Dvojhvězdy - řešení

Řešení úlohy 8.1
Podle III. Keplerova zákona platí $M_1+M_2=\left(\frac{a''}{\pi}\right)^3T^{-2}$ . Určíme $\pi$ a stanovíme vzdálenost $r=\frac{1}{\pi}=40\,\pc$ .

Řešení úlohy 8.2
$\Theta=1,22\lambda /D= 6,2 . 10^{ - 8}\,$ rad. Ano, neboť úhlová vzdálenost mezi hvězdami převyšuje tuto hodnotu.

Řešení úlohy 8.3
Dosazením do III. Keplerova zákona stanovíme součet hmotností obou složek $\left(M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}}\right)=\frac{a^3}{T^2}\frac{4\pi^2}{G}=3,3\,M_{\odot}$ , kde $a=\frac{a''}{\pi}$ . Pomocí vztahu $\frac{r_{\mathrm{A}}}{r_{\mathrm{B}}}= \frac{M_{\mathrm{B}}}{M_{\mathrm{A}}}$ nalezneme $M_{\mathrm{A}}=2,2\,M_{\odot}$ a $M_{\mathrm{B}}=1,1\,M_{\odot}$ . Zářivé výkony nalezneme ze vztahu $\log L =0,4\left(4,75-M_{\mathrm{bol}}\right)$ , $L_{\mathrm{A}}=22,7\,L_{\odot}$ , $L_{\mathrm{B}}=0,022\,L_{\odot}$ .

Řešení úlohy 8.4
Pro měřitelnost rozštěpení spektrálních čar $\Delta\lambda$ podmíněného dopplerovským posuvem je třeba, aby rychlost hvězd převyšovala střední kvadratickou rychlost pohybu atomů vodíku ve fotosférách hvězd. Dostaneme již známou podmínku $R=mN=\lambda/\Delta\lambda$ , kde v případě pohybu dvojhvězd platí $\frac{\lambda}{\Delta\lambda}=\frac{c}{2v}$ . Rychlost vypočteme ze vztahu $v=\frac{\pi a}{T}$ . Po dosazení obdržíme podmínku .

Řešení úlohy 8.5
Lineární velikost velké poloosy je $a=a''/\pi''=2,5\,$ AU, součet hmotností je roven , tedy $a^3/T^2=0,16\,M_{\odot}$ . Observačně zjištěné hodnoty hmotností jednotlivých složek jsou $M_1= 0,085\,M_{\odot}$ a $M_2= 0,066\,M_{\odot}$ . První hvězda je červeným trpaslíkem z nejspodnější části hlavní posloupnosti zatímco druhá hvězdy je již hnědým trpaslíkem.

Řešení úlohy 8.6
Pro poměr hmotností obou složek platí $\frac{M_1}{M_2}=\frac{v_2}{v_1}=\frac{\Delta\lambda_2}{\Delta\lambda _1}=2$ . Z dopplerovského posuvu určíme radiální rychlosti $v_1=\frac{\Delta\lambda _1}{\lambda}c=1,2.10^4\mathrm{m.s}^{-1}=12\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ , $v_2=24\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Poloměry drah jsou $a_1=\frac{v_1 T}{2\pi}=3,5\,\mathrm{AU}$ , $a_2=6,9\,\mathrm{AU}$ . Velká poloosa $a=a_1+a_2=10,4\,\mathrm{AU}$ . Pro celkovou hmotnost soustavy platí $M_1+M_2=\frac{a^3}{T^{2}}=15,3\,M_{\odot}$ . Jednotlivé hmotnosti složek jsou $M_1=10,2\,M_{\odot}$ a $M_2=5,1\,M_{\odot}$ .

Řešení úlohy 8.7
Obdobně jako u předcházejících úloh určíme rychlosti obou složek $v_1=c\left(\frac{\Delta\lambda }{\lambda}\right)_1=57\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ , $v_2=c\left(\frac{\Delta\lambda }{\lambda}\right)_2=87\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Dále určíme velikosti jednotlivých poloos $a_1=\frac{v_1 T}{2\pi}=3,1.10^9\mathrm{m}$ , $a_2=4,7.10^9\mathrm{m}$ . Velká poloosa $a=a_1+a_2=7,8.10^9\mathrm{m}$ . Při výpočtu celkové hmotnosti soustavy dosadíme do III. Keplerova zákona $M_1+M_2= \frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{T^2}=2,4.10^{30}\mathrm{kg}$ , hmotnost jednotlivých složek určíme ze vztahu $\frac{M_1}{M_2}=\frac{a_2}{a_1}\Rightarrow M_1=1,4.10^{30}\mathrm{kg}=0,7\,M_{\odot}$ , $M_2=1,0.10^{30}\mathrm{kg}=0,5\,M_{\odot}$

