Hvězdné atmosféry - řešení

Řešení úlohy 7.1
Nejčastěji uváděný tvar pro Boltzmannovu rovnici je $\log\frac{N_B}{N_A}=-\frac{5040}{T}\chi_{AB}+\log\frac{g_B}{g_A}$ respektive pro Sahovu rovnici $\log\frac{N_1}{N_0}=\frac{5}{2}\log T-\frac{5040}{T}\chi_{i}-\log P_e+\log\frac{2B_{r+1}(T)}{B_{r}(T)}-1,48$, kde $\chi_{AB}$ je excitační potenciál v eV, $\chi_{i}$ je ionizační potenciál v eV, teplota v K a elektronový tlak v Pa.

Řešení úlohy 7.2
Dosadíme do Boltzmannovy rovnice $\log\frac{N_B}{N_A}=-\frac{5040}{5780}10,16+0,6=-8,26$. Odtud dostaneme $N_B=5,5.10^{-9}N_A$, přibližně na jednu miliardu vodíkových atomů ve fotosféře připadá jeden, který má obsazenu druhou energetickou hladinu. Při pouze řádových výpočtech lze výraz $\log\frac{g_B}{g_A}$ zanedbat, zpravidla $g_B$ a $g_A$ jsou nevelká čísla stejného řádu.

Řešení úlohy 7.3
Pro Slunce platí $N_B=5,5.10^{-9}N_A$, u Vegy $N_B=1,6.10^{-5}N_A$ a pro Rigel $N_B=1,5.10^{-3}N_A$. S rostoucí teplotou narůstá počet atomů na druhé energetické hladině, odkud při přechodech vznikají absorpční čáry vodíku. Jestliže záměrně modelově neuvažujeme vliv ionizace, s rostoucí teplotou se zvětšuje intenzita vodíkových čar.

Řešení úlohy 7.4
Dosazením obdržíme $N_B=3,2.10^{-2}N_A$. Při přechodu $B\rightarrow A$ vznikají ,,zelené" nebulární čáry $\mathrm{N}_2$ a $\mathrm{N}_1$.

Řešení úlohy 7.5
Dosazením do Sahovy rovnice při volbě korekčního členu $\log\frac{2B\left(\mathrm{HI}\right)}{B\left(\mathrm{H}^{-}\right)}=\log 2\frac{2}{1}=0,602$, $\log\frac{N\left(\mathrm{HI}\right)}{N\left(\mathrm{H}^{-}\right)}=7,88\Rightarrow N\left(\mathrm{HI}\right)=7,6.10^7\,N\left(\mathrm{H}^{-}\right)$. Pouze jeden z $10^8$ vodíkových atomů je ve formě $\mathrm{H}^{-}$, tedy převážná část fotosféry je složena z neutrálních vodíkových atomů s hustotou asi $10^{17}\,\mathrm{cm}^{-3}$. Pouze ionty $\mathrm{H}^{-}$ však přispívají podstatně ke spojité absorpci. Volné elektrony poskytují kovy s nízkým ionizačním potenciálem $4,34\,\mathrm{eV}$ draslík, $5,14\,\mathrm{eV}$ sodík a $6,11\,\mathrm{eV}$ vápník.

Řešení úlohy 7.6
Do Sahovy rovnice dosadíme $\log\frac{N_1}{N_0}=\frac{5}{2}\log5780-\frac{5040}{5780}5,14-0,2 -0,08-1,48$, obdržíme $\log\frac{N_1}{N_0}=3,24$, tedy $\frac{N_1}{N_0}=1,7.10^{3}$. Stupeň ionizace je $\frac{N_1}{N_1+N_0}=0,9994$, tedy 99,94% atomů sodíku ve fotosféře Slunce je v ionizovaném stavu.

Řešení úlohy 7.7
Dosazením obdržíme $\log\frac{N_1}{N_0}=3,44\Rightarrow N_1=2,7.10^{3}N_0$. Celkově $\frac{N_1}{N_1+N_0}=0,9996$, tudíž 99,96% atomů je Fe II. Při výpočtu počtu atomů Fe III opět použijeme Sahovu rovnici $\log\frac{N_2}{N_1}=-1,18\Rightarrow N_2=6,6.10^{-2}N_1$. Celkově $\frac{N_2}{N_2+N_1}=0,062$, takže přibližně 6% atomů železa je ve stavu Fe III.

