Extragalaktická astronomie - řešení

Řešení úlohy 13.1
$$T=\left(\frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{M_1+M_2}\right)^{1/2}\cong7.10^{10}\,$$roků, tedy asi 70 miliard let. Tato doba převyšuje stáří vesmíru, jde o teoretický výpočet.

Řešení úlohy 13.2
Dosazením obdržíme $\frac{a}{b}=3,3$

Řešení úlohy 13.3
Při výběru vhodných čar vyjdeme ze vztahu $\left(z+1\right)\lambda_l=\lambda_p$, kde $\lambda_p$ musí být v optické části spektra. Tedy v případě a) všechny čáry od Ne III, b) čáry C III až po čáru Ne III, c) čáry L$_\alpha$ až C IV.

Řešení úlohy 13.4
Využijeme vztah $\left(z+1\right)\lambda_l=\lambda_p$. Nejvhodnější a nejčastěji používanou čarou je L$_\alpha$.

Řešení úlohy 13.5
Použitím vztahu $(z+1)\lambda_$l$=\lambda_$p zjistíme, že jde postupně o čáry H$_\alpha$, H$_\beta$, H$_\gamma$ vodíku. Vzdálenost je $r=cz/H=640\,$Mpc. Zářivý výkon kvasaru stanovíme ze vztahu $L=4\pi r^2F_$bol$= 3.10^{ 38}\,$W.

Řešení úlohy 13.6
Vzdálenost kvasaru určíme ze vztahu $r=\frac{c}{H}z=640\,$Mpc. Přibližný skutečný průměr kvasaru je $D=r2\alpha=2.10^{19}\,\mathrm{m}=700\,\pc$. Velikost výtrysku je $l=2.10^{21}\,\mathrm{m}=70\,\mathrm{k}\pc$. Zářivý výkon kvasaru je $7,9 . 10^{11}\,L_{\odot}$.

Řešení úlohy 13.7
Úbytek hmoty je roven $\frac{dM}{dt}\cong1,5\eta^{-1}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$. Při termonukleárním hoření je úbytek přibližně $150\,M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$, při akreci a volbě $\eta = 0,2$ obdržíme $7,5\,M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$.

Řešení úlohy 13.8
U první cefeidy $m_\mathrm{v} = 26,3\,$mag, $\log P = 1,39\,$dne. Ze závislosti $M_\mathrm{V} = - 2,80 \log P - 1,43$ stanovíme $M_\mathrm{V} = - 5,3\,$mag. Dosazením do vztahu $\log r = 1 + 0,2 \left(m_\mathrm{v} - M_\mathrm{V}\right) = 7,32$, $r\cong20\,$Mpc. U druhé cefeidy analogicky $m_\mathrm{v} = 25,6\,$mag, $\log P = 1,61\,$dne, $M_\mathrm{V} = - 5,94\,$mag. Vzdálenost $\log r = 7,31\,$pc, tudíž $r\cong20\,$Mpc.

Řešení úlohy 13.9
Hmotnost centrálního tělesa - černé díry určíme z III. Keplerova zákona v přesném tvaru $M\cong\frac{R^3}{G}\left(\frac{2\pi}{T}\right)^2\cong2,6.10^6\,M_{\odot}$.

Řešení úlohy 13.10
Podle Hubbleova zákona $r=v/H=4350/75=58\,$Mpc. Předpokládejte, že Velká zeď je tvořena gigantickou kupou galaxií, pro kterou platí viriálová věta. Po dosazení údajů naší Galaxie obdržíme pro hmotnost kupy galaxií $M=2R\langle v^2\rangle /G= 1,7 . 10^{ 46}\,$kg$\approx 10^{ 16}\,M_{\odot}$.

Řešení úlohy 13.11
Rychlost vzdalování je $v = cz = 6\,960\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, vzdálenost $r=v/H=93\,$Mpc.

Řešení úlohy 13.12
Vyjdeme ze vztahu pro Eddingtonův zářivý výkon $L_$Ed$=4\pi cGm_$p$M/\sigma_$T. Při 5% účinnosti je zářivý výkon aktivního galaktického jádra $6.10^{36}\,$W.

Řešení úlohy 13.13
Schwarzschildův poloměr černé díry je $r_S=\frac{2GM}{c^2}=3.10^{11}\,\mathrm{m}$. Předpokládáme tempo pádu látky o hmotnosti $m=2.10^{30}\,\mathrm{kg}.\mathrm{rok}^{-1}=6.10^{22}\,\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{-1}$. Uvolněná gravitační potenciální energie je $E_{p}=GMm\left(\frac{1}{r_S}-\frac{1}{r_a}\right)=3.10^{39}\,\mathrm{J}$, což pro zářivý výkon aktivní galaxie dává  $\cong 10^{ 39}\,\mathrm{W}$.

Řešení úlohy 13.14
V důsledku pohybu mračen dochází k rozšíření čáry. Platí vztah pro Dopplerův jev $\frac{\Delta\lambda }{\lambda}=\frac{v}{c}$. Polovina pozorované šířky $1,5\,$nm odpovídá maximálnímu posuvu čar do červené respektive fialové části optického spektra pro mračna pohybující se největší rychlostí podél zorného paprsku. Pro vlnovou délku $\lambda =486,1\,$nm obdržíme při dosazení $v=c\frac{\Delta\lambda }{\lambda}=1000\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 13.15
Nejprve z Hubbleova zákona stanovíme vzdálenost $r=\frac{v}{H}=\frac{cz}{H}= 16\,\mathrm{Mpc}$. Úhlový poloměr převedeme, $\alpha = 1,2.10^{ - 6}\,$rad. Skutečný poloměr prstence je $R=\alpha r= 5,9 . 10^{ 17}\,$m. Při zanedbání hmotnosti látky vně disku a jejím sféricko-symetrickém rozložení můžeme psát $\frac{v^2}{R}=\frac{GM}{R^2}\Rightarrow M=\frac{v^2R}{G}\cong2.10^{39}\,\mathrm{kg}\cong 10^9\,M_{\odot}$. Dosazením do vztahu pro Schwarzschildův poloměr dostaneme $R_\mathrm{S}=\frac{2GM}{c^2}\cong 3.10^{ 12}\,\mathrm{m}\cong10^{-4}\,$pc.

Řešení úlohy 13.16
Z Hubbleova zákona stanovíme vzdálenost $r = 7,7\,\mathrm{Mpc}$. Při známé úhlové velikosti poloměru $\alpha = 1,9 . 10^{ - 8}\,$rad obdržíme pro skutečný poloměr $R = \alpha r \cong 4,5.10^{ 15}\,\mathrm{ m} \cong 0,15\,$pc. Hmotnost určíme ze vztahu $M=\frac{v^2R}{G}= 8.10^{ 37}\,\mathrm{ kg}\cong4.10^7\,M_{\odot}$.

Řešení úlohy 13.17
Rychlost vzdalování stanovíme ze vztahu $v=c\frac{\left(1+z\right)^2-1}{\left(1+z\right)^2+1}=0,38c$. Vzdálenost určíme z Hubbleova zákona $r=\frac{v}{H}=1500\,\mathrm{Mpc}$. Skutečná lineární velikost zdroje je $D=10^{-3}\,1,5.10^{9}=1,5.10^{6}\,\mathrm{AU}=7,5\,\pc$.

Řešení úlohy 13.18
Rádiový výkon galaxie vypočteme $L_r=4\pi r^2\int_{\nu_1}^{\nu_2}F_\nu {\mathrm d}\nu\cong 10^{34}\,\mathrm{W}$.

Řešení úlohy 13.19
Při hodnotě $z=\frac{\lambda_p-\lambda_l}{\lambda_l}=4,93$ je rychlost $v=c\frac{\left(1+z\right)^2-1}{\left(1+z\right)^2+1}=0,95c$.

Řešení úlohy 13.20
Nejprve určíme vzdálenost $r=\frac{cz}{H}=230\,$Mpc. Zářivý výkon v rádiovém oboru je $L_r=4\pi r^2\int_{\nu_1}^{\nu_2}F_{\nu}{\mathrm d}\nu\cong 10^{37}\,\mathrm{W}$.

Řešení úlohy 13.21
Při $\Delta z \cong\frac{\Delta v}{c}\Rightarrow\Delta v\cong 1,5.10^6\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Rychlost tepelného pohybu při zadané teplotě je $v_\mathrm{t}\cong\left(\frac{2kT}{m_{\mathrm{H}}}\right)^{1/2}\cong10^4\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$, kde předpokládáme hmotnost atomu vodíku $m_{\mathrm{H}}= 1,7 . 10^{-27}\,$kg. Tudíž vznik spektrálních čar v kvasarech bude spojen s pohybem celých oblastí - mračen vyzařujícího plynu, jejich rychlost podstatně převyšuje rychlost tepelného pohybu částic.

