Hvězdy a mezihvězdná látka - řešení

Řešení úlohy 12.1
Zvolíme molekulární hmotnost $\mu = 1$ a dosadíme do vztahu
$M_J\cong\left(\frac{5kT}{G\mu m_{\mathrm{H}}}\right)^{3/2}\left(\frac{3}{4\pi\rho_0}\right)^{1/2}$ . Po dosazení obdržíme $M_J\cong 1 500\,M_{\odot}$ .

Řešení úlohy 12.2
$M_J\cong 1,2 . 10^4 \,M_{\odot}$ , $M_J\cong 3,4 . 10^8 \,M_{\odot}$ , $M_J\cong 3,4 . 10^{ 12} \,M_{\odot}$

Řešení úlohy 12.3
Dosadíme do vztahu pro dobu volného pádu $t=\sqrt{\frac{3\pi}{32} \frac{1}{G\rho}} = 0,4 .10^{ 13}\,\text{s} = 1,3 . 10^5\,\text{roků}$ .

Řešení úlohy 12.4
Při smršťování je polovina uvolněné gravitační potenciální energie vyzářena $-\frac{\mathrm{d}E_\text{c}}{\mathrm{d}t}=-\frac{1}{2}\frac{\mathrm{d}E_\text{p}}{\mathrm{d}t}$ . Velikost vyzářené energie určíme ze vztahu vyjádřeném v absolutních hodnotách $\left\vert E_\text{vyz}\right\vert=\left\vert\frac{1}{2}E_\text{p}\right\vert=\left\vert\frac{GM^2}{2R}\right\vert=1,9 .10^{39}\,\text{J}$ . Střední hodnota zářivého výkonu protohvězdy je $\langle L\rangle =E_$ vyz $/t= 1,9 . 10^{27}\,$ W $= 5\,L_{\odot}$ .

Řešení úlohy 12.5
Pro střední dobu platí $\tau\cong\frac{1}{\sigma n_{\mathrm{H}}}\left(\frac{2kT}{3m_{\mathrm{H}}}\right)^{-1/2}\cong1,5.10^{10}\,\mathrm{s}\cong500\,$ roků.

Řešení úlohy 12.6
Dosazením obdržíme $T = 230\,000\,\mathrm{K}$ .

Řešení úlohy 12.7
Doba pobytu je $t_p\cong\frac{2,5.10^{18}}{n_{\mathrm{e}}}\sqrt{\frac{T}{10^4}}\cong2,5.10^8\,\mathrm{s} \cong8\,$ roků při uvedených podmínkách.

Řešení úlohy 12.8
Dosadíme do uvedených vztahů a vytvoříme tabulku. Tepelná rychlost atomů vodíku je o řád vyšší, než úniková rychlost atomů na okraji mračna, které drží pohromadě vlastní expanzí nikoliv gravitací.

Mlhovina	Průměr	Hmotnost	u		t
	[pc]	[ $M_{\odot}$ ]	[ $\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ ]	[K]	[ $\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ ]
M 8		$2\,600$		$7\,500$
M 17				$8\,700$

Řešení úlohy 12.9
Vyjdeme ze vztahu $m - M = 5 \log r - 5$ . Při zvětšení vzdálenosti $10\times$ se zvětší pozorovaná hvězdná velikost o $5\,$ mag, tedy poloha hvězdy se posune směrem dolů. V případě mezihvězdného mračna prachu se zvětší pozorovaná hvězdná velikost rovněž o $5\,$ mag, tudíž poloha hvězdy se posune dolů na H - R diagramu.

Řešení úlohy 12.10
Dosazením do Stefanova-Boltzmannova zákona určíme zářivý výkon hvězdy $L=5,1.10^{34}\,\mathrm{W}$ . Za podmínek zadání přibližně platí $\frac{L}{4\pi r_v^2}\frac{4}{3}\pi r_c^3=\frac{4}{3}\pi r_c^3\sigma T_{\mathrm{cef}}^{4}$ , odkud $T_{\mathrm{cef}}=\left(\frac{L}{4\pi r_v^2}\frac{1}{\sigma}\right)^{1/4}= \left(\frac{R_h^2}{r_v^2}T_{\mathrm{hef}}^{4}\right)^{1/4}\cong75\,\mathrm{K}$ .

Řešení úlohy 12.11
Při tak vysoké povrchové teplotě hvězdy připadá velká část záření na lymanovské kontinuum $\lambda < 91,2\,$ nm, které je absorbováno mlhovinou a ionizuje přitom vodík. Ve viditelném oboru spektra je mlhovina průzračná pro záření jak centrální hvězdy tak i objektů umístěných v radiálním směru za ní.

Řešení úlohy 12.12
Geometrická délka zorného paprsku je $l=2\left\{\left[r^2-x^2\right]^{1/2}-\left[\left(r-d\right)^2-x^2\right]^{1/2}\right\}$ , kde je vzdálenost záměrného paprsku do středu mlhoviny. Při zadaných podmínkách bude mlhovina vypadat jako planetární.

Řešení úlohy 12.13
Při zadané povrchové teplotě a poloměru je zářivý výkon hvězdy $L=5,6.10^{32}\,\mathrm{W}$ , tedy $1,5.10^6\,L_{\odot}$ . Z Wienova posunovacího zákona obdržíme $\lambda_m=\frac{0,29}{50000}=58\,\mathrm{nm}$ , což je podstatně méně než $91,2\,$ nm nezbytných pro ionizaci vodíku za základního stavu. Většina fotonů je schopna vyvolat ionizaci, pro zjednodušení předpokládejme, že všechny emitované fotony mají $\lambda_m$ stejné. Jejich střední energie je $E=\frac{hc}{\lambda}=3,4.10^{-18}\,$ J. Celkový počet fotonů je $N_f\cong\frac{L}{E}\cong10^{50}$ . Počet fotonů vyzařovaných z $1\,\mathrm{m}^2$ za 1 sekundu lze vyjádřit $\frac{\sigma T^4}{2,7\,kT}=\frac{\sigma}{2,7\,k}T^3$ . Při zadaných povrchových teplotách téměř každý foton může ionizovat atom, tedy počet ionizací je roven počtu fotonů vyzařovaných za 1 sekundu. Celkový počet fotonů vyzařovaných hvězdou je $\frac{\sigma}{2,7\,k}T^3\,4\pi R^2\cong10^{50}$ , což odpovídá výsledkům získávaným jinými způsoby. Jestliže dojde ke zvýšení teploty na $100 \,000 \,\mathrm{K}$ , tedy na dvojnásobek, počet fotonů se zvýší osminásobně.

Řešení úlohy 12.14
Podle Wienova posunovacího zákona $\lambda_{\max} = 64\,$ nm, tedy existují podmínky pro ionizaci vodíku ze základního stavu. Nezbytná energii je rovna $E=\frac{hc}{\lambda}=3,1.10^{-18}\,$ J. Při zjednodušujících předpokladech, že všechny emitované fotony mají stejnou vlnovou délku, je celkový počet fotonů produkovaných hvězdou za sekundu $N_f\cong\frac{L}{E}\cong1,6.10^{49}$ . Při znalosti rekombinačního koeficientu $\alpha=3,1.10^{-19}\,\mathrm{m}^3.\mathrm{s}^{-1}$ a hodnotě hustoty mračna vodíku $n_{\mathrm{H}}\cong5.10^9\,\mathrm{m}^{-3}$ dostaneme dosazením pro poloměr Strömgrenovy oblasti $r_S\cong\left(\frac{3 N_f}{4\pi\alpha}\right)^{1/3}n_{\mathrm{H}}^{-2/3}\cong7,9.10^{15}\,\mathrm{m}\cong0,25\,\pc$ .

Řešení úlohy 12.15
Velikost H II oblasti je určována poloměrem a teplotou ionizující hvězdy a hustotou látky v Strömgrenově oblasti. Platí vztah $r_S\cong\left(\frac{3 N_f}{4\pi\alpha}\right)^{1/3}n_{\mathrm{H}}^{-2/3}$ .