Řešení úlohy 7.8
Dosazením do Sahovy rovnice vypočteme stupeň ionizace u bílého trpaslíka $\log\frac{N_1}{N_0}=5,05$ při ionizačním potenciálu $\chi_i = 4\,\mathrm{eV}$. Dále řešíme Sahovu rovnici pro obra se zadaným stupněm ionizace, hledaná teplota obra je $T = 7\,600\,\mathrm{K}$. Obdobně pro ionizační potenciál $\chi_i = 8\,\mathrm{eV}$ dostaneme stupeň ionizace $\log\frac{N_1}{N_0}=2,65$, hledaná teplota je $T = 7\,900\,\mathrm{K}$.

Řešení úlohy 7.9
Na základě propočtu stupně ionizace ze Sahovy rovnice pro Na dostaneme u obra $\log\frac{N_1}{N_0}=3,69$, u trpaslíka $\log\frac{N_1}{N_0}=3,32$, dospějeme k závěru, že při ionizačním potenciálu $5,14\,\mathrm{eV}$ je ionizace větší ve fotosféře obra. Obdobně obdržíme u obra $\log\frac{N_1}{N_0}=1,14$, ve fotosféře trpaslíka $\log\frac{N_1}{N_0}=1,18$, při ionizačním potenciálu $7,87\,\mathrm{eV}$ železa. Ve fotosféře trpaslíka je ionizace mírně vyšší.

Řešení úlohy 7.10
Dosazením do Sahovy rovnice pro obra obdržíme $\log\frac{N_1}{N_0}=0,78\Rightarrow N_1=6,03\,N_0$, takže počet neutrálních atomů je $\frac{N_0}{N_0+N_1}=0,143$, tudíž pouze 14% atomů je neutrálních. U trpaslíka $\log\frac{N_1}{N_0}=-0,72\Rightarrow N_1=0,19\,N_0$, počet neutrálních atomů je $\frac{N_0}{N_0+N_1}=0,840$, takže 84% atomů vápníku je u trpaslíka neutrálních.

Řešení úlohy 7.11
Zavedeme označení celkového počtu atomů vodíku $N_C$, počet atomů v základním stavu $N_A$, v prvním excitovaném stavu $N_B$, $N_0$ počet neutrálních atomů a $N_1$ počet ionizovaných atomů. K určení počtu ionizovaných atomů použijeme Sahovu rovnici a k stanovení rozložení atomů mezi základní první energetickou hladinou a druhou excitovanou hladinou použijeme Boltzmannovu rovnici. Předpokládáme elektronový tlak v atmosféře Slunce $1,6\,\mathrm{Pa}$. Pro vodík ze Sahovy rovnice obdržíme $N_1=7,5.10^{-5}N_0$. Jeden vodíkový iont H II připadá na každých 13 000 neutrálních vodíkových atomů H I v atmosféře Slunce. Dosazením do Boltzmannovy rovnice dostaneme $N_B=5,0.10^{-9}N_A$. Pouze jeden z 200 miliónů vodíkových atomů se nachází na druhé energetické hladině a může vyvolat vznik absorpčních čar Balmerovy série. Celkově $\frac{N_B}{N_C}=\frac{N_B}{N_B+N_A}\frac{N_0}{N_C}=5.10^{-9}$. Vápník Ca I má ionizační potenciál pouze $6,1\,\mathrm{eV}$, tedy poloviční vzhledem k ionizačnímu potenciálu vodíku $13,6 \,\mathrm{eV}$. To má podstatný vliv na počet ionizovaných atomů, neboť Sahova rovnice je velmi citlivá k hodnotě ionizačního potenciálu, protože $\frac{\chi_i}{kT}$ je v exponentu a $kT\cong0,5\,\mathrm{eV}\ll\chi_i$. Ze Sahovy rovnice dostáváme $\frac{N_1}{N_0}=9.10^2$. Pouze jeden z 900 atomů vápníku je Ca I, prakticky téměř všechny atomy vápníku jsou ve stavu Ca II. Z Boltzmannovy rovnice pro obsazení excitovaných hladin obdržíme $N_A=2,6.10^2N_B$. Většina atomů se nachází na základní energetické hladině. Shrnuto převážná většina atomů vápníku je ve stavu Ca II a je na základní energetické hladině, tudíž existují vhodné podmínky pro vznik čar K a H Ca II.

$$\frac{N_A}{N_C}\cong\frac{N_A}{N_A+N_B}\frac{N_1}{N_C}\cong \frac{1}{1+\frac{N_B}{N_A}}\frac{\frac{N_1}{N_0}}{1+\frac{N_1}{N_0}}\cong0,995.$$

