\frac{m_{\mathrm{d}}M_{\mathrm{Z}}}{r_{\mathrm{p}}+r_{\mathrm{a}}}=-G\frac{m_{\mathrm{d}}M_{\mathrm{Z}}}{2a}}$, která závisí na velikosti velké poloosy.

Řešení úlohy 3.21
Nejprve stanovíme velikost kruhové rychlosti družice ${v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h}}}$, po dosazení obdržíme $v_{\mathrm{k}}=7,34.{10}^{{3}}\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Pro kinetickou energii obdržíme ${W_{\mathrm{k}}=\frac{1}{2}m_{\mathrm{d}}v_{\mathrm{k}}^{{2}}}= 2,7. {10}^{{{10}}}\,\mathrm{J}$, pro potenciální energii ${W_{\mathrm{p}}=-G\frac{m_{\mathrm{d}}M_{\mathrm{Z}}}{R_{\mathrm{Z}}+h}} = - 5,4 . {10}^{{{10}}}\,\mathrm{J}$. Připomínáme, že platí viriálová věta ${\langle W_{\mathrm{k}}\rangle =-{\frac{1}{2}}\langle W_{\mathrm{p}}\rangle }$.

Řešení úlohy 3.22
Pro rychlost na kruhové dráze platí $v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{M}}+h}} = 1,33. {10}^{{3}}\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Pro rychlost v periseleniu platí ${v_{{{\mathrm{per}}}}=v_{\mathrm{k}}\sqrt{\frac{1+{{\varepsilon}}}{1-{{\varepsilon}}}}} = 1\,810\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ a pro rychlost v aposeleniu $v_{{{\mathrm{apos}}}}=v_{\mathrm{k}}\sqrt{\frac{1-{{\varepsilon}}}{1+{{\varepsilon}}}} = 978\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 3.23
a) Při pohybu po kruhové dráze kolem Měsíce platí ${G\frac{m_{\mathrm{l}}M_{\mathrm{M}}}{\left(R_{\mathrm{M}}+h\right)^{{2}}}=\frac{m_{\mathrm{l}}v_{\mathrm{k}}^{{2}}}{R_{\mathrm{M}}+h}}$, kde ${v_{\mathrm{k}}=\sqrt{G\frac{M_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{M}}+h}}}$. Po zapnutí brzdícího motoru udílejícího kosmické lodi impuls, se loď bude pohybovat po eliptické dráze s ohniskem ve středu Měsíce. Při označení ${v_{{A}}}$ a ${v_{{B}}}$ rychlostí kosmické lodi v bodech $A$ a $B$ zapíšeme zákon zachování energie a momentu hybnosti $\frac{m_{\mathrm{l}}v_{{A}}^{{2}}}{2}-G\frac{m_{\mathrm{l}}M_{\mathrm{M}}}{R_{... ...athrm{l}}v_{{B}}^{{2}}}{2}-G\frac{m_{\mathrm{l}}M_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{M}}}$ a ${m_{\mathrm{l}}v_{{A}}\left(R_{\mathrm{M}}+h\right)=m_{\mathrm{l}}v_{{B}}R_{\mathrm{M}}}$. Řešením posledně dvou uvedených rovnic nalezneme ${v_{{A}}=\sqrt{2G\frac{M_{\mathrm{M}}R_{\mathrm{M}}}{\left(R_{\mathrm{M}}+h\right)\left(2R_{\mathrm{M}}+h\right)}}}$ a po úpravě získáme ${v_{{A}}=v_{\mathrm{k}}\sqrt{\frac{2R_{\mathrm{M}}}{2R_{\mathrm{M}}+h}}}$. Změna rychlosti ${{{\Delta}v}} = {v_{\mathrm{k}}} - {v_{{A}}} = {v_{\mathrm{k}}\left(1-\sqrt{\frac{2R_{\mathrm{M}}}{2R_{{M}}+h}}\right)} = 24\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Brzdící motor se zapíná na krátkou dobu, proto můžeme zákon zachování hybnosti soustavy kosmická loď - vyletující palivo zapsat ve tvaru $\left(m_{\mathrm{l}}-m_{{{\mathrm{pal}}}}\right){{\Delta}v}=m_{{{\mathrm{pal}}}}v_{{{\mathrm{pal}}}}$. Úpravou obdržíme ${m_{{{\mathrm{pal}}}}=\frac{{{\Delta}v}}{v_{{{\mathrm{pal}}}}+{{\Delta}v}}m_{\mathrm{l}}}$ , odtud při ${{{\Delta}v}} \ll {v_{{{\mathrm{pal}}}}}$ platí $m_{{{\mathrm{pal}}}}\cong \frac{{{\Delta}v}}{v_{{{\mathrm{pal}}}}}m_{\mathrm{l}}\cong 29\,\mathrm{kg}$.

