Nitro hvězd - řešení

Řešení úlohy 6.1
pp řetězec: $\Delta m=4\,{}_1^1\mathrm{H}-{}_2^4\mathrm{He}=4,76.10^{-29}\,\mathrm{kg}$, $\Delta E=\Delta mc^2=4,29.10^{-12}\,\mathrm{J}$, tedy $26,8\,\mathrm{MeV}$. Pro 3$\alpha$ proces: $\Delta m=3\,{}_2^4\mathrm{He}-{}_{6}^{12}\mathrm{C}=1,29.10^{-29}\,\mathrm{kg}$, $\Delta E=\Delta mc^2=1,16.10^{-12}\,\mathrm{J}$, tudíž $7,2\,\mathrm{MeV}$.

Řešení úlohy 6.2
Obdobným postupem jako u první úlohy určíme $\Delta E = 39,3\,\mathrm{MeV}$.

Řešení úlohy 6.3
Užijeme vztahy $\rho_\mathrm{c}=\frac{15 M}{8\pi R^3},$ $P_\mathrm{c}=\frac{15 GM^2}{16\pi R^4}$ a dosadíme do stavové rovnice pro ideální plyn $P=\frac{A}{\mu}\rho T \Rightarrow T_\mathrm{c}=\frac{1}{2}\frac{\mu G}{A}\frac{M}{R}$. Odtud obdržíme $M=\frac{2T_\mathrm{c} RA}{\mu G}$.

Řešení úlohy 6.4
Počet atomů ${}_{18}^{37}\mathrm{Ar}$ je $n = \phi\sigma t N_{\mathrm{Cl}}$, kde $t = 1\,\mathrm{rok} = 3,2 . 10^7\,\mathrm{s}$, $N_{\mathrm{Cl}}$ je počet atomů chlóru, $\phi=\frac{N}{4\pi r^2}$ je tok neutrin na Zemi. Odtud obdržíme $N_{\mathrm{Cl}}=\frac{4\pi r^2 n}{N\sigma t}$. Při experimentu je nezbytné použít $\mathrm{C}_2\mathrm{Cl}_{4}$ o hmotnosti $M=\frac{\mu N_{\mathrm{Cl}}}{4\eta}=\mu N_{\mathrm{Cl}}$, $M \cong 560\,\mathrm{tun}$. V této úloze je $\mu$ molekulární hmotnost.

Řešení úlohy 6.5
Z uvedených hodnot centrálních teplot vyplývá, že jde o hvězdy s velkými hmotnostmi, kde probíhá CNO cyklus, u něhož množství uvolňované energie $\sim T^{18}$. Hledaný poměr je $\left(\frac{20}{18}\right)^{18}$, k jehož výpočtu využijeme vztah $\lim_{n\rightarrow\infty}\left(1+\frac{x}{n}\right)^n={\mathrm e}^x$, tedy $\left(\frac{20}{18}\right)^{18}=\left(1+\frac{2}{18}\right)^{18}\cong {\mathrm e}^2 \cong 7$.

Řešení úlohy 6.6
Vyjdeme z vlastností fotonového plynu. Počet fotonů v objemové jednotce je $$n=8\pi\left(\frac{kT}{hc}\right)^3 \int_{0}^{\infty}\frac{x^2}{{\mathrm e}^x-1}{\mathrm d}x = 2,404\frac{8\pi k^3}{h^3 c^3} T^3 = 2,03.10^{7}T^3$$, hustotu energie fotonů vyjádříme $$u = 8\pi\left(\frac{kT}{hc}\right)^3 kT \int_{0}^{\infty}\frac{x^3}{{\mathrm e}^x-1}{\mathrm d}x = 7,57.10^{-16}T^4$$. Pro střední energii připadající na jeden foton lze odvodit $E_\mathrm{f}=2,70kT=3,73.10^{-23}T$. Pro tlak záření platí $P_{\mathrm{r}}=\frac{4\sigma}{3c}T^4$, intenzitu záření vyjádříme $I=\sigma T^4$. Propočítané výsledky shrneme v tabulce:

Vlastnosti	Povrch Slunce $5,8 . 10^3\,\mathrm{K}$	Střed Slunce $1,5 . 10^7\,\mathrm{K}$
Střední energie fotonu $[\mathrm{eV}]$	$1,3$	$3,5.10^3$
Hustota fotonů $n\,[\mathrm{m}^{-3}]$	$4 . 10^{18}$	$7 . 10^{28}$
Hustota energie $u\,[J.\mathrm{m}^{-3}]$	$0,9$	$4 . 10^{13}$
Tlak záření $P_{\mathrm{r}} [\mathrm{Pa}]$	$0,1$	$5 . 10^{12}$
Intenzita záření $I\, [\mathrm{W.m}^{-3}]$	$6,4 . 10^7$	$29. 10^{20}$

Řešení úlohy 6.7
Počet fotonů vyzářených Sluncem za l sekundu je dán vztahem $\frac{\sigma T^4}{2,7 kT}4\pi R_{\odot}^2\cong 1,8.10^{45}$. Počet neutrin se střední energií lze odhadnout takto. V první úloze jsme vypočetli energii $4,29.10^{-12}\,\mathrm{J}$ uvolňovanou při syntéze vodík  $\rightarrow$ helium. Slunce za jednu sekundu vyzáří $3,8.10^{26}\,\mathrm{J}$. Tedy za jednu sekundu vznikne přibližně $10^{38}$ heliových jader. Při vzniku jednoho heliového jádra vzniknou dvě neutrina, proto za každou sekundu vznikne $2.10^{38}$ elektronových neutrin. Poměr počtu fotonů a neutrin je přibližně $10^7$.

Řešení úlohy 6.8
V zjednodušeném přiblížení platí pro tlakovou sílu na jednotkovou plochu tedy tlak $P_{\mathrm{c}}=4G\frac{\rho M}{R}$, po dosazením číselných hodnot hmotnosti a poloměru Slunce a průměrné hustoty $\rho=1,4.10^3\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ dostaneme pro tlak $P_{\mathrm{c}}\cong 10^{15}\,\mathrm{Pa}$. Podle standardních modelů Bahcalla je ve skutečnosti centrální tlak o řád vyšší.

Řešení úlohy 6.9
Při $\gamma=\frac{5}{3}$ lze zjednodušeně předpokládat $v_z\cong\left(\frac{5}{3}\frac{P}{\rho}\right)^{1/2}$, kde $P=\frac{P_{\mathrm{c}}}{2}$. Po dosazení obdržíme $v_z\cong8.10^5\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$. Poloměrem Slunce projdou zvukové vlny za $t=\frac{R_{\odot}}{v_z}\cong17\min$.

Řešení úlohy 6.10
$\frac{P_{\mathrm{c}}}{P_{\mathrm{c}\odot}}\cong \left(\frac{R_{\odot}}{R}\right)^4 \left(\frac{M}{M_{\odot}}\right)^2\cong 1,1$, $\frac{T_{\mathrm{c}}}{T_{\mathrm{c}\odot}}\cong \frac{R_{\odot}}{R} \frac{M}{M_{\odot}} \cong 1,4$.

Řešení úlohy 6.11
$P_{\mathrm{g}}=\frac{\mbox{\rsfsm R}}{\mu_\mathrm{r}}\rho T =3,2.10^{16}\,\mathrm{Pa}$, $P_{\mathrm{r}}=\frac{4\sigma}{3c}T^4=1,5.10^{13}\,\mathrm{Pa}$. Podstatný je tlak plynu, tlak záření je zanedbatelný.

Řešení úlohy 6.12
Dosazením do podmínky degenerace $\rho >\left(\frac{T}{75000}\right)^{3/2}10^3$ zjistíme, že není splňována. V současné fázi vývoje Slunce je v jeho nitru degenerace nepodstatná.

Řešení úlohy 6.13
Úvahy lze zjednodušit následujícím způsobem. Pro gravitační sílu platí $F_\mathrm{grav}\sim-\frac{1}{R^2}$. Tlaková síla je dána součinem tlaku $p\sim\rho^\gamma$ a povrchu $S\sim R^2$, tudíž $F_\mathrm{tlak}\sim\rho^\gamma R^2\sim R^{-3\gamma}R^{2}\sim \frac{1}{R^{3\gamma-2}}$. Obě síly za normálních podmínek klesají s rozměry hvězdy, při jejich rovnosti nastane rovnovážný stav. Obě síly klesají stejně při koeficientu $\gamma=\frac{4}{3}$.