Řešení úlohy 8.8
Velikosti velkých poloos jsou $a_1=\frac{v_1 T}{2\pi}=2,1.10^{10}\mathrm{m}$ a $a_2=\frac{v_2T}{2\pi}=2,7.10^{10}\mathrm{m}$ . Velká poloosa $a=a_1+a_2=4,8.10^{10}\mathrm{m}$ . Celkovou hmotnost soustavy určíme z III. Keplerova zákona $M_1+M_2=\frac{4\pi^2}{G}\frac{a^3}{T^2}=3,5.10^{30}\mathrm{kg}$ . Dále dosadíme do vztahů pro zákrytové proměnné $\frac{t_4-t_1}{T}=\frac{2\left(R_1+R_2\right)}{2\pi a}$ a $\frac{t_3-t_2}{T}=\frac{2\left(R_1-R_2\right)}{2\pi a}$ , kde a jsou poloměry složek. Poloměr první složky $R_1=5,9.10^{8}\mathrm{m}=0,85\,R_{\odot}$ a druhé složky $R_2=4,2.10^8\mathrm{m}=0,6R_{\odot}$ . Hmotnosti jednotlivých složek určíme ze vztahu $\frac{M_1}{M_2}=\frac{a_2}{a_1}\Rightarrow M_1=2.10^{30}\mathrm{kg}=1M_{\odot}$ , $M_2=1,5.10^{30}\mathrm{kg}=0,75\,M_{\odot}$ .

Řešení úlohy 8.9
Součet hmotností obou složek vyjádřený v jednotkách hmotnosti Slunce určíme za vztahu $\left(M_{\mathrm{A}}+M_{\mathrm{B}} \right)\sin^3 i= 1,036.10^{-7}\left(1-e^2\right)^{3/2}\left(K_{\mathrm{A}}+K_{\mathrm{B}}\right)^3T$ , obdržíme $10,6\,M_{\odot}$ . Jednotlivé hmotnosti stanovíme pomocí vztahu $\frac{M_{\mathrm{A}}}{M_{\mathrm{B}} }=\frac{K_{\mathrm{B}}}{K_{\mathrm{A}}}$ , $M_{\mathrm{A}} = 6,4\,M_{\odot}$ a $M_{\mathrm{B}}= 4,2\,M_{\odot}$ .

Řešení úlohy 8.10
Budeme zjednodušeně předpokládat, že kolem hvězdy obíhá pouze jedna planeta s hmotností Jupitera. Střední oběžná rychlost pohybu extrasolární planety by tudíž byla $13\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Protože $\frac{M_h}{M_J}=\frac{v_J}{v_h}\Rightarrow$ že očekávaná rychlost pohybu hvězdy bude $v_h\cong 13\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ v dráhové rovině exoplanety. Požadovaná přesnost optických metod určování radiálních rychlostí by měla být ještě $2\times$ větší, v roce 1998 již byla dostatečná, dosahovala zhruba $7\,\mathrm{m}.\mathrm{s}^{-1}$ .

Řešení úlohy 8.11
Oběžnou dobu stanovíme z III. Keplerova zákona $\displaystyle T=\left(\frac{4\pi^2 a^3}{G\left(M_1+M_2\right)}\right)^{1/2}=1,4.10^4\mathrm{s}=3,9\,\mathrm{hod}$ . Rychlost první složky je $\displaystyle v_1=M_2\left(\frac{G}{a\left(M_1+M_2\right)}\right)^{1/2}=149\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ , druhé $\displaystyle v_2=M_1\left(\frac{G}{a\left(M_1+M_2\right)}\right)^{1/2}=298\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Hodnota $l_1=a\left(0,500-0,227\log\frac{M_2}{M_1}\right)=4,3.10^8\mathrm{m}=8,87.10^{-3}\mathrm{AU}$ Při přenosu hmoty od složky s menší hmotností ke složce s větší hmotností narůstá oběžná doba a zvětšuje se velká poloosa dvojhvězdy.