b) Vektor ${{{\Delta}v}_{{2}}}$ směřuje kolmo k vektoru ${v_{\mathrm{k}}}$, proto ${v_{{A}}=\sqrt{v_{\mathrm{k}}^{{2}}+{{\Delta}v}_{{2}}^{{2}}}}$. Ze zákona zachování mechanické energie dostaneme $\frac{m_{\mathrm{l}}\left(v_{\mathrm{k}}^{{2}}+{{\Delta}v}_{{2}}^{{2}}\right)}... ...athrm{l}}v_{{C}}^{{2}}}{2}-G\frac{m_{\mathrm{l}}M_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{M}}}$ a zákona zachování momentu hybnosti $m_{\mathrm{l}}v_{\mathrm{k}}\left(R_{\mathrm{M}}+h\right)=m_{\mathrm{l}}v_{{C}}R_{\mathrm{M}}$. Řešením posledních dvou uvedených rovnic obdržíme ${{\Delta}v}_{{2}}=h\sqrt{\frac{g_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{M}}+h}}= 97 \,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Při využití zákona zachování hybnosti $m_{{{\mathrm{pal}}}}\cong \frac{{{\Delta}v}_{{2}}}{v_{{{\mathrm{pal}}}}}m_{\mathrm{l}}\cong 116\,\mathrm{kg}$.

Řešení úlohy 3.24
Za předpokladu kruhových drah planet můžeme jejich dráhový moment hybnosti zachytit vztahem ${L={{mvr}}=m\frac{2{{\pi}r}}{T}r}$. Při znalosti hmotností, poloměrů drah a oběžných dob planet můžeme vypočítat dráhové momenty hybnosti vybraných planet $L_{\mathrm{Z}}=2,7.{10}^{{{40}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^2.\mathrm{s}^{-1}$, $L_{\mathrm{J}}=1,9.{10}^{{{43}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^2.\mathrm{s}^{-1}$, $L_{\mathrm{S}}=7,8.{10}^{{{42}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^2.\mathrm{s}^{-1}$, $L_{\mathrm{U}}=1,7.{10}^{{{42}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^2.\mathrm{s}^{-1}$. U Slunce je rotační moment hybnosti $L_{{{\odot}}}=1,1.{10}^{{{42}}}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^2.\mathrm{s}^{-1}$, činící méně než zhruba 3 % celkového momentu hybnosti všech planet, přestože jeho hmotnost je 99,9 % celkové hmotnosti sluneční soustavy.

Řešení úlohy 3.25
Úpravou III. Keplerova zákona při zanedbání hmotnost Hyperiona ${\frac{a_{\mathrm{H}}^{{3}}}{T_{\mathrm{H}}^{{2}}}=\frac{G}{4{{\pi}}^{{2}}}M_{\mathrm{S}}}$, odtud ${M_{\mathrm{S}}} = 5,7 . {10}^{{{26}}}\,\mathrm{kg}$.

Řešení úlohy 3.26
Platí ${\frac{a_{{{\mathrm{Ch}}}}^{{3}}}{T_{{{\mathrm{Ch}}}}^{{2}}}=\frac{G}{4{{\pi}}^{{2}}}\left(M_{{{\mathrm{Pl}}}}+M_{{{\mathrm{Ch}}}}\right)}$, odtud ${M_{{{\mathrm{Pl}}}}+M_{{{\mathrm{Ch}}}}=1,26.\mathrm{10}^{{\mathrm{22}}}} \,\mathrm{kg}$. Za zvoleného předpokladu stejné hustoty obou těles a s ohledem na poloměry respektive objemy těles obdržíme $M_{{{\mathrm{Pl}}}}= 1,2.{10}^{{{22}}}\,\mathrm{kg}$, $M_{{{\mathrm{Ch}}}} = 0,6.{10}^{{{23}}}\,\mathrm{kg}$. Střední hustota je rovna ${\bar{{{{\rho}}}}=1,9.\mathrm{10}^{{3}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$.

