Záření hvězd - řešení

Řešení úlohy 4.1
Efektivní povrchovou teplotu určíme ze vztahu $T_{\mathrm{ef}}=\left(\frac{K r^2}{\sigma R_{\odot}^2}\right)^{1/4}=5\,780\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 4.2
Vyjdeme z upravené Pogsonovy rovnice: $2,5\log\frac{L}{L_{\odot}}=4,75-M_{\mathrm{bol}}$; obdržíme $\log L = 28,49 - 0,4 M_{\mathrm{bol}}$, $M_{\mathrm{bol}}= 71,23 - 2,5 \log L$, $m_{\mathrm{bol}}- M_{\mathrm{bol}}= 5 \log r - 5$, $m_{\mathrm{bol}}= - 19,01 - 2,5 \log F_{\mathrm{bol}}$.

Řešení úlohy 4.3
Ze Stefanova-Boltzmannova zákona vyplývá $\frac{{\mathrm d}L}{L}=2\frac{{\mathrm d}R}{R} + 4\frac{{\mathrm d}T_{\mathrm{ef}}}{T_{\mathrm{ef}}}$. Pro malé změny poloměru a teploty obdržíme přibližně $\frac{\Delta L}{L}=2\frac{\Delta R}{R} + 4\frac{\Delta T_{\mathrm{ef}}}{T_{\mathrm{ef}}}$. Podle zadání úlohy dosadíme $\frac{\Delta R}{R} = -\epsilon$ a $\frac{\Delta T_{\mathrm{ef}}}{T_{\mathrm{ef}}} = + \epsilon$ a získáme $\frac{\Delta L}{L}=2\epsilon$. Při $\epsilon=0,02$ se zářivý výkon hvězdy zvětší o $4\%$.

Řešení úlohy 4.4
Ze Stefanova-Boltzmannova zákona vyplývá $L_0\sim T_{\mathrm{ef}}^4$, při nárůstu teploty platí $L\sim\left[\left(1+\frac{1}{20}\right)T_{\mathrm{ef}}\right]^4\sim1,22\, L_0$.

Řešení úlohy 4.5
Při stejném poloměru obou hvězd platí $M_1-M_2=-2,5\log\frac{L_1}{L_2}=-10\log\frac{T_1}{T_2}$. Při $\frac{T_1}{T_2}=1,1$ je ${M_{\mathrm{bol}}}_1-{M_{\mathrm{bol}}}_2=-0,414\,\mathrm{mag}$.

Řešení úlohy 4.6
Určíme vzdálenost hvězdy $r=\frac{1}{\pi}=20\,\pc$, úhlový poloměr $\alpha = 0,5 . 10^{-7} \mathrm{rad}$. Skutečný poloměr $R = \alpha r = 3,09 . 10^{10} \mathrm{m}= 44 \,R_{\odot}$. Efektivní povrchová teplota je $T_{\mathrm{ef}}=\left(\frac{F_{\mathrm{bol}}r^2}{\sigma R^2}\right)^{1/4}=3\,900\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 4.7
Obdobným postupem jako u předcházejících úloh stanovíme $R=1,7\,R_{\odot}$, $T_{\mathrm{ef}}=6\,550\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 4.8
Zářivý výkon určíme ze vztahu $L = 4 \pi R^2 \sigma T_{\mathrm{ef}}^4 = 9,67 . 10^{28}\,\mathrm{W}= 251\,L_{\odot}$. Poloměr hvězdy stanovíme ze vztahu $R=\left(\frac{L}{4\pi \sigma T_{\mathrm{ef}}^4}\right)^{1/2}$. Absolutní bolometrickou hvězdnou velikost stanovíme ze vztahu $\log L = 0,4\, (4,75 - M_{\mathrm{bol}})$, odkud  $M_{\mathrm{bol}}= - 1,24\, \mathrm{mag}$. Pozorovanou bolometrickou hvězdnou velikost získáme z upravené Pogsonovy rovnice $m_{\mathrm{bol}}= M_{\mathrm{bol}}+ 5 \log r - 5 = 2,99 \,\mathrm{mag}$. Modul vzdálenosti je $m_{\mathrm{bol}}- M_{\mathrm{bol}}= 4,23\, \mathrm{mag}$. Vlnová délka hodnoty maximální intenzity záření zjištěná z Wienova posunovacího zákona je $\lambda_{\mathrm{max}} = 644 \,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 4.9
Nejprve určíme zářivý výkon hvězdy $L=4\pi r^2 F_{\mathrm{bol}} =1,5.10^{28}\,\mathrm{W}$, tedy $L=39\,L_{\odot}$. Dále stanovíme poloměr hvězdy $R=\left(\frac{L}{4\pi \sigma T_{\mathrm{ef}}^4}\right)^{1/2}$ vyjádřeno v jednotkách poloměru Slunce $R=9\,R_{\odot}$. Úhlový průměr $2\alpha=2\frac{R}{r}=3,9.10^{-8}\,\mathrm{rad}$, tedy $0,008''$. Hodnota je měřitelná současnými prostředky. Ze vztahu $\log L =0,4\left(4,75-M_{\mathrm{bol}}\right)$ nalezneme $M_{\mathrm{bol}}=0,77\,\mathrm{mag}$, $\mathrm{BC}=M_{\mathrm{bol}}-M_{\mathrm{V}}=-0,26\,\mathrm{mag}$, což odpovídá tabulkovým hodnotám.

