Válec na nakloněné rovině

Charakteristika:

Pohyb válců různých vlastností na nakloněné rovině. Odvození pohybové rovnice pro válec valící se po nakloněné rovině.

Fyzikální zákony:

I. a II. impulzová věta, zákon zachování mechanické energie.

Potřeby:

Válce, nakloněná rovina.

válec na nakloněné rovině

Popis:

Válec o poloměru r se valí po nakloněné rovině. Zjistíme, že zrychlení těžiště v tíhovém poli nezávisí pouze na sklonu nakloněné roviny a hmotnosti válce m, ale i na momentu setrvačnosti J válce vzhledem k ose symetrie rozložení jeho hmotnosti.

obr. 1

I. impulzová věta:

vazební podmínka:

x:

(1)

y:

II. impulzová věta vzhledem ke středu hmotnosti válce:

(2)

vazební podmínka:

Dosazením do rovnic (1) a (2) získáme:

(3)

Řešením soustavy rovnic (3) dostaneme:

(b) Řešení pomocí zákona zachování mechanické energie: Za nulovou hladinu tíhové potenciální energie zvolme vodorovnou rovinu jdoucí středem hmotnosti válce na počátku pohybu (t=0), kdy je válec v klidu. Označme h okamžitou vzdálenost středu hmotnosti válce od této hladiny. Pak platí:

Poteciální energie vzhledem k nulové hladině tíhové potenciální energie:

Kinetická energie translačního pohybu:

Kinetická energie rotačního pohybu:

Zákon zachování mechanické energie:

(vzhledem k volbě nulové hladiny tíhové potenciální energie je celková mechanická energie soustavy nulová) Můžeme tedy psát:

(4)

Vazební podmínka pro valení bez prokluzu:

(5)

Využitím podmínky (5) můžeme (4) přepsat do tvaru:

(6)

Hloubku h pod nulovou hladino tíhové potenciální energie vyjádříme:

je okamžitá hodnota celkového úhlu otočení válce od okamžiku

Rovnici (6) můžeme přepsat do tvaru:

(7)

Řešením diferenciální rovnice (7) při počátečních podmínkách dostaneme úhel otočení válce jako funkci času:

(8)

Je vidět, že otáčivý pohyb válce je rovnoměrně zrychlený s úhlovým zrychlením:

Pohyb středu hmotnosti válce je rovněž rovnoměrně zrychlený a platí:

Jestliže necháme po nakloněné rovině valit válce stejných vnějších rozměrů a stejných hmotností, ale s různým (ale symetrickým vzhledem k ose rotace) rozložením hmoty, bude jejich translační i úhlové zrychlení záviset na hodnotě momentu setrvačnosti. Jako příklad uvádíme graf závislosti translačního zrychlení na hodnotě momentu setrvačnosti pro válec a nakloněnou rovinu v tíhovém poli s parametry: