Buď \(V\) reálný vektorový prostor dimenze \(n\), na kterém je zadán (pseudo)skalární součin \(\langle\cdot,\cdot\rangle\colon V\times V \rightarrow {\mathbf R}\). Skalární součin určuje jednoznačně bijekci mezi prostorem \(V\) a jeho duálem \(V^*\) zobrazením \[ {}^\flat\colon V \ni v \mapsto ( V\ni u\mapsto \langle u,v\rangle \in {\mathbf R}) \in V^* \] Jeho inverzi budeme označovat jako \({}^\sharp\). Pomocí této bijekce můžeme zavést skalární součin na \(V^*\) vztahem \[ V^*\times V^* \ni (\alpha,\beta) \mapsto \langle\alpha,\beta\rangle:= \langle\alpha^\sharp,\beta^\sharp\rangle \in {\mathbf R} \] Skalární součin na \(V^*\) označujeme stejně jako skalární součin na \(V\), pokud je vzhledem k nějaké pevně zvolené bázi ve \(V\) matice skalárního součinu \(G\), potom je matice skalárního součinu na \(V^*\) vzhledem k duální bázi \(G^{-1}\).
Dále lze přirozeným způsobem zavést skalární součin na prostorech tenzorů nad \(V\), zejména je pro nás důležitý skalární součin na \(\bigwedge^k V\) a jeho duálu \(\bigwedge^k V^*\). Po krátkém výpočtu získáme pro homogenní komponenty \[ \langle u_1\wedge\ldots\wedge u_k, v_1\wedge\ldots\wedge v_k\rangle = \det (\langle u_i,v_k \rangle), \] kde tento skalární součin opět označujeme stejně jako skalární součin na \(V\). Analogicky zkonstruujeme skalární součin na duálu \(\bigwedge^k V^*\).
V situaci popsané v předchozím je přirozeně definovaný objemový element, což je nenulový prvek \(\omega\in \bigwedge^n V^*\) požadavkem, aby objem krychle tvořené orientovanou \(n\)-ticí ortonormálních vektorů byl \(1\). Buď \(e=(e_1,\ldots,e_n)\) ortonormální báze ve \(V\) a \((v)=(v_1,\ldots,v_n)\). Uvažme lineární transformaci \((v) =(e) A\) Taková transformace zjevně existuje pro každou \(n\)-tici \((v)\). Specielně uvažme situaci, kdy \((v)\) je báze ve \(V\) kladně orientovaná vzhledem k \((e)\), tj. \(\det A >0\). Matici skalárního součinu vzhledem k bázi \((v)\) získáme jako \[ G_{ij} = \langle v_i, v_j\rangle = \langle A_i^k e_k,A_j^\ell e_\ell\rangle= A_i^k A_j^\ell \delta_{k\ell} \] a maticově je tedy \(G = A A^T\) a tedy \(\det A= \sqrt{\det G}\). Na druhou stranu máme \[ \omega(v_1,\ldots,v_n)=\det A \omega(e_1,\ldots,e_n) =\sqrt{\det G}. \]
Poznamenejme, že skalární součin na prostorech \(\bigwedge^k V\) indukuje normu a norma homogenního elementu \(v_1\wedge \ldots \wedge v_k\) je objem \(k\)-rozměrného rovnoběžnostěnu napnutého vektory \(v_1,\ldots, v_k\).
Nyní máme již vše připraveno pro definici Hodgeova operátoru \(\star\).
Buď \(V\) vektorový prostor dimenze \(n\) se skalárním součinem \(\langle \cdot,\cdot\rangle\). Potom definujeme lineární zobrazení \[ \star\colon \bigwedge^k V^* \rightarrow \bigwedge^{n-k} V^* \] rovností \[ \alpha \wedge \star\beta = \langle \alpha,\beta\rangle\omega, \] která musí platit pro všechna \(\alpha\in \bigwedge^k V^*\). Na pravé straně \(\omega\) značí objemový element daný skalárním součinem.