V atmosféře na $5.10^5$ vodíkových atomů připadá pouze 1 atom vápníku, ale pouze $5.10^{-9}$ z vodíkových atomů je neionizováno a nachází se na druhé energetické hladině. Celkově $5.10^5\times5.10^{-9}=2,5.10^{-3}$. Shrnuto ve fotosféře Slunce existuje $400\times$ více vápníkových iontů Ca II na základní energetické hladině umožňujícím vznik spektrálních čar K a H čar než neutrálních vodíkových atomů na druhé energetické hladině, odkud při přechodech mohou vznikat čáry Balmerovy série. Intenzita čar K a H Ca II je způsobena citlivější teplotní závislostí jeho stavů excitace a ionizace, nikoliv celkově větším množstvím vápníku ve fotosféře Slunce. Modelově zjednodušeně neuvažujeme faktor pravděpodobnosti přechodu.

Řešení úlohy 7.12
Dosazením do Inglisova - Tellerova vztahu určíme  $n_{\text{Bč}}$.

hvězda	spektrální třída	$\log N_\mathrm{e}$	$\log n_{\text{Bč}}$
$\alpha$ Cyg	A2 I	$12,2$	$29$
Sirius A	A2 V	$13,8$	$18$
$\tau$ Sco	B0 V	$14,6$	$14$
bílý trpaslík	DA	$16,4$	$8$

Řešení úlohy 7.13
V atmosférách bílých trpaslíků je mnohem vyšší hustota než v chromosféře Slunce, proto je střední vzdálenost atomů v chromosféře mnohem větší. Vzdálenosti elektronů od jader atomů nemohou být větší než střední vzdálenost mezi atomy. Proto čím je vyšší hustota, tím menší počet energetických hladin je a tudíž tím menší počet balmerovských čar může vzniknout.

Řešení úlohy 7.14
Rozhodující pro pozorovatelnost spektrálních čar je hustota atmosfér.

Řešení úlohy 7.15
Dosadíme do kombinované Boltzmannovy - Sahovy rovnice, která má tvar:

$$\frac{N_1}{N_{0,r}}P_e=\frac{\left(2\pi m\right)^{3/2}}{h^3}\left(kT\right)^{5/2} \frac{2B_1(T)}{g_{0,r}}\mathrm{e}^{\frac{\chi_i-\chi_r}{kT}},$$

udávající poměr počtu $N_1$ jedenkrát ionizovaných atomů k počtu $N_{0,r}$ neutrálních atomů nacházejících se na $r$-té energetické hladině, $\chi_i$ je ionizační potenciál, $\chi_r$ je excitační potenciál. Kombinovaná Boltzmannova-Sahova rovnice má logaritmický tvar

$$\log\frac{N_1}{N_{0,r}}=-\frac{5040}{T}\left(\chi_i-\chi_r\right)+2,5\log T -1,48+ \log\frac{2B_1(T)}{g_{0,r}}-\log P_e.$$

Dosazením dostaneme $\log\frac{N_1}{N_{0,2}}=6,72$ a při $\log N_{0,2}=15,18$ obdržíme $\log N_1=22,52\Rightarrow N_1=3,3.10^{28}\mathrm{m}^{-3}$. Tedy pouze velmi malá část atomů vodíku zůstane neutrální.

Řešení úlohy 7.16
Platí: $\frac{\left(\frac{\sigma}{\pi}\right){T_{\mathrm{ef}}^{'}}^4}{\left(\frac{\sigma}{\pi}\right){T_{\mathrm{ef}}}^4}$, kde $f$ je zlomek celkového toku záření, které je blokováno, v případě Slunce $f = 0,14$. Úpravou vztahu dostaneme $T_{\mathrm{ef}}=\left(1-f\right)^{-1/4}T_{\mathrm{ef}}^{'} \approx \left(1+\frac{f}{4}\right)T_{\mathrm{ef}}^{'}$. Po dosazení $T_{\mathrm{ef}}^{'}= 5\,780\, \mathrm{K}$ dostaneme $T_{\mathrm{ef}}= 5\, 997\, \mathrm{K}$, efektivní teplota by byla vyšší o $3,5\,\%$ tedy asi o $200\, \mathrm{K}$.

Řešení úlohy 7.17
Pro rychlost tepelného pohybu platí $v_{\mathrm{nejpr}}= \left(\frac{2kT}{m}\right)^{1/2}=1,13\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$. Šířku čáry určíme ze vztahu $\Delta\lambda=\frac{2\lambda}{c}\left(v_{\mathrm{mt}}^2+v_{\mathrm{nejpr}}^2\right)^{1/2} \cong 10^{-2}\,\mathrm{nm}$.