Řešení úlohy 12.16
Základní složkou mezihvězdné látky je vodík, který je v oblastech H II prakticky plně ionizován. V stacionárním stavu počet ionizací je roven počtu rekombinací, které probíhají při srážkách protonů a elektronů. Jejich počet v objemové jednotce je proto $\sim n_{\mathrm{e}}n_{\mathrm{p}}$ nebo , $n=n_{\mathrm{p}}+n_{\mathrm{e}}$ . Celkový počet rekombinací v oblasti H II je $\sim n^2r_S^3=\mathrm{konst.}$ , kde je poloměr oblasti H II. Z druhé strany počet rekombinací je roven počtu ionizací, které jsou určeny parametry vyzařující hvězdy. Shrnuto z výše uvedeného platí $r_S\sim n^{-2/3}$ .

Pro číselnou představu uvádíme tabulku poloměrů oblastí vodíku H II u hvězd hlavní posloupnosti různých spektrálních tříd při $n_{\mathrm{H}} = 10^6 \,\mathrm{m}^{ -3}$ .

Spektrální třída	$r\, [\pc]$	Spektrální třída	$r\, [\pc]$
O5	140	B1	17
O6	110	B2	11
O7	87	B3	7,2
O8	66	B4	5,2
O9	46	B5	3,7
B0	26	A0	0,5

Řešení úlohy 12.17
Nejprve určíme počet kvant záření - fotonů uvolňovaných z $1\,\mathrm{m}^2$ povrchu hvězdy za $1\,$ s, $N=\frac{2\pi kT}{hc^2}\nu^2\exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)$ , kde $\nu=\frac{c}{\lambda}=3,29.10^{15}\,\mathrm{s}^{-1}$ . Dosazením obdržíme počet kvant lymanovského kontinua $N \cong 10^{ 26}\,$ fotonů.ms $^{-1}$ . Při poloměru hvězdy $R = 3,5 . 10^9\,\mathrm{m}$ dostaneme celkový počet fotonů uvolňovaných hvězdou $N_f=4\pi R^2N\cong 10^{ 46}\,$ fotonů.s $^{-1}$ . Poloměr Strömgrenovy oblasti určíme $r_S\cong\left(\frac{3 N_f}{4\pi\alpha}\right)^{1/3}n_{\mathrm{H}}^{-2/3}\cong2,2.10^{17}\,\mathrm{m}\cong7\,\pc$ .

Řešení úlohy 12.18
Ionizovat vodík je schopné záření s vlnovou délkou $\lambda < 91,2\,$ nm, tedy s frekvencí $\nu>\nu_1$ , kde $\nu_1 = 3 . 10^{ 15}\,\mathrm{s}^{ - 1}$ . Hledaná část energie záření je $\delta=\left(\int_{\nu_1}^{\infty}B_{\nu}{\mathrm d}\nu\right)\left(\int_{0}^{\infty}B_{\nu}{\mathrm d}\nu\right)^{-1}$ , kde $B_\nu=\frac{2h\nu^3}{c^2}\left[\exp\left(\frac{h\nu}{kT}\right)-1\right]^{-1}\cong\frac{2h\nu^3}{c^2}\exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)$ . Pro vodík $x_1=\frac{h\nu_1}{kT}\cong\frac{160000}{T}$ , při $T = 16 \,000 \,\mathrm{K}$ , tudíž $\delta=\left(\int_{10}^{\infty}x^3 {\mathrm e}^{-x}{\mathrm d}x\right)\left(\int_{0}^{\infty}x^3 {\mathrm e}^{-x}{\mathrm d}x\right)^{-1}$ . Při $x \gg 1$ platí $\int_{10}^{\infty}x^3 {\mathrm e}^{-x}{\mathrm d}x\cong10^3\int_{10}^{\infty}{\mathrm e}^{-x}{\mathrm d}x=10^3{\mathrm e}^{-10}$ . Dále $\int_{0}^{\infty}x^3 {\mathrm e}^{-x}{\mathrm d}x=3!=6$ . Celkově $\delta\cong\frac{1}{6}10^3{\mathrm e}^{-10}\cong10^{-2}$ připadá na ionizaci vodíku, hvězda má příliš nízkou teplotu pro výraznější ionizaci.

Řešení úlohy 12.19
Stupeň excitace atomů vyjadřujeme z Boltzmannovy rovnice $\frac{N_B}{N_A}=\frac{g_B}{g_A}\exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)$ , kde $\frac{g_B}{g_A}=3$ , při $\nu=1420,4\,\mathrm{MHz}\Rightarrow\frac{h\nu}{k}=0,07\,\mathrm{K}$ . Boltzmannova rovnice má tvar $\frac{N_B}{N_A}=3\exp\left(-\frac{0,07}{T}\right)$ . Kinetická teplota mezihvězdného vodíku je vždy větší než $0,07\,$ K, tedy $\exp\left(-\frac{0,07}{T}\right)$
$\cong1$ , poměr $\frac{N_B}{N_A}=3$ se nepatrně mění s teplotou mezihvězdného plynu. Ve vyšším stavu s antiparalelním spinem (přesněji v důsledku rozdílnosti orientací magnetických momentů protonu a elektronu) se bude nacházet 75% atomů vodíku.

Řešení úlohy 12.20
Dosadíme do vztahu $\frac{N_1}{N_2}=\frac{\exp\left(-\frac{E_\text{F1}}{kT}\right)} {\exp\left(-\frac{E_\text{F2}}{kT}\right)}=\exp\left(-\frac{h\nu}{kT}\right)$ pro $T = 100\,$ K a $T = 10\,$ K. Obdržíme při $T = 100\,$ K, při $T = 10\,$ K.

Řešení úlohy 12.21
Podle uvedeného vztahu spektrální čáry H $_\alpha$ , H $_\beta$ budou zeslabeny v mezihvězdném prostředí absorpcí závislou na vlnové délce, tedy rozdílně pro obě čáry. Proto poměr naměřených zářivých toků v uvedených čarách je odlišný od teoretické hodnoty, závisí na vzdálenosti. Hodnoty absorpce $A_\lambda$ v magnitudách a zeslabení v čarách H $_\alpha$ a H $_\beta$ jsou:
$\lambda_{\mathrm{H}\alpha}=656,3\,\mathrm{nm}\Rightarrow A_{\mathrm{H}\alpha}r =0,79.10^{-3}\,\mathrm{mag}\,\mathrm{pc}^{-1}.r\Rightarrow$ zeslabení $10^{-0,00032r}$ , $\lambda_{\mathrm{H}\beta}=486,1\,\mathrm{nm}\Rightarrow A_{\mathrm{H}\beta}r =1,14.10^{-3}\,\mathrm{mag}\,\mathrm{pc}^{-1}.r\Rightarrow$ zeslabení $10^{-0,00046r}$ . Pro pozorovaný a teoretický poměr intenzit spektrálních čar H $_\alpha$ a H $_\beta$ platí: $\left(\frac{F_{\mathrm{H}\alpha}}{F_{\mathrm{H}\beta}}\right)_\mathrm{poz} =\f... ...}}= \left(\frac{F_{\mathrm{H}\alpha}}{F_{\mathrm{H}\beta}}\right).10^{0,00014r}$ . Obdržíme vztah mezi pozorovaným a teoretickým Balmerovým dekrementem a vzdáleností. Dosazením číselných hodnot obdržíme $3,5=2,86.10^{-0,00014r} \Rightarrow 0,00014 r=\log\left(3,5/2,86\right)\Rightarrow r = 626\,\mathrm{pc}$ .

Řešení úlohy 12.22
Ze zadání úlohy dostaneme $EM = n_{\mathrm{e}}^{2} D\Rightarrow n_{\mathrm{e}}= 2,3 . 10^{ 10}\,\mathrm{m}^{ - 3}$ . Hmotnost elektronů v mlhovině odhadneme $M\cong\frac{4}{3}\pi\left(\frac{D}{2}\right)^3n_{\mathrm{e}}m_{\mathrm{e}}\cong10^{25}\,\mathrm{kg}$ . Tento odhad se zvýší na $M\cong10^{29}\,$ kg při započtení hmotnosti protonů a dále atomů helia, kterých je v mlhovině přibližně 16% počtu atomů vodíku a započtením hmotnosti i těžších prvků.