Řešení úlohy 4.10
$\alpha=\frac{R}{r}$, skutečný poloměr $R = \alpha r = 1,89 . 10^9\,\mathrm{m}$, tedy $2,7\,R_{\odot}$. Efektivní povrchovou teplotu získáme ze vztahu $T_{\mathrm{ef}}=\left(\frac{F_{\mathrm{bol}}r^2}{\sigma R^2}\right)^{1/4}=9\,500\,\mathrm{K}$. Zářivý výkon stanovíme ze vzorce $L = 4 \pi r^2 F_{\mathrm{bol}}= 2,07 . 10^{28}\,\mathrm{W}= 54\,L_{\odot}$.

Řešení úlohy 4.11
Využijeme řešení předchozích úloh, $L=54\,L_{\odot}$. Absolutní bolometrickou hvězdnou velikost stanovíme ze vztahu $\log L =0,4\left(4,75-M_{\mathrm{bol}}\right)$, $M_{\mathrm{bol}}=0,42\,\mathrm{mag}$.

Řešení úlohy 4.12
$R=25\,R_{\odot}$, $T_{\mathrm{ef}}=4\,300\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 4.13
Dosadíme do vztahu $M_{\mathrm{bol}}=m_{\mathrm{bol}}+5+5\log \pi$, $M_{\mathrm{bol}}= 8,9\,\mathrm{mag}$.

Řešení úlohy 4.14
$M_{\mathrm{bol}}=\mathrm{BC}+M_{\mathrm{V}}=11,1\,\mathrm{mag}$. Zářivý výkon v jednotkách zářivého výkonu Slunce stanovíme podle vztahu $\log L=0,4(4,75-11,1)=-2,54$, tedy $L=0,003\,L_{\odot}$, $L=1,2.10^{24}\,\mathrm{W}$. Poloměr určíme ze vztahu $R=\left(\frac{L}{4\pi \sigma T_{\mathrm{ef}}^4}\right)^{1/2}=1,2.10^{8}\,\mathrm{m}$, tedy $0,17\,R_{\odot}$. Údaje v podstatě odpovídají Barnardově hvězdě, která má největší známý vlastní pohyb $10,34''$ za rok. Byla objevena E. E. Barnardem roku 1916.

Řešení úlohy 4.15
Fotosféru Slunce můžeme považovat v prvním přiblížení za šedou (šedý zářič). Zdrojem neprůzračnosti je $\mathrm{H}^{-}$ absorbující procházející záření u všech vlnových délek téměř stejně, neselektivně. Proto lze zjednodušeně pokládat spojité záření Slunce za téměř odpovídající zákonům záření černého tělesa (ZZČT). U Vegy je základním zdrojem absorpce v atmosféře neutrální vodík, jehož absorpce je výrazně selektivní. Spojité záření tak přichází z odlišných hloubek o různé teplotě, intenzita záření spojitého spektra se tudíž odlišuje od planckovské intenzity. Ta je dále narušena balmerovským skokem, jehož velikost roste s teplotou od spektrální třídy G k A, u Vegy je mnohem větší než u Slunce.

Řešení úlohy 4.16
V prvním případě, rozdělení podle vlnových délek $I_\lambda$, má Wienův posunovací zákon tvar $\lambda_{\max} T = 0,0029$. Křivka, zachycující intenzitu jako funkci vlnové délky, dosahuje maxima při $\lambda_{\max} = 500\,\mathrm{nm}$. Méně častější je vyjádření rozdělení intenzity podle frekvence $I_\nu = \frac{2h\nu^3}{c^2}\frac{1}{\mathrm{e}^{h\nu/ k T}-1}$. Z podmínky $\frac{\mathrm{d}I_\nu}{\mathrm{d}\nu}$ dostaneme $\nu=\frac{2,83 kT}{h}$, odkud po úpravě obdržíme $\lambda_{\max} T =0,0051$, což dává polohu maxima $\lambda_{\max} = 800\,\mathrm{nm}$. Tedy obě vlnové délky se výrazně odlišují.

Řešení úlohy 4.17
Sférickou vrstvou o poloměru $r$ projde ${\mathrm d}M=\rho {\mathrm d}V=\left(nm_{\mathrm{H}}\right)\left(4\pi r^2 v {\mathrm d}t\right)$. Zmenšení hmotnosti lze vyjádřit $\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t} = 4\pi r^2 nm_{\mathrm{H}}= 4\pi r^2 \rho v$. Numerickým dosazením obdržíme úbytek hmotnosti Slunce $3. 10^{-14}\,M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$.

Řešení úlohy 4.18
Nejprve určíme dobu pobytu $\tau_{\mathrm{HP}}$ hvězd na hlavní posloupnosti; postupně je tato doba pro jednotlivé hvězdy $6,4.10^{6}$ roků, $3,9.19^{6}$ roků a $2,3.10^{6}$ roků. Dále stanovíme $\log\frac{L}{L_{\odot}}$ - $4,639$, $5,689$, $6,520$. Následuje výpočet úbytku hmotnosti vyjádřený v jednotkách $M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$ - $1,9.10^{-7}$, $4,3.10^{-6}$, $5,2.10^{-5}$, což dává celkové úbytky hmotnosti $1,18\,M_{\odot}$, $17\,M_{\odot}$ a $119\,M_{\odot}$, v procentech $5\%$, $28\%$ a $99\%$ původní hmotnosti.

Řešení úlohy 4.19
Z obrázku je zřejmé, že $\tan\theta=\frac{b}{F}, \Rightarrow F=\frac{b}{\tan\theta}$. V přiblížení slabého gravitačního pole s ohledem na malý úhel $\theta$ obdržíme $F\approx\frac{b}{\theta}\approx\frac{b^2}{R_\mathrm{g}}\approx \frac{b^2c^2}{2G M}$ při $\theta=\frac{2R_\mathrm{g}}{b}$. Dále při $b\approx R\Rightarrow F\approx \frac{c^2R^2}{2GM}$. Příkladně pro Slunce $F\approx1,7.10^{14}\,\mathrm{m}$. Protože $ZS\approx l =1,5.10^{11}\,\mathrm{m}$, potom $F\gg l$. Tudíž ze Země nemůžeme pozorovat efekt gravitační čočky v gravitačním poli Slunce. Nejbližší hvězda Proxima Centauri se od Země nachází ve vzdálenosti $l\approx 4.10^{16}\,\mathrm{m}\gg F$. Libovolná z hvězd tak může sloužit jako gravitační čočka. Je však nutné, aby zdroj záření hvězda - čočka a pozorovatel se nacházeli na jedné přímce. V rámci OTR, silném gravitačním poli, je ohnisková vzdálenost určována z Einsteinova vztahu $F\approx\frac{b^2}{2R_\mathrm{g}}\approx \frac{b^2c^2}{4GM}$. Pro Slunce $b\approx R$ obdržíme $F\approx 8,3.10^{13}\,\mathrm{m}$. Proto zůstávají v platnosti předchozí závěry pro slabé gravitační pole.