Řešení úlohy 8.12
Vyjdeme ze vztahu pro velikost momentu hybnosti $L=\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}\left[Ga\left(M_1+M_2\right)\right]^{1/2}$ , odkud vyjádříme $a=\frac{M_cL^2}{GM_1^2\left(M_c-M_1\right)^2}$ . Rovnici logaritmujeme a derivujeme (logaritmická derivace) a odvodíme $\frac{{\mathrm d}a}{a}=2\frac{2\mu-1}{\mu\left(1-\mu\right)}\frac{{\mathrm d}M_1}{M_c}$ .

Řešení úlohy 8.13
Vyjdeme z III. Keplerova zákona, ze kterého logaritmickou derivací dostaneme $3\frac{{\mathrm d}a}{a}=2\frac{{\mathrm d}T}{T}$ . Dosazením $\frac{{\mathrm d}a}{a}=2\frac{2\mu-1}{\mu\left(1-\mu\right)}\frac{{\mathrm d}M_1}{M_c}$ obdržíme $\frac{{\mathrm d}T}{T}=3\frac{2\mu-1}{\mu\left(1-\mu\right)}\frac{{\mathrm d}M_1}{M_c}$ .

Řešení úlohy 8.14
Předpokládáme platnost zákona zachování hmotnosti a dráhového momentu hybnosti při přenosu hmoty, tedy , $\frac{{\mathrm d}M_c}{{\mathrm d}t}=0$ ; $L=\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}\left[Ga\left(M_1+M_2\right)\right]^{1/2}$ , $\frac{{\mathrm d}L}{{\mathrm d}t}=0$ . Z posledně uvedeného dostaneme $\frac{{\mathrm d}}{{\mathrm d}t}\left(\frac{M_1M_2}{M_1+M_2}\right)\sqrt{a}+\frac{M_1M_2}{M_1+M_2} \frac{1}{2\sqrt{a}}\frac{{\mathrm d}a}{{\mathrm d}t}=0$ , odkud při platnosti vztahu $\frac{1}{2a}\frac{{\mathrm d}a}{{\mathrm d}t}=\frac{1}{3T}\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}$ obdržíme $\frac{1}{T}\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=3\frac{{\mathrm d}M_1}{{\mathrm d}t}\frac{M_1-M_2}{M_1M_2}$ .

Řešení úlohy 8.15
Při nárůstu oběžné doby je hmota přenášena od druhé složky k první . Ze vztahu $\frac{1}{T}\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=3\frac{{\mathrm d}M_1}{{\mathrm d}t}\frac{M_1-M_2}{M_1M_2}$ určíme $\frac{{\mathrm d}M_1}{{\mathrm d}t}=6.10^{16}\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{-1}\cong10^{-6}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$ .

Řešení úlohy 8.16
Dosadíme do vztahu $\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=3T\frac{{\mathrm d}M_1}{{\mathrm d}t}\frac{M_1-M_2}{M_1M_2}=6,3.10^{-9}$ .

Řešení úlohy 8.17
Celková mechanická energie fyzikálního dvojhvězdného systému o hmotnostech jednotlivých složek , je , vzdálenost složek je . Jde o gravitačně vázanou soustavu, platí $E_c=\frac{1}{2}M_1v_1^2+\frac{1}{2}M_2v_2^2-G\frac{M_1M_2}{a} = -G\frac{M_1M_2}{2a} < 0$ . Pro rychlosti platí: . Předpokládejme, že u první hvězdy proběhla sférickosymetrická exploze, při níž nedošlo ke změně rychlosti a nechť pozůstatek první složky po výbuchu má hmotnost . Platí $M_1-\Delta M=M_z$ . Celková mechanická energie systému po explozi je $E_{ce}=\frac{1}{2}M_zv_1^2+\frac{1}{2}M_2v_2^2-G\frac{M_zM_2}{a}$ . Pro gravitačně vázanou soustavu platí $E_{ce}<0$ . Dále platí $v_1=\frac{M_2}{M_z+M_2}\left(\frac{G\left(M_1+M_2\right)}{a}\right)^{1/2}$ a $v_2=-\frac{M_z}{M_z+M_2}\left(\frac{G\left(M_1+M_2\right)}{a}\right)^{1/2}$ . Dosazením obdržíme pro $E_{ce}=\frac{GM_zM_2}{2a\left(M_z+M_2\right)}\left[M_1+M_2-2\left(M_z+M_2\right)\right]$ . Podmínka pro zachování dvojhvězdného systému je .

Řešení úlohy 8.18
Dosadíme do závěrečné nerovnice předchozí úlohy, $M_1=2,5\,M_{\odot}$ , $M_2=1,5\,M_{\odot}$ , $M_z=1,5\,M_{\odot}$ . Tudíž je splněna podmínka .

Řešení úlohy 8.19
Dosadíme $M_1=20\,M_{\odot}$ , $M_2=6\,M_{\odot}$ , $M_z=1,4\,M_{\odot}$ , podmínka není splněna, dvojhvězdný systém se rozpadne.

Řešení úlohy 8.20
Pro pohyb v dráhové rovině má integrál energie tvar

$\displaystyle -\frac{GM_1}{r_1}-\frac{GM_2}{r_2}-\frac{\omega^2\left(x^2+y^2\right)}{2}+ \frac{v^2}{2}=\mathrm{konst.}$

Řešení úlohy 8.21
$\frac{{\mathrm d}E_p}{{\mathrm d}t}\cong G\frac{M}{R}\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}$ , $L\cong G\frac{M}{R}\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}\Rightarrow \frac{{\mathrm... ...1,5.10^{15}\mathrm{kg}.\mathrm{s}^{-1}\cong2.10^{-8}M_{\odot}.\mathrm{rok}^{-1}$ .

Řešení úlohy 8.22
Zářivý výkon, především v rtg. oblasti záření, je přibližně roven rychlosti ztráty gravitační potenciální energie plynu při akreci, $L\cong G\frac{M}{R}\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}$ a $\frac{{\mathrm d}E_p}{{\mathrm d}t}\cong G\frac{M}{R}\frac{{\mathrm d}M}{{\mathrm d}t}$ . Dosazením získáme zářivý výkon $L\cong8.10^{30}\mathrm{W}$ . Pro zářivý výkon pulsaru platí $L=\frac{8}{5}\pi^2 MR^2P^{-3}\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}t}$ , odtud určíme $\frac{{\mathrm d}P}{{\mathrm d}t}\cong10^{-12}$ .

Řešení úlohy 8.23
Z III. Keplerova zákona $\frac{a^3}{T^2}=\frac{G}{4\pi^2}\left(M_1+M_2\right)$ určíme velikost velké poloosy $a=5,9.10^{10}\mathrm{m}=0,4\,\mathrm{AU}$ . Oběžná dráha pulsaru je kruhová, $v =\frac{2\pi a}{T}=2,1.10^4\mathrm{m.s}^{-1}=21\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . Dopplerovský posuv způsobený radiálním pohybem je $v=c\frac{\Delta\lambda }{\lambda}$ , $\Delta\lambda =c\Delta T$ . Úplná amplituda změny periody je $2\Delta T=0,15\,\mathrm{s}$ .

Řešení úlohy 8.24
Z III. Keplerova zákona stanovíme velikost velké poloosy $a=\left(M_1+M_2\right)^{1/3}T^{2/3}\cong 0,2\,\mathrm{AU}$ . Vzdálenost pulsaru od hmotného středu je $r=\frac{M_1}{M_1+M_2}a\cong0,17\,\mathrm{AU}$ . Rychlost oběžného pohybu pulsaru je $v=\frac{2\pi r}{T}\cong190\,\mathrm{km}.\mathrm{s}^{-1}$ . V důsledku Dopplerova jevu se mění perioda pulsací, její relativní změna je $\frac{\Delta P}{P}=\frac{\Delta v}{v}=\frac{v}{c}\cong 6.10^{-4}$ . Jev pozorujeme jako zpožďování příchodu pulsů. Na dráze $2r=0,34\,\mathrm{AU}$ je maximální hodnota zpožďování $0,34 \,\times\, 500 = 170\,\mathrm{s}$ .

Řešení úlohy 8.25
Dosazením do uvedených vztahů dostaneme pro gravitační zářivý výkon soustavy $\frac{{\mathrm d}E}{{\mathrm d}t}\cong3.10^{23}\,\mathrm{W}$ , což je numericky hodnota nesrovnatelně menší než gravitační vazebná energie soustavy $E_{\mathrm{c}}=-\frac{GM_1M_2}{2a}=-3.10^{41}\,\mathrm{J}$ . Pro změnu oběžné doby obdržíme $\frac{{\mathrm d}T}{{\mathrm d}t}=-2,4.10^{-12}$ , tedy hodnotu odpovídající téměř přesně naměřené.