Řešení úlohy 13.22
Minimální hmotnost černé díry je $8 . 10^8\,M_{\odot}$, minimální doba proměnnosti je $2,1\,$hod.

Řešení úlohy 13.23
$M\cong\frac{v^2}{G}R\cong2.10^7\,M_{\odot}$.

Řešení úlohy 13.24
Pro gravitačně vázanou kupu platí viriálová věta $\langle E_k\rangle=-\frac{1}{2}\langle E_p\rangle$, dosazením obdržíme $mv^2=G\frac{mM}{r}$, odkud $M=\frac{2R}{G}\langle v^2\rangle\cong 10^{14}\,M_{\odot}$.

Řešení úlohy 13.25
Pro teplotu záření ve směru apexu platí $T=T_0\left(1+\frac{v}{c}\cos\vartheta\right)$, $T-T_0=\frac{\Delta T}{2}$. Dosazením určíme $v\cong400\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 13.26
Z upravené Pogsonovy rovnice, při zadaných podmínkách, dostaneme pro vzdálenost vztah $r=10^{1-0,2M}10^{0,2m}$. Celkový počet galaxií s hvězdnou velikostí $m$ je roven $N(m)\sim r^3\sim10^{0,6m}.10^{3\left(1-0,2M\right)}$. Odtud pro poměr dostaneme $\frac{N(m+1)}{N(m)}=\frac{10^{0,6\left(m+1\right)}}{10^{0,6m}}=10^{0,6}=3,98$.

Řešení úlohy 13.27
Celkový počet fotonů v  $1\,\mathrm{m}^3$ je $N=\int_{0}^{\infty}\frac{8\pi}{\lambda}\frac{{\mathrm d}\lambda}{\exp\left(\frac{hc}{kT\lambda}\right)-1}=2.10^7T^3$. V každém m$^3$ je v současné době $2.10^7\,2,7.10^3\cong4.10^8\,$fotonů. Předpokládáme-li, že základní příspěvek pro střední hustotu vesmíru dává vodík, potom počet protonů je roven $\frac{10^{-27}}{1,67.10^{-27}}\cong0,6\,\mathrm{m}^{-3}$. Při započtení části skryté hmoty, kterou by mohla tvořit např. neutrina s nenulovou klidovou hmotností, by koncentrace protonů byla ještě nižší. Shrnuto ve vesmíru je reliktních fotonů asi $10^9\,$krát více než protonů. Základní jednotky stavební hierarchie vesmíru - hvězdy však jsou složeny převážně z protonů.

Řešení úlohy 13.28
Zkoumejme sférickou oblast prostoru o hmotnosti $M = \mathrm{konst.}$, $\rho=\rho (t)$, $R = R (t)$. V ní se pohybují částice - galaxie o hmotnosti $m$, částice na povrchu koule má rychlost $v_R$. Platí vztah pro celkovou mechanickou energii $\frac{1}{2}m v_R^2-G\frac{mM}{R}=W_c$. Odtud pro hustotu energie $w$ dostaneme $\frac{1}{2}v_R^2-G\frac{M}{R}=w$. V určitém čase $t=t_0$, platí podle Hubbleova zákona $v_R=H\,R(t)$ a dále $\rho=\rho (t_0)$. Úpravou obdržíme $R^2\left(\frac{1}{2}H^2-\frac{4}{3}G\pi\rho\right)=w$. V kritickém stavu při $R\rightarrow\infty$ je $\frac{w}{R^2}\rightarrow\infty$ platí $\frac{1}{2}H^2-\frac{4}{3}G\pi\rho_k=0$, odtud $\rho_k=\frac{3}{8}\frac{H^2}{\pi G}$. Při střední rychlosti expanze $v_R\cong\frac{R}{t}$, odkud s použitím Hubbleova zákona $v_R=H\,R$ obdržíme $t\cong\frac{1}{H}$. Přijmeme-li Hubbleovu konstantu $H = 75\, \mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}.\mathrm{ Mpc}^{-1}$ je $t\cong10^{10}\,$roků.