12. Dvojný a trojný integrál

1. Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního rotačního elipsoidu s poloosami a, b, c kde a = b kolem osy z.

2a. Obrazec M v R^{2} je omezen křivkami y = x, y = 2x, y = \sqrt{x}, y = 2\sqrt{x}. Plošná hustota je σ(x, y) = k/y\sqrt{x}. Vypočtěte moment setrvačnosti vzhledem k ose z, kolmé na rovinu obrazce.

2b. Najděte souřadnice těžiště plochy M v rovině xy omezené čarami y = 2^{7}\sqrt{x}, y = 4^{7}\sqrt{x}, y = x^{−3}, y = 3^{7}x^{−3}, je-li plošná hustota σ(x, y)\frac{2}{7} \sqrt{x}. Použijte větu o transformaci integrálu.

3. Vypočtěte moment setrvačnosti homogenního anuloidu kolem osy symetrie.

Domácí úkol

12.

a) Těleso omezené plochou \frac{x^{2}+y^{2}}{R^{2}} = \frac{(z−h)^{2}}{h^{2}} , 0 < z < h má konstantní hustotu ϱ. Spočítejte jeho hmotnost, těžiště a momenty setrvačnosti.

b) Spočítejte objem homogenní koule, kulové výseče, kulové úseče a kulového vrchlíku, jejich polohy těžiště a momenty setrvačnosti kolem různých os.

c) NEPOVINNÉ!: Tělesa: válec, kužel, rotační paraboloid, elipsoid, anuloid... Objem, pro homogenní případ momenty setrvačnosti kolem různých os.