Obzvlášť jednoduché je působení \(\star\) v ortonormální bázi \((e)=(e^1,\ldots,e^n)\) na \(V^*\). Bez újmy na obecnosti zvolme \[ \beta= e^1\wedge \ldots \wedge e^k, \] potom \[ \star\beta = e^{k+1}\wedge \ldots \wedge e^n, \] protože \(\langle \alpha,\beta\rangle\omega\) je projekce do směru \(\beta=e^1\wedge \ldots \wedge e^k\), tj. koeficient \(a_{1\cdots k}\) u \(e^1\wedge \ldots \wedge e^k\) ve vyjádření \(\alpha\) v bázi \((e)\) a tedy \[ \sum_{1\le i_1\le \cdots \le i_k \le n} a_{i_1\cdots i_k} e^{i_1}\wedge \ldots \wedge e^{i_k}\wedge \sum_{1\le i_{k+1}\le \cdots \le i_n \le n} (\star b)_{i_{k+1} \cdots i_n} e^{i_{k+1}}\wedge \ldots \wedge e^{i_n} = a_{1\cdots k} e^1\wedge \ldots \wedge e^n, \] přičemž tato soustava rovnic má právě jedno řešení \[ (\star b)_{i_{k+1} \cdots i_n} = \begin{cases} 1 & \text{pro} (i_{k+1}, \ldots, i_n) = (k+1,\ldots,n) \\ 0 & \text{pro} (i_{k+1}, \ldots, i_n) \ne (k+1,\ldots,n). \end{cases} \]
Nyní veškeré předchozí algebraické konstrukce aplikujeme na vektorový prostor tečných vektorů ke křivkám procházejících bodem otevřené podmnožiny \(U\subset {\mathbf R}^n\) a toto provedeme pro všechny body uvedené množiny.
Pokud je v každém bodě \(p\ \in U\subset {\mathbf R}^n\) zadán skalární součin pro tečné vektory, řekneme, že je na \(U\) dáno metrické tenzorové pole. Pokud se navíc skalární součin s přechodem od jednoho bodu k druhému mění hladce, řekneme, že je na \(U\) dáno hladké metrické tenzorové pole.
Válcové souřadnice interpretujeme je hladké zobrazení \(f\) otevřené množiny \[ U=\{ (r,\phi,z)\in {\mathbf R}^3 | r\in(0,\infty), \phi\in(-\pi,\pi)\} \] do \({\mathbf R}^3\) se skalárním součinem zadaným v každém bodě standardně, dané předpisem \[ f\colon \begin{pmatrix} r \\ \phi \\ z \end{pmatrix} \mapsto \begin{pmatrix} x \\ y \\ z \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} r\cos\phi \\ r\sin\phi \\ z \end{pmatrix} \] a metrické tenzorové pole \(g\) na \({\mathbf R}^3\) je v kartézských souřadnicích \(x,y,z\) dáno předpisem \[ \begin{multline} g = \operatorname{d} x \odot \operatorname{d} x + \operatorname{d}y \odot \operatorname{d} y + \operatorname{d} z \odot \operatorname{d} z = \\ = \begin{pmatrix} \operatorname{d} x & \operatorname{d} y & \operatorname{d} z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \operatorname{d} x \\ \operatorname{d} y \\ \operatorname{d} z \end{pmatrix} \end{multline} \] kde pomocí \(\odot\) značíme symetrický součin. Standardní metrické tenzorové pole \(g\) indukuje pullbackem \(f\) metrické tenzorové pole \(f^*g\) na \(U\).