Řešení úlohy 3.27
Rozdíl gravitačních zrychlení ve středu Měsíce a na jeho vzdálenějším okraji vyvolaných Zemí nacházející se ve vzdálenosti ${r_{{{\mathrm{ZM}}}}}$ je roven ${a=\frac{2{{GM}}_{\mathrm{Z}}R_{\mathrm{M}}}{r_{{{\mathrm{ZM}}}}^{{3}}}}$. Pro určitou kritickou vzdálenost ${r_{{{\mathrm{kr}}}}}$ Země - Měsíc bude dostředivé zrychlení působící na povrch Měsíce rovné odstředivému zrychlení $G\frac{M_{\mathrm{M}}}{R_{\mathrm{M}}^{{2}}}=\frac{2{{GM}}_{\mathrm{Z}}R_{\mathrm{M}}}{r_{{{\mathrm{kr}}}}^{{3}}}$. Po úpravě ${r_{{{\mathrm{kr}}}}^{{3}}=2\frac{M_{\mathrm{Z}}}{M_{\mathrm{M}}}R_{\mathrm{M}}^{{3}}}$ a dosazení za hmotnosti obou těles obdržíme ${r_{{{\mathrm{kr}}}}=1,26\,R_{\mathrm{Z}}\left(\frac{{{\rho}}_{\mathrm{Z}}}{{{\rho}}_{\mathrm{M}}}\right)^{{\frac{1}{3}}}}$. Kritická vzdálenost Měsíce je rovna 1,26 násobku poloměru Země násobenému třetí odmocninou z poměru hustot Země a Měsíce, což platí v případě, že obě tělesa lze považovat za tuhá. Po dosazení hodnot hustot ${{{\rho}}_{\mathrm{Z}}=5,5.{10}^{{3}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ a ${{{\rho}}_{\mathrm{M}}=3,3.{10}^{{3}}}\, \mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ dostaneme ${r_{{{\mathrm{kr}}}}}= 9\,500\,\mathrm{km}$. V případě, že obě tělesa jsou kapalná je násobným faktorem 2,4 a platí ${r_{{{\mathrm{kr}}}}=2,4\,R_{\mathrm{Z}}\left(\frac{{{\rho}}_{\mathrm{Z}}}{{{\rho}}_{\mathrm{M}}}\right)^{{\frac{1}{3}}}}$ a tudíž ${r_{{{\mathrm{kr}}}}}= 18\,260\,\mathrm{km}$.

Řešení úlohy 3.28
Nezbytná heliocentrická rychlost k dosažení Marsu má hodnotu $32,7\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, Země se pohybuje po dráze kolem Slunce se střední oběžnou rychlostí $29,8\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, nutná rychlost kosmické sondy při opouštění oblasti aktivity Země (sahající do vzdálenosti přibližně 930000km) je dána rozdílem obou rychlostí, tedy $2,9\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Minimální počáteční tzv. startovací rychlost z povrchu Země je určena vztahem $v=\sqrt{11,2^{{2}}+2,9^{{2}}}=11,6\, \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, kde $11,2\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ je hodnota druhé kosmické rychlosti. Přechod ze Země $A$ k Marsu $B$ se uskutečňuje po poloeliptické přechodové dráze, velikost jejíž velké poloosy ${a_{\mathrm{s}}}$ vypočítáme ${a_{\mathrm{s}}=\frac{1}{2}\left(a_{{1}}+a_{{2}}\right)}$ v souladu s obrázkem. Excentricitu přechodové dráhy určíme ze vztahu ${{{\varepsilon}}_{\mathrm{s}}=\frac{a_{{2}}-a_{{1}}}{a_{{2}}+a_{{1}}}}$. Dobu letu získáme z III. Keplerova zákona ${\frac{T_{\mathrm{s}}^{{2}}}{T_{{1}}^{{2}}}=\frac{a_{\mathrm{s}}^{{3}}}{a_{{1}}^{{3}}}}$, odkud po dosazení obdržíme hodnotu $\frac{T_{\mathrm{s}}}{2}=0,7\, \mathrm{roku}$.

Je vhodné, aby se v okamžiku startu nacházela Země v perihéliu své dráhy, kde je rychlost planety asi o $1\, \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ vyšší než v aféliu a má hodnotu $30,4\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Vyšší startovací rychlost umožňuje zkrácení dráhy letu a také výhodnější kratší rádiové spojení s případnými přistávacími moduly v okamžiku přiblížení a přistání kosmických lodí, neboť Mars je v menší vzdálenosti od Země. Kosmické sondy nesoucí na palubě Mars Pathfinder se pohybovaly po přechodových drahách blížících se hohmannovským.