1.Trhání provázku

obr.1.1

Jedním z nejznámějších demonstračních pokusů z mechaniky je pokus zvaný "trhání provázku", který je znázorněn na obr.1.1. Jedná se o závaží zavěšené mezi dvěma provázky stejných vlastností. Táhneme-li za nit pomalu, praskne horní nit, při prudkém cuknutí se přetrhne nit spodní. Obvykle je tento pokus předváděn jako demonstrace setrvačnosti tělesa se zdůvodněním, že při přetržení pomalým tahem působí na horní nit navíc závaží svou tíhou, při škubnutí naopak setrvačnost závaží přetržení horní nitě zabrání, mez pevnosti je dříve překročena u nitě spodní. Toto vysvětlení nelze považovat za dostatečné, neboť nezahrnuje dynamické úvahy. Je nutné provést kvantitativní analýzu jevu. Tato analýza je již numericky provedena v [1]. Zde jsem použil vlastních naměřených hodnot, předkládám analytické řešení úlohy a zároveň přidávám ještě jednu možnost, jak tento jev vysvětlit pro některé pro situace, které nejsou v [1] popsány.

Nejdříve je nutné proměřit deformační křivku použité nitě, tj. závislost velikosti tahové síly F na relativním prodloužení e až do jejího přetržení. Toto měření provedeme postupným zatěžováním použité nitě jednotkové délky. Na obr.2.2 jsou uvedeny hodnoty F(e ) v závislosti na e, pro naše účely je možné tuto závislost považovat za lineární:

obr.2.2

Ze získaného grafu stanovit konstantu úměrnosti k = (3490 ± 20) N i mez pevnosti nitě F_max = 53 N.

Pro jednoduchost budeme předpokládat, že za spodní nit táhneme tak, že se její konec pohybuje rovnoměrně zrychleně. Již tato jednoduchá aproximace umožňuje uspokojivě popsat a vysvětlit průběh pokusu.

Prodloužení horní nitě x₀ v situaci, kdy je těleso ve statické rovnováze, je určeno podmínkou rovnováhy tíhové síly a tahové síly niti:

(1.1)

Dolní konec spodní nitě se pohybuje rovnoměrně zrychleně:

(1.2)

Protažení dolní nitě x_d je dáno rozdílem posunutí ruky x_r a závaží x_z:

(1.3)

Protažení horní nitě x_h je dáno prodloužením x₀ způsobeným tíhou závaží spolu s posunutím závaží x_z:

(1.4)

Tahová síla F_d spodní niti, souvisí s relativní deformací dolní nitě přímo úměrně:

(1.5)

Obdobný vztah platí i pro tahovou sílu F_h působící na horní nit:

(1.6)

L_d a L_h jsou délky dolní a horní nitě v nenapnutém stavu, x_d a x_h jsou prodloužení těchto nití.

Veličiny x_h , x_d , F_h , F_d jsou funkcemi času.

Zrychlení těžiště závaží a_z je určeno výslednicí působících sil a hmotností závaží m:

(1.7)

Dosazením z (1.3), (1.4), (1.5) a (1.6) pak dostaneme:

(1.8)

Tuto rovnici lze ještě upravit použitím vztahu (1.1) a dosazením za x_r ze vztahu (1.2).

Současně vyjádříme okamžité zrychlení závaží jako druhou derivaci x_z podle času a získáme diferenciální rovnici:

, (1.9)

kde a (1.10)

Řešením této rovnice s počátečními podmínkami: x_z(0) = 0 ; v_z(0) = 0 dostaneme:

(1.11)

Tahové síly jsou pak podle (1.5) a (1.6) dány vztahy:

Řešení takovéto diferenciální rovnice není pro běžného studenta střední školy velký problém, jestliže využije výpočetní techniky s vhodným programovým vybavením, např. Maple V, které by mělo být k dispozici na všech běžných typech středních škol.

Použité parametry pokusu:

m = 1 kg (hmotnost závaží)

g = 10 ms^-2 (tíhové urychlení)

L_d = 0,2 m (klidová délka dolního provázku)

L_h = 0,3 m (klidová délka horního provázku)

k = 3500 N (konstanta úměrnosti)

a_r = 2 ms^-2 resp. 20 ms^-2 (zrychlení ruky)

Průběh tahových sil na jednotlivé provázky pro a_r = 2 ms^-2 (resp. a_r = 20 ms^-2 ) je znázorněn na obr.1.3 (resp. obr.1.4).

obr.1.3

obr.1.4

Při předvádění tohoto pokusu na střední škole je velmi efektní, když jeden dolní provázek nahradíme větším počtem (viz. obr. 1.5). Záleží jen na šikovnosti "trhače". Je ovšem nutné, aby závislost relativního prodloužení na napětí byla lineární, a to až po mez pevnosti, jinak by uvedené vysvětlení nebylo správné. Toto však splňují všechny běžné materiály.

obr.1.5

Nahradíme-li však dolní provázek n provázky stejného druhu, pak:

,

tj. "efektivní" konstanta úměrnosti k bude n-násobná a změní se hodnota konstanty A.

V případě, že bychom dosáhli velmi značných hodnot zrychlení dolního konce spodního provázku, nebo kdybychom trhali provaz (drát) z látky specifických vlastností, předchozí výpočet by nepostihoval všechny aspekty zkoumaného jevu.

Zpřesněné vysvětlení by muselo respektovat konečnou rychlost šíření interakce v provázku, kterou jsme zatím neuvažovali. Předpokládali jsme, že se šíří nekonečně velkou rychlostí. Tento předpoklad jsme si mohli skutečně dovolit, protože tato rychlost je skutečně velmi vysoká.

Rychlost šíření interakce v pevné látce je dána vztahem:

,

kde E je Youngův modul pružnosti v tahu a r je hustota látky.

Změřit hustotu provázku je značně velkým problémem. Předchozí vztah pro rychlost v však lze nahradit vyrazem:

,

jehož hodnotu lze naopak zjistit snadno, kde k je již uvedená konstanta úměrnosti a je lineární hustota provázku. Měření lineární hustoty provázku provedeme opakovaným měřením délky a hmotnosti.

Tabulka naměřených hodnot lineární hmotnosti provázku:

Hodnota pro provázek použitý v našem experimentu je m = (0,70 ± 0,02) g.m^-1 .

Pak rychlost šíření interakce v použitém provázku má hodnotu v = (2200 ± 30) ms^-1 .

Z výsledku je zřejmé, že pokud se v pokusu s provázkem o konstantě k = 3490 N a o délce dolního provázku L_d = 0,2 m měl uplatnit efekt konečné rychlosti šíření mechanické vlny v provázku, musel by celý děj proběhnout v čase kratším, než 0,01 s. Tato situace nastane jakmile zrychlení ruky překročí hodnotu a_r = 100 m.s^-2.

Jestliže budeme hledat látku, ve které se interakce šíří pomaleji, najdeme například olovo. Zde je rychlost šíření interakce v_Pb = 1240 m.s^-1. Jestliže bychom experiment zopakovali tak, že bychom pouze zaměnili provázek za olověný drát, pak by se dalo přetržení spodního drátu zdůvodnit pomocí šíření interakce už při hodnotách zrychlení ruky převyšujících hodnoty a_r = 20 m.s^-2.

Je evidentní, že efekt rychlosti šíření mechanické vlny "trhaným" materiálem se výrazně projevuje u materiálů s velkou hustotou a malým Youngovým modulem pružnosti v tahu. Dalšími materiály, které by se chovaly jako olovo, jsou cín a zlato.