Spočtěme Jacobiho matici \[ \operatorname{J}(f) = \begin{pmatrix} \cos\phi & -r\sin\phi & 0 \\ \sin\phi & r\cos\phi & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \] a dostáváme \[ \begin{multline} f^*g = \left(\operatorname{J}(f) \begin{pmatrix} \operatorname{d} r \\ \operatorname{d} \phi \\ \operatorname{d} z \end{pmatrix} \right)^T \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \left(\operatorname{J}(f) \begin{pmatrix} \operatorname{d} r \\ \operatorname{d} \phi \\ \operatorname{d} z \end{pmatrix} \right) = \\ = \begin{pmatrix} \operatorname{d} r & \operatorname{d} \phi & \operatorname{d} z \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & r^2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \operatorname{d} r \\ \operatorname{d} \phi \\ \operatorname{d} z \end{pmatrix} = \\ = \operatorname{d}r \odot \operatorname{d}r + r^2 \operatorname{d}\phi \odot \operatorname{d}\phi + \operatorname{d} z \odot \operatorname{d} z, \end{multline} \] což je hledané metrické tenzorové pole na \(U\). Skutečnost, že matice reprezentující \(f^*g\) je diagonální, znamená, že souřadnice jsou ortogonální.
Ortonormální bázi v prostoru \(1\)-forem tedy získáme např. jako \[ \begin{pmatrix} \operatorname{d} r & r \operatorname{d} \phi & \operatorname{d} z \end{pmatrix} \]
Pracujme nyní s obecnými ortogonálními souřadnicemi \((u_1,\ldots,u_n)\), tedy souřadnicemi, pro které je matice metrického tenzorového pole diagonální. Kladné odmocniny z diagonálních elementů této matice se nazývají Lamého koeficienty, označme je \[ \begin{align} h_1 &= h_1(u_1,\ldots,u_n)\\ \vdots\; &=\quad \quad \vdots \\ h_n &= h_n(u_1,\ldots,u_n).\\ \end{align} \] V tomto případě je tedy \[ f^* g = \begin{pmatrix} \operatorname{d} u_1 & \ldots & \operatorname{d} u_n \end{pmatrix} \begin{pmatrix} h_1^2 & 0 & 0 \\ 0 & \ddots & 0 \\ 0 & 0 & h_n^2 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} \operatorname{d} u_1 \\ \vdots \\ \operatorname{d} u_n \end{pmatrix} \]
Vzhledem k dalším úvahám si uvědomme, že v každé ortonormální bázi jsou složky vektorových polí stejné jako složky \(1\)-forem, které jim přísluší jako obrazy zobrazením \({}^\flat\).
Gradient funkce \(F\colon U\rightarrow {\mathbf R}\) je \[ \operatorname{grad} F = (\operatorname{d} F)^{\sharp}. \]
Z předchozího platí \[ \begin{align} h_r &= 1 \\ h_\phi &= r \\ h_z &= 1 \end{align} \] a dostáváme \[ \operatorname{d} F = \frac{\partial F}{\partial r} \operatorname{d} r+ \frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial \phi} r\operatorname{d} \phi+ \frac{\partial F}{\partial z} \operatorname{d} z. \] Z toho máme \[ \operatorname{grad} F = \frac{\partial F}{\partial r} \frac{\partial}{\partial r} + \frac{1}{r}\frac{\partial F}{\partial \phi}\frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} + \frac{\partial F}{\partial z} \frac{\partial}{\partial z}. \]
Rotace vektorového pole \(\xi\colon U\rightarrow {\mathbf R}^3\) je vektorové pole \[ \operatorname{rot} \xi = (\star\operatorname{d} \xi^\flat)^\sharp. \]
Všimněme si, že rotace vektorového je jako vektorové pole definována pouze na otevřených podmnožinách v \({\mathbf R}^3\).