Diskutujme dvě možnosti, nejprve nechť $\gamma>\frac{4}{3}$. V tomto případě je tlaková křivka strmější než gravitační. Jestliže hvězda náhodně zvětší své rozměry, převládne gravitační síla a hvězda se smrští. Zmenší-li hvězda své rozměry, převládne tlaková síla a hvězda zvětší svůj rozměr. Shrnuto změny objemu hvězdy nemají za následek její rozpad.

V případě $\gamma<\frac{4}{3}$ je situace odlišná. Jestliže hvězda náhodně zvětší své rozměry, převládne tlaková síla a dojde ke zvětšování objemu. Hvězda se stane nestabilní, například může odhodit vnější vrstvy. Zmenší-li své rozměry dojde ke gravitačnímu kolapsu.

Hvězdná látka bílých trpaslíků se vyznačuje polytropním indexem blízkým $\frac{ 4}{3}$, ten se však mění s hmotností bílého trpaslíka. Při kritické Chandrasekharově hmotnosti přibližně $1,44\,M_{\odot}$ má hodnotu právě $\gamma=\frac{4}{3}$ a bílý trpaslík se stává nestabilní.

Řešení úlohy 6.14
Po dosazení $P_{\mathrm{g}}=\frac{\mbox{\rsfsm R}}{\mu_\mathrm{r}}\rho T =1,6.10^{13}\,\mathrm{Pa}$, $P_{\mathrm{r}}=\frac{4\sigma}{3c}T^4=3,2.10^{14}\,\mathrm{Pa}$.

Řešení úlohy 6.15
a) Dosadíme do rovnice kontinuity
$m(r)=\int_0^r4\pi r^2\rho(r){\mathrm d}r=4\pi\rho_\mathrm{c}\left[\int_0^r r^2... ...thrm d}r\right] =4\pi\rho_\mathrm{c}\left(\frac{r^3}{3}-\frac{r^5}{5R^2}\right)$.
b) $M=m(R)=\frac{8\pi\rho_\mathrm{c}R^3}{15}$
c) $\rho=\frac{M}{V}=\frac{\frac{8\pi\rho_\mathrm{c}R^3}{15}} {\frac{4}{3}\pi R^3}=0,4\rho_\mathrm{c}$.

Řešení úlohy 6.16
a) Při konstatní hustotě platí $\rho=\overline\rho$, $m(r)=\int_0^r4\pi r^2\rho(r){\mathrm d}r=\frac{4\pi r^3}{3}\overline\rho= M\left(\frac{r}{R}\right)^3$. Dosadíme $m(r)$ do rovnice hydrostatické rovnováhy $\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}r}=-G\rho \frac{m}{r^2}$ a integrujeme od středu $P=P_\mathrm{c}$ k povrchu $P=0$. Obdržíme $P_\mathrm{c}=G\overline\rho\int_0^R\frac{m(r)}{r^2}{\mathrm d}r = \frac{3GM^2}{8\pi R^4}$; $\frac{3GM^2}{8\pi R^4}>\frac{GM^2}{8\pi R^4}$.
b) Užijeme výrazy $\rho(r)$, $m(r)$ a $M(R)$ z předchozích úloh, budeme integrovat rovnici hydrostatické rovnováhy
$P_\mathrm{c}=G\int_0^R\rho\frac{m}{r^2}{\mathrm d}r =4\pi G\rho_\mathrm{c}^2 \i... ...eft[\frac{r}{3}-\frac{r^3}{5 R^2}\right]{\mathrm d}r =\frac{15 GM^2}{16\pi R^4}$; $\frac{15 GM^2}{16\pi R^4}>\frac{GM^2}{8\pi R^4}$.

Řešení úlohy 6.17
Pro hmotnost $15\,M_{\odot}$ obdržíme $L\cong 5.10^4 L_{\odot}$. Efektivní teplotu B0 V lze odhadnout na přibližně $30\,000\,\mathrm{K}$. Poloměr hvězdy je $8\,R_{\odot}$, tudíž střední hustota $\rho\cong 40\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$.

Řešení úlohy 6.18
Pro gravitační zrychlení platí $g=G\frac{M}{R^2}$, pro $g_{\mathrm{V}}=3.10^3\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-2}$, $g_{\mathrm{I}}=9.10^{-2}\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-2}$, poměr zrychlení je roven $\frac{g_{\mathrm{V}}}{g_{\mathrm{I}}}\cong 3400$. Střední hustoty určíme ze vztahu $\rho=\frac{M}{\frac{4}{3}\pi R^3}$, poměr hustot je roven $\frac{\rho_{\mathrm{V}}}{\rho{\mathrm{I}}} = 8.10^5$.

Řešení úlohy 6.19
$22,7\,L_{\odot}$, $1,35\,\mathrm{mag}$, $530\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$, $1,7 . 10^7\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 6.20
$\mu_{\mathrm{H}}=\frac{1}{2}$, $\mu_{\mathrm{He}}=\frac{4}{3}$, $\mu_{\mathrm{kovy}}=2$, $$\mu_\mathrm{r}=\frac{1}{\frac{X}{\mu_{\mathrm{H}}} + \frac{Y}{\m... ...rm{He}}}+\frac{Z}{\mu_{\mathrm{kovy}}}}= \frac{1}{2X+\frac{3}{4}Y+\frac{1}{2}Z}$$ Protože platí $X+Y+Z=1$ dostaneme $$\mu_\mathrm{r}=\frac{2}{1+3X+0,5Y}$$.

Řešení úlohy 6.21
Postupným dosazováním podle jednotlivých případů do vztahu z předcházející úlohy obdržíme $0,615$, $0,645$, $0,678$, $1,29$.

Řešení úlohy 6.22
$$T_{\mathrm{c}}=\frac{\mu_\mathrm{r}GM}{\mbox{\rsfs R}R}$$, $$P_{\mathrm{c}}=4G\rho\frac{M}{R}$$, $\sigma \displaystyle T_{\mathrm{c}}^4=\sigma\left(\frac{\mu_\mathrm{r}GM}{\mbox{\rsfs R}R}\right)^4$, $$\frac{L}{4\pi R^2}=\frac{\sigma T_{\mathrm{c}}^4}{3\kappa\rho R}... ...c{\sigma}{3\kappa\rho R}\left(\frac{\mu_\mathrm{r}GM}{\mbox{\rsfs R}R}\right)^4$$
$$\Rightarrow L=\frac{16\pi^2\sigma G^4}{9\mbox{\rsfs R}^4} \frac{\mu_\mathrm{r}^4}{\kappa}M^3$$.

Řešení úlohy 6.23
Gradient tlaku je dán vztahem $\frac{{\mathrm d}P_z}{{\mathrm d}r}=-\frac{\kappa\rho}{c}\frac{L}{4\pi r^2}$, kde $\kappa$ je střední hodnota opacity. Rovnice hydrostatické rovnováhy $\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}r}=-G\frac{M\rho}{r^2}$ je uvažovaná na povrchu hvězdy, tedy pro $r = R$. Dosadíme a upravíme: $L_{\mathrm{Ed}}=\frac{4\pi Gc}{\kappa}M$, což je hodnota maximálního zářivého výkonu, při kterém je hvězda ještě ve stavu zářivé rovnováhy. Užívají se rovněž i tyto vztahy: $L_{\mathrm{Ed}}\cong 1,5.10^{31}\frac{M}{M_{\odot}}\cong 3,9.10^4L_{\odot}\frac{M}{M_{\odot}}$.

Řešení úlohy 6.24
Dosadíme do vztahu pro Eddingtonův limitní zářivý výkon $L_{\mathrm{Ed}}=\frac{4\pi Gc}{\kappa}M=1,3.10^{30}\,\mathrm{W}$. U hvězd nízké hmotnosti na hlavní posloupnosti, viz řešení úlohy č. 10, lze tlak záření zanedbávat.

Řešení úlohy 6.25
Podmínku $L<\frac{4\pi Gc}{k}M$ můžeme přepsat $\frac{L}{L_{\odot}}<\frac{4\pi Gc}{k} \frac{M_{\odot}}{L_{\odot}}\frac{M}{M_{\odot}}$. Odtud při využití vztahu hmotnost - zářivý výkon obdržíme $\frac{M}{M_{\odot}}<\left(\frac{4\pi Gc}{k}\frac{M_{\odot}}{L_{\odot}}\right)^{1/2}$. Dosazením $\frac{M}{M_{\odot}}=180$.

Řešení úlohy 6.26
Rovnice hydrostatické rovnováhy má v zadaném případě tvar $\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}r}=-g\rho+0,1g\rho$. Pro zjednušení budeme předpokládat konstantnost dodatečného povrchového gravitačního zrychlení na povrchu Slunce v průběhu smršťování $g = 27,41 \,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-2}$, očekávaná změna poloměru je přibližně $14000\,\mathrm{km}$. Ze vztahu $s=\frac{g}{2}t^2$ stanovíme čas $t \cong 1000\,\mathrm{s}$, tedy asi 17 minut. Změna poloměru by byla pozorovatelná ze Země.

Řešení úlohy 6.27
Předpokládáme ze zadání platnost zářivé rovnováhy ve hvězdě. Tok zářivé energie jednotkovou plochou sféry o poloměru $r$ je dán vztahem $F=\frac{L_r}{4\pi r^2}$. Energie absorbovaná ve zvoleném objemovém elementu je $\frac{L_r}{4\pi r^2}\kappa\rho {\mathrm d}r$. Tlakový gradient je $\frac{{\mathrm d}P_r}{{\mathrm d}r}=-\frac{\kappa\rho}{c}\frac{L_r}{4\pi r^2}$, kde ${\mathrm d}P_r=\frac{16\sigma}{3c}T^3{\mathrm d}T$. Dosazením obdržíme rovnici pro teplotní gradient.

Řešení úlohy 6.28
Konvekce je dominatní při splnění podmínky $$\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}r}>\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{T}{P}\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}r}$$, což lze zapsat $$\frac{3\rho\kappa}{16\sigma T^3}\frac{L(r)}{4\pi r^2}>\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{T}{P}\frac{GM(r)}{r^2}\rho$$. Po dosazení obdržíme $0,06 > 0,009$, tedy podmínka nastolení konvekce je splňována.

Řešení úlohy 6.29
Minimální kritická hodnota zářivého výkonu na jednotku hmotnosti přenášená konvekcí je dána vztahem $\frac{\gamma-1}{\gamma}\frac{16\pi G c}{\kappa}\frac{a T^4}{3}\frac{1}{P}$, kde $a=\frac{4\sigma}{c}$. Po číselném dosazení obdržíme $1,36 \, 10^{ -3}\,\mathrm{ W}. \mathrm{ kg}^{ -1}$. Protože propočítaná hodnota je větší, přenos konvekcí nenastává.

Řešení úlohy 6.30
Střední volná dráha fotonu je $l=\frac{1}{\kappa\rho}=7.10^{-3}\,\mathrm{m}$. Při centrální teplotě Slunce $T_{\mathrm{c}}= 1,4 . 10^7\,\mathrm{K}$ a přibližné povrchové teplotě $T_{\mathrm{p}} = 6 . 10^3 \,\mathrm{K}$ je střední teplotní gradient roven $\frac{\Delta T}{\Delta r}=\frac{T_{\mathrm{c}}-T_{\mathrm{p}}}{R_{\odot}}\cong 2.10^{-2}\,\mathrm{K}.\mathrm{m}^{-1}$. Pro šíření fotonu nitrem Slunce k povrchu platí $R_{\odot}=\sqrt{z}\,l$, kde $z$ udává počet absorpcí a emisí. Dosazením dostaneme $z=10^{22}$. Každá emise respektive reemise proběhne průměrně za $10^{-8}\,\mathrm{s}$, tedy za $10^{22}10^{-8}=10^{14}\,\mathrm{s}\cong 3.10^{6}$ roků dospěje foton k povrchu.

Řešení úlohy 6.31
Adiabatická rychlost zvuku je dána vztahem $v_z=\left(\frac{\gamma P}{\rho}\right)^{1/2}$, tlak vyjádříme z rovnice hydrostatické rovnováhy za předpokladu konstantní hustoty $\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}r}=-\frac{4}{3}\pi G\rho^2r$, pro tlak obdržíme $P(r)=\frac{2}{3}\pi G\rho^2\left(R^2-r^2\right)$. Pulsační perioda je dána vztahem $\Pi\cong 2\int_0^R\frac{{\mathrm d}r}{v_z}\cong$
$2\int_0^R{\left[\frac{2}{3}\gamma\pi G\rho\left(R^2-r^2\right)\right]^{-1/2}}{{\mathrm d}r} \Rightarrow \Pi\sim\left(\frac{3\pi}{2\gamma G\rho}\right)^{1/2}$.