Řešení úlohy 12.23
$\Delta\lambda=\frac{2\lambda}{c}\sqrt{\frac{2kT}{m}} = 1,8.10^{-4}\,$ m, $\Delta\lambda=\frac{\lambda^2}{c}\frac{n\sigma}{\pi} \sqrt{\frac{2kT}{m}} = 2,2.10^{-21}\,$ m. Rozšíření srážkami je vzhledem k nízké teplotě a malé hustotě velmi malé.

Řešení úlohy 12.24
Využijeme vztah $\Delta\lambda =\frac{2\lambda}{c}\left(\frac{2kT}{m}+v_{\mathrm{t}}^2\right)^{1/2}$ pro šířky obou čar, řešíme dvě rovnice, obdržíme kinetickou teplotu $T\cong3\,100\,\mathrm{K}$ a $v_{\mathrm{t}}\cong9\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ .

Řešení úlohy 12.25
Vlnová délka fotonu vyzařovaného při přechodu z energetické hladiny na je dána vztahem $\lambda_{nm}=\lambda_1\frac{n^2m^2}{m^2-n^2}$ , kde $\lambda_1=91,2\,\mathrm{nm}$ . Položíme a předpokládáme, že $n \gg 1$ . Dosazením obdržíme $\lambda_{n,n+1}=\lambda_1\left(\frac{n^3}{2}+n^2\right)$ . Podle tohoto vztahu spektrální čára H $\,100_\alpha$ má vlnovou délku přibližně $5\,\mathrm{cm}$ .

Řešení úlohy 12.26
Řešení: Vyjdeme ze vztahu pro frekvenci fotonu vyzařovaného při přechodu atomu vodíku z energetické hladiny na $\nu_{nm}=\nu_1\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{m^2}\right)$ , kde $\nu_1=3,29.10^{15}\,\mathrm{Hz}$ . Položíme $m=n+\Delta n$ a předpokládáme, že $n \gg 1$ a $\Delta n\ll 1$ . Obdržíme $\nu_{n,n+\Delta n}=\nu_1\left(\frac{1}{n^2}-\frac{1}{\left(n+\Delta n\right)^2}\right)\cong\frac{2\nu_1}{n^3}\Delta n$ . Odtud je zřejmé, že při zvětšení $\Delta n$ o jednotku narůstá frekvence odpovídajícího přechodu o stejnou velikost $\frac{2\nu_1}{n^3}$ , která je frekvencí čáry H $n_\alpha$ .

Řešení úlohy 12.27
Pro objem mlhoviny platí $V\sim R^3\sim r^3\varphi^3$ , pro zářivý výkon platí $L\sim R^2\sim r^2\varphi^2F$ . Úpravou dostaneme $r\sim\frac{M^{2/5}}{\varphi F^{1/5}}$ .

Řešení úlohy 12.28
Při průchodu záření přes mračno plynu se zeslabuje $e_\tau$ krát, kde $\tau$ je optická tloušťka vrstvy plynu. Ve středu čáry L $_\alpha$ je rovna $\kappa_CN$ , kde je celkový počet atomů vodíku podél procházejícího se paprsku. Absorpce se stává podstatnou, jestliže $\kappa_CN=0,1$ . Odpovídající hustota na paprsku je $m_{\mathrm{p}}N=0,1\frac{m_{\mathrm{p}}}{\kappa_C}\cong2.10^{-10}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ . Spektrální analýza je tudíž velmi citlivou metodou.

Řešení úlohy 12.29
Ze vztahu $\tau_{\mathrm{H}}=5,2.10^{-14}\frac{l}{T}\frac{n_{\mathrm{H}}}{\Delta v}$ určíme $l \cong 10^{ 18}\,\mathrm{m}\cong 32 \,\pc$ .

Řešení úlohy 12.30
Platí , odtud pro poloměr v pc dostaneme $r=1,08.10^{-16}\frac{E}{B}$ , je-li v [GeV] a [T]. Dosazením obdržíme $r = 2 . 10^{ - 4}\,\pc=41\,\mathrm{AU}$ .