Základy hvězdné spektroskopie - řešení

Řešení úlohy 5.1
$2,17 . 10^{-18} \,\mathrm{J} = 13,55 \,\mathrm{eV}$, $2,46 \,\mathrm{eV}$, $1,88 \,\mathrm{eV}$, $9,49 . 10^{-5} \,\mathrm{eV}$, $5,87 . 10^{-6}\,\mathrm{eV}$.

Řešení úlohy 5.2
$- 13,583 \,\mathrm{eV}$, $- 3,390 \,\mathrm{eV}$, $- 1,511 \,\mathrm{eV}$, $- 0,849 \,\mathrm{eV}$, $- 0,543 \,\mathrm{eV}$; $121,6\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.3
Balmerova série, čtvrtá čára $\mathrm{H}_{\delta}$ s  $\lambda=410,2\,\mathrm{nm}$, fialová barva.

Řešení úlohy 5.4
Dosadíme do vztahu $\lambda=\frac{hc}{E_{10}-E_{9}}= 4 . 10^{-5}\,\mathrm{m}$, čáry leží v submilimetrovém pásmu v infračervené oblasti spektra a nemůžeme je z povrchu Země pozorovat.

Řešení úlohy 5.5
$\lambda\ge\frac{hc}{E}= 621,5\,\mathrm{nm}$, podmínku splňuje čára Balmerovy série $\mathrm{H}_{\alpha}$ o vlnové délce $\lambda = 656,28\,\mathrm{nm}$, pro kterou platí $\frac{1}{\lambda}=R\left(\frac{1}{2^2}-\frac{1}{3^2}\right)$.

Řešení úlohy 5.6
$E=h\frac{c}{\lambda}$, $\frac{1}{2}mv^2=\frac{3}{2}kT_\mathrm{k}$, přechod A $\rightarrow$B, $E = 3,9 . 10^{-19}\,\mathrm{J}$, $T_\mathrm{k}\cong 19\,000\,\mathrm{K}$, přechod A $\rightarrow$C, $E = 8,5 . 10^{-19}\,\mathrm{J}$, $T_\mathrm{k}\cong 40\,000\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 5.7
$22,98\,\mathrm{eV}$.

Řešení úlohy 5.8
$v_{\mathrm{m}}=\left(\frac{2kT}{m}\right)^{1/2}$, $128\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $17\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $v_{\mathrm{p}} =\left(2G\frac{M_{\odot}}{R_{\odot}}\right)^{1/2}= 617\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Hodnoty rychlostí atomů vodíku a železa jsou nižší než hodnota únikové rychlosti Slunce, proto zůstávají v koróně.

Řešení úlohy 5.9
$v_{\mathrm{m}}=\left(\frac{2kT}{m_e}\right)^{1/2} = 5500\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, $v_{\mathrm{p}} =\left(2G\frac{M_{\odot}}{R_{\odot}}\right)^{1/2}= 617\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$, coulombovská přitažlivá síla elektronů k protonům způsobuje, že zůstávají v koróně Slunce.

Řešení úlohy 5.10
$\lambda=\frac{\lambda_1+\lambda_2}{2} = 589,3\,\mathrm{nm}$, $N=\frac{\lambda}{m\Delta\lambda} = 491$. Hledaná vzdálenost je $\Delta x =x_2-x_1$, $x_1=f\,\mathrm{tg}\,\alpha_1$, $x_2=f\,\mathrm{tg}\,\alpha_2$, úhly určíme $\sin\alpha_1=\frac{\lambda_1}{d}$, $\sin\alpha_2=\frac{\lambda_2}{d}$. Dosazením dostaneme $\Delta x=0,36\,\mathrm{mm}$.

Řešení úlohy 5.11
Počet vrypů určíme dosazením do vztahu $\frac{1}{d}=\frac{\lambda}{Dm\Delta\lambda}=1120\,\mathrm{mm}^{-1}$.

Řešení úlohy 5.12
Velikost gravitačního rudého posuvu $\Delta\lambda=\frac{GM}{c^2R}\lambda=10^{-3}\,\mathrm{nm}$ porovnáme s velikostí dopplerovského posuvu $\Delta\lambda= \frac{\nu}{c}\lambda=3.10^{-3}\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.13
Pro příčný Dopplerův jev, při zanedbání členů s vyššími mocninami, platí vztah $$\lambda'=\frac{\lambda}{1+\frac{1}{2}\frac{\nu^2}{c^2}}$$, předpokládáme platnost vztahu $\nu=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda}$.
a) $\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = \frac{1}{2}\frac{\nu^2}{c^2} =0,5.10^{-8}$, $\nu = c\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = 1,5\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$,
b) $\frac{\Delta\lambda}{\lambda} = 0,5.10^{-6}$, $\nu = 150\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$.
V prvním případě příčný Dopplerův jev nemusíme uvažovat, v druhém ano.

Řešení úlohy 5.14
Z atomové fyziky je znám vztah $\lambda_{\mathrm{H}} R_{\mathrm{H}} = \lambda_{\mathrm{D}} R_{\mathrm{D}}$, $$R=\frac{R_{\infty}}{1+\frac{m_e}{M}}$$. Při zanedbání malých veličin dostaneme $1-\frac{\lambda_{\mathrm{H}}}{\lambda_{\mathrm{D}}} =\frac{m_e}{M_{\mathrm{D}}}-\frac{m_e}{M_{\mathrm{H}}}$. Dosadíme $\frac{m_e}{M_{\mathrm{H}}}=\frac{1}{1835}$ a obdržíme $\frac{m_e}{M_{\mathrm{D}}}=\frac{1}{3727}$, tedy $\frac{M_{\mathrm{D}}}{M_{\mathrm{H}}}\cong2$, izotopem je deuterium.

Řešení úlohy 5.15
$\Delta\lambda\cong0,08\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.16
$\Delta\lambda = \frac{2\lambda}{c}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{1/2}$, jednotlivé hodnoty šířek $\Delta\lambda$ se liší členem $T^{1/2}$. Pro čáru K CaII a jednotlivé teploty dostaneme $\Delta\lambda_1 = 0,0029\,\mathrm{nm}$, $\Delta\lambda_2 = 0,0037\,\mathrm{nm}$. Při fyzikální podmínkách ve fotosférách je teplotní rozšíření zpravidla dominantní. S rostoucí hmotností atomů klesá šířka čar.

Řešení úlohy 5.17
$\Delta\lambda=0,01\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.18
Pro vodíkovou čáru $\mathrm{H}_{\alpha}$ je $\Delta\lambda \cong 2,4 . 10^{-5}\,\mathrm{nm}$, což je hodnota velmi malá, srovnatelná s přirozeným rozšířením spektrální čáry. Při narůstání hustoty atomů ve fotosféře se srážkové rozšíření zvyšuje.

Řešení úlohy 5.19
Vedle jiných příčin je rozhodující rozšíření čar vyvolané tepelným pohybem atomů. Při teplotě $5\,780\,\mathrm{K}$ je rychlost vodíkových atomů asi $12\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Vlnová délka $500\,\mathrm{nm}$ viditelného světla se při takové rychlosti posouvá o  $\Delta\lambda=\lambda\frac{\nu}{c}\cong 0,02\,\mathrm{nm}$. Šířka čáry je tak $2\Delta\lambda\cong 0,04\,\mathrm{nm}$. Ve skutečnosti jsou však balmerovské čáry mnohem širší než činí tento hrubý odhad, důležité je rozšíření křídel čar srážkami. Jednotlivé části zejména mohutných spektrálních čar vznikají v různých vrstvách atmosféry.

Řešení úlohy 5.20
Dosazením obdržíme $\Delta\lambda\cong \frac{\lambda^2}{2\pi c}\left(\frac{1}{\Delta t_1}+\frac{1}{\Delta t_2}\right)\cong 4,6. 10^{-5}\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.21
$\Delta\lambda=2.10^{-5}\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.22
$\Delta\nu=\frac{\gamma}{2}\,$, $\Delta\lambda = \frac{\lambda^2}{c}\Delta\nu=\frac{\lambda^2\gamma}{2c}=10^{-5}\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.23
Rotační obvodová rovníková rychlost je rovna $v_r=\frac{2\pi R}{P}=200\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Rozšíření čáry podmíněné rotací je dáno vztahem $\Delta\lambda_r=\lambda\frac{2v_r}{c}$, po dosazení obdržíme $\Delta\lambda_r=0,7\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.24
$\Delta\lambda_r=\frac{\lambda}{c}v_{\mathrm{rot}}\sin i$, $v_{\mathrm{rot}} \sin i = 55\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 5.25
Okrajové ztemnění zmenšuje rozšíření čar spojené s rotací hvězdy.

Řešení úlohy 5.26
Využijeme vztah pro Zeemanův jev $\Delta \lambda=47\lambda^2 B$, odkud $B\cong0,1\,\mathrm{T}$.

Řešení úlohy 5.27
Pro spektroskopickou zjistitelnost musí platit $\Delta\lambda_{\mathrm{Z}}>\Delta\lambda_{\mathrm{rot}}+\Delta\lambda_{\mathrm{tep}}$, tedy $47\lambda^2B>\frac{2\lambda v_r}{c}+\frac{2\lambda}{c}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{1/2}$, dosazením obdržíme $B > 0,4 \,\mathrm{T}$.

Řešení úlohy 5.28
Pro rozšíření vyvolané Zeemanovým jevem vyjádřeným v SI platí: $\Delta\lambda_{\mathrm{Z}}=47\lambda^2 B$, odtud $B = 3,4\,\mathrm{T}$. Jev bude spektroskopicky zjistitelný, při $\Delta\lambda_{\mathrm{Z}}>\Delta\lambda_{\mathrm{rot}}+\Delta\lambda_{\mathrm{tep}}$, tedy $\Delta\lambda_{\mathrm{Z}}>\frac{2\lambda v_r}{c}+\frac{2\lambda}{c}\left(\frac{2kT}{m}\right)^{1/2}$, po dosazení obdržíme: $0,03 \,\mathrm{nm}> 0,021 \,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 5.29
Ze vztahu $\Delta\lambda_{\mathrm{Z}}=47\lambda^2 B$ stanovíme $B = 0,3 \,\mathrm{T}$. Různost vlnových délek rozštěpených čar odpovídá rychlosti $v_r=c\frac{\Delta\lambda}{\lambda}=2\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$.

Řešení úlohy 5.30
$\Delta\lambda_{\mathrm{rot}} =2\lambda\frac{v_{\mathrm{rot}}}{c}=0,28\,\mathrm{nm}$, $\Delta\lambda_{\mathrm{Z}}=47\lambda^2 B=8,7.10^{-4}\,$$\mathrm{nm}$. Nelze tedy spektroskopicky rozšíření čar zjistit.