Řešení úlohy 7.18
Vyjdeme ze vztahů $g=G\frac{M}{r^2}$ a $\mathrm{d}\tau=-\kappa\rho\mathrm{d}r$ a dosadíme do rovnice $\frac{\mathrm{d}P}{\mathrm{d}r}=-\rho g$.

Řešení úlohy 7.19
Zjednodušeně dosadíme do vztahu pro optickou hloubku $\tau_{\lambda}=\int_0^s \kappa_{\lambda_1}\rho {\mathrm d}s$. Řešením dostaneme $s_1=\frac{\tau_{\lambda_1}}{\kappa_{\lambda_1}\rho}=103\,\mathrm{km}$, obdobně pro $s_2=\frac{\tau_{\lambda_2}}{\kappa_{\lambda_2}\rho}=89\,\mathrm{km}$.

Řešení úlohy 7.20
Teplotní škálová výška je rovna $H_T=\frac{T}{\left\vert{\mathrm d}T/{\mathrm d}r\right\vert}=674\,\mathrm{km}$. Střední volná dráha fotonů je $l=\frac{1}{\kappa\rho}$. Při volbě $\kappa=0,026\,\mathrm{m}^2.\mathrm{kg}^{-1}$ a $\rho=2,5.10^{-4}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ dostaneme $l=150\,\mathrm{km}$, což je řádově srovnatelné s $H_T$. Vzhledem k velikosti střední volné dráhy fotony vycházejí bez interakce z fotosféry. Předpoklad LTE není splňován.

Řešení úlohy 7.21
Z blízkosti okraje disku přichází záření z chladnějších vrstev o teplotě $T_0$, ve středu disku z vrstev o teplotě $T_1$, platí $T_1 > T_0$, tedy $B_{\nu}\left(T_1\right)>B_{\nu}\left(T_0\right)$. Proto je střed disku jasnější než okraj. V šedé atmosféře záření všech vlnových délek je zeslabováno stejně, avšak poměr $B_{\nu}\left(T_0\right)/B_{\nu}\left(T_1\right)$ udávající velikost okrajového ztemnění závisí na $\nu$. Protože $T_1$ se příliš neodlišuje od $T_0$ užijeme vztahu $\frac{B_{\nu}\left(T_1\right)}{B_{\nu}\left(T_0\right)}\approx\left(\frac{T_1}{T_0}\right)^{\alpha}$, kde $\alpha=\alpha\left(\nu\right)=\frac{h\nu}{kT_0}\left[1-\exp\left( -\frac{h\nu}{kT_0}\right)\right]^{-1}$. Odtud vyplývá, že velikost okrajového ztemnění je určována gradientem teploty v atmosféře. Čím rychleji roste teplota s hloubkou, tím větší je rozdíl $T_1$ a $T_0$ a důsledkem je větší okrajové ztemnění. Při konstantním gradientu teploty, t.j. při konstantním poměru $T_1/T_0$ je ztemnění odlišné na různých vlnových délkách v důsledku rozdílnosti hodnot členu $\frac{h\nu}{kT_0}$. Z analýzy výše uvedených vztahů vyplývá, že v dlouhovlnné oblasti spektra $\frac{h\nu}{kT_0}\ll 1$ je poměr Planckových funkcí roven $T_1/T_0$, v krátkovlnné oblasti spektra $\alpha\cong \frac{h\nu}{kT_0}\gg 1$ tedy okrajové ztemnění je podstatně větší a narůstá při přechodu ke kratším vlnovým délkám.

Řešení úlohy 7.22
Výšku stejnorodé fotosféry určíme ze vztahu $H=\frac{kT}{g\mu_\mathrm{r} m_p}$. Fotosféra Slunce je složena především z neionizovaného vodíku. Při volbě $T = 6 \,000 \,\mathrm{K}$, $\mu_\mathrm{r}\cong 1$ dostaneme $H \cong 200\,\mathrm{km}$. U bílého trpaslíka předpokládáme fotosféru složenou z ionizovaného vodíku, $\mu_\mathrm{r}= 0,5$, pro její výšku obdržíme $H \cong 200 \,\mathrm{m}$.