Řešení úlohy 4.20
Při $L_{\odot}= 3,86.10^{26}\,\mathrm{W}$ a teplotě Slunce $T_\odot = 5\,777\,\mathrm{K}$ stanovíme zářivý výkon a teplotu hvězdy 18 Sco takto $L_$Sco$= 4,05.10^{26}\,\mathrm{W}$ a teplota $T_$Sco$= 5\,687\,\mathrm{K}$. Poloměr hvězdy určíme ze vztahu $R=\left(\frac{L_\text{Sco}}{4\pi \sigma T_\text{ef, Sco}^4}\right)^{1/2}= 7,4.10^{8}\,\mathrm{m}$.

Řešení úlohy 4.21
Nejprve stanovíme zářivý výkon Siria A, $L=4\pi r^2F_$bol$= 1,11.10^{28}\,$W. Poloměr hvězdy určíme ze vztahu $R=\left(\frac{L}{4\pi \sigma T_{\mathrm{ef}}^4}\right)^{1/2}= 1,18.10^{9}\,\mathrm{m}$.

Řešení úlohy 4.22
Ze vztahů $r=1/\pi$ a $R = \alpha r$ určíme poloměr hvězdy $R = 8,7.10^{8}\,\mathrm{m}$, tedy $1,25\,R_{\odot}$. Dále stanovíme zářivý výkon hvězdy $L=4\pi r^2F_$bol$= 5,9 . 10^{26}\,\mathrm{W}= 1,53\,L_{\odot}$. Konečně $T_{\mathrm{ef}}=\left(\frac{L}{4\pi\sigma R^2}\right)^{1/4}= 5\,750\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 4.23
Efektivní teplotu hvězdy můžeme vyjádřit vztahem $T_{\mathrm{ef}}=\left(\frac{4\pi r^2F_\text{bol}}{4\pi R^2\sigma}\right)^{1/4}= \left(\frac{r^2F_\text{bol}}{R^2\sigma}\right)^{1/4}$. Předpokládáme, že $r$, $R$ jsou konstantní, tudíž $T_{\mathrm{ef}}=$konst.$F_$bol$^{1/4}$. Pro malé změny platí $\frac{\mathrm{d}T_{\mathrm{ef}}}{T_{\mathrm{ef}}}=\frac{1}{4}\frac{\mathrm{d}F_\text{bol}}{F_\text{bol}}$, $\frac{\mathrm{d} T_{\mathrm{ef}}}{T_{\mathrm{ef}}}=0,0025$. Odpovídající změna teploty je $\mathrm{d}T_{\mathrm{ef}}=0,0025\,T_{\mathrm{ef}}=14\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 4.24
Nejprve stanovíme poloměr hvězdy $R=\alpha r= 1,3 .10^{9}\,\mathrm{m}= 1,9\,R_{\odot}$. Propočítaný zářivý výkon hvězdy je $4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{ef}}^4= 4,2.10^{27}\,\mathrm{W}$. Odtud vypočítaná hustota zářivého toku $F_$bol$=1,3.10^{-8}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$, bolometr má dostatečnou prahovou citlivost.

Řešení úlohy 4.25
Při paralaxe $\pi = 0,175''$ je vzdálenost hvězdy $r = 5,7\,\pc$. Teplotu určíme z Wienova posunovacího zákona $T=b/\lambda=1000\,\mathrm{K}$. Zářivý výkon $L=4\pi R^2\sigma T_{\mathrm{ef}}^4= 3,2.10^{21}\,\mathrm{W}$. Požadovaná minimální prahová citlivost je $F_$bol$=\frac{L}{4\pi r^2}=8,2.10^{-15}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$.

Řešení úlohy 4.26
Dosazením do vztahu $m - M = 5\log r - 5$, $m = 6\,\mathrm{mag}$ určíme hledanou vzdálenost $r = 17,8\,\pc$. Odtud je hustota zářivého toku $F_$bol$=\frac{L}{4\pi r^2}= 10^{ - 10}\,\mathrm{W}.\mathrm{m}^{-2}$. Při předpokládané ploše lidského oka $P = 1\,$cm$^{2}$ je celková přijímaná energie za jednu sekundu $E=F_$bol$P= 10^{ -14}\,$J. Energie jednoho fotonu je $\epsilon=h\nu=hc/\lambda= 3,6.10^{-19}\,$J. Počet fotonů je tak roven $n=E/\epsilon= 2,8.10^{4}\,$s$^{-1}$.