Řešení úlohy 7.23
V hlubších fotosférických vrstvách je při hustotě asi $10^{ - 4}\,\mathrm{kg}.\mathrm{m}^{-3}$ je počet částic přibližně $10^{ 22}\,\mathrm{m}^{-3}$. Při normálních podmínkách se v atmosféře Země nachází v  $1\,\mathrm{m}^3$ asi $10^{25}$ částic. Tedy koncentrace v uvažované vrstvě fotosféry je zhruba $10^3\,$krát menší než v zemské atmosféře. Zatímco ve fotosféře Slunce jde především o atomy neionizovaného vodíku, v atmosféře Země jde o molekuly N${}_2$ a O${}_2$.

Řešení úlohy 7.24
Počet částic v sloupci o výšce $300\,\mathrm{km}$ a průřezu $1\,\mathrm{m}^2$ je $3 . 10^5 10^{ 23} = 3 . 10^{ 28}$ částic. Při průměrné teplotě fotosféry $6\,000\,\mathrm{K}$ je energie jedné částice $\frac{3}{2}kT\cong 10^{-19}\,\mathrm{J}$. Celková energie ve vytčeném sloupci je $E\cong10^{-19}3.10^{28}\cong3.10^9\,\mathrm{J}$. Tedy za čas $t\cong\frac{E}{F}\cong 50\,\mathrm{s}$ by došlo k vyčerpání zásob energie a nutně bychom pozorovali změny ve vyzařování a teplotě povrchu Slunce.

Řešení úlohy 7.25
Konvekce ve fotosféře nastane za podmínky $\left\vert\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}r}\right\vert _{\mathrm{ad}}<\left\vert\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}r}\right\vert _{\mathrm{z}}$. Po dosazení $\frac{{\mathrm d}p}{{\mathrm d}r}=-\frac{g\mu p}{\mbox{\rsfsm R}T}$ a úpravě obdržíme $\left(\frac{d\ln T}{{\mathrm d}\ln {\mathrm d}}\right)_{\mathrm{ad}}<\left(\frac{{\mathrm d}\ln T}{{\mathrm d}\ln p}\right)_{\mathrm{z}}$. Za předpokladu adiabatických změn $p^{1-\gamma}T^{\gamma}=\mathrm{konst.}$ při $\gamma=\frac{5}{3}$ dostaneme $\left(\frac{{\mathrm d}\ln T}{{\mathrm d}\ln p}\right)_{\mathrm{ad}}=\frac{2}{5}$. Z rovnice zářivé rovnováhy při $\kappa=\mathrm{konst.}$ nalezneme $\left(\frac{{\mathrm d}\ln T}{{\mathrm d}\ln p}\right)_{\mathrm{z}}=\frac{1}{4}$. Tedy úvodní nerovnice není splněna a konvekce nenastává.

Řešení úlohy 7.26
Konvektivní tok energie je roven $F_k\cong c_p\rho v\Delta T\cong 10^5\mathrm{J.s}^{-1}.\mathrm{m}^{-2}$. Tok energie přenášené zářením je $F_{\mathrm{r}}\cong\frac{16\sigma T^3}{3\kappa\rho}\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}r}\cong2,3.10^7\,\mathrm{J.s}^{-1}.\mathrm{m}^{-2}$. Výrazně převládá přenos energie zářením. Konvektivní přenos může narůstat při změně $\kappa$ či při nárůstu stupně ionizace s hloubkou.

Řešení úlohy 7.27
Balmerovský skok při $\lambda = 364,6\,\mathrm{nm}$ ve spojitém spektru je způsoben tím, že v krátkovlnné části spektra od této vlnové délky je záření schopné ionizovat atomy vodíku počínaje z druhé energetické hladiny. V dlouhovlnné části spektra od tohoto skoku je možná ionizace pouze z třetí a vyšších energetických hladin. Fotosféra je v důsledku toho na vlnové délce $\lambda_2 = 368,6 \,\mathrm{nm}$ více průzračná a lze ji pozorovat do větší hloubky, tedy vrstvy s vyšší teplotou, záření má vyšší intenzitu. Neprůzračnost fotosféry je velká v krátkovlnné části od skoku, např. na vlnové délce $\lambda_1 = 360,6 \,\mathrm{nm}$, záření přichází téměř ze stejných vrstev položených v blízkosti povrchu. Proto je okrajové ztemnění malé. V dlouhovlnné části spektra od skoku přichází záření ve středu disku z relativně větších hloubek, z fotosférických vrstev o vyšší teplotě. Na okraji disku přichází záření z vrstev blízko povrchu. Shrnuto je okrajové ztemnění na delších vlnových délkách výraznější, což platí pouze v optickém oboru.