Vezměme \(\xi\) libovolné vektorové pole ve válcových souřadnicích vyjádřené v ortonormální bázi \[ \xi = R(r,\phi,z) \frac{\partial}{\partial r} + \Phi(r,\phi,z) \frac{1}{r}\frac{\partial}{\partial \phi} + Z(r,\phi,z) \frac{\partial}{\partial z}. \] Spočteme napřed \[ \xi^\flat = R(r,\phi,z) \operatorname{d} r + \Phi(r,\phi,z) r \operatorname{d} \phi + Z(r,\phi,z) \operatorname{d} z, \] dále \[ \begin{multline} \operatorname{d} \xi^\flat =\left( \frac{1}{r}\frac{\partial Z}{\partial \phi} - \frac{\partial \Phi}{\partial z} \right) r \operatorname{d} \phi \wedge \operatorname{d} z + \\ + \left( \frac{\partial R}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial r} \right) \operatorname{d} z\wedge \operatorname{d} r + \\ + \left( \frac{1}{r}\frac{\partial (r\Phi)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial R}{\partial \phi} \right) \operatorname{d} r \wedge r \operatorname{d} \phi, \end{multline} \] posléze spočteme \[ \begin{multline} \star\operatorname{d} \xi^\flat =\left( \frac{1}{r}\frac{\partial Z}{\partial \phi} - \frac{\partial \Phi}{\partial z} \right) \operatorname{d} r + \\ + \left( \frac{\partial R}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial r} \right) r\operatorname{d} \phi + \\ + \left( \frac{1}{r}\frac{\partial (r\Phi)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial R}{\partial \phi} \right) \operatorname{d} z, \end{multline} \] a výsledek je \[ \begin{multline} (\star\operatorname{d} \xi^\flat)^\sharp =\left( \frac{1}{r}\frac{\partial Z}{\partial \phi} - \frac{\partial \Phi}{\partial z} \right) \frac{\partial}{\partial r} + \\ + \left( \frac{\partial R}{\partial z} - \frac{\partial Z}{\partial r} \right) \frac{1}{r} \frac{\partial}{\partial \phi} + \\ + \left( \frac{1}{r}\frac{\partial (r\Phi)}{\partial r} - \frac{1}{r}\frac{\partial R}{\partial \phi} \right) \frac{\partial}{\partial z}. \end{multline} \]
Divergence vektorového pole \(\xi\colon U\rightarrow {\mathbf R}^n\) je funkce \[ \operatorname{div} \xi = \star\operatorname{d}(\star\xi^\flat). \]
Narozdíl od rotace je divergence definována pro vektorová pole v libovolné dimenzi.
Se stejným vektorovým polem \(\xi\) jako v předchozím příkladu dostáváme \[ \xi^\flat = R \operatorname{d} r + \Phi r \operatorname{d} \phi + Z \operatorname{d} z, \] dále \[ \star\xi^\flat = R r\operatorname{d} \phi\wedge \operatorname{d} z + \Phi \operatorname{d} z \wedge \operatorname{d} r + Z \operatorname{d} r \wedge r \operatorname{d} \phi, \] posléze \[ \operatorname{d}\star\xi^\flat = \left(\frac{1}{r}\frac{\partial (Rr)}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \phi} + \frac{\partial Z}{\partial z} \right) \operatorname{d} r\wedge r \operatorname{d} \phi\wedge \operatorname{d} z, \] a konečně \[ \star\operatorname{d}\star\xi^\flat = \frac{1}{r}\frac{\partial (Rr)}{\partial r} +\frac{1}{r}\frac{\partial \Phi}{\partial \phi} + \frac{\partial Z}{\partial z}. \]
Obrázek 1: K ilustraci válcových souřadnic, souřadnicové křivky procházející typickým bodem jsou modře, jednotkové tečné vektory k nim jsou červeně. Souřadnicové křivky procházející bodem \(p=(r_0,\phi_0,z_0)\) jsou dány rovnicemi \[ \begin{align} c_r \colon t &\mapsto \begin{pmatrix} (r_0+t)\cos \phi_0 \\ (r_0+t)\sin \phi_0 \\ z_0 \end{pmatrix} \\ c_\phi \colon t &\mapsto \begin{pmatrix} r_0\cos (\phi_0+t) \\ r_0\sin (\phi_0+t) \\ z_0 \end{pmatrix} \\ c_z \colon t &\mapsto \begin{pmatrix} r_0\cos \phi_0 \\ r_0\sin \phi_0 \\ z_0+t \end{pmatrix} \end{align} \] tečné vektory k souřadnicovým křivkám jsou \[ \begin{align} \left.\frac{\partial}{\partial r}\right|_p &= \frac{\operatorname{d} c_r}{\operatorname{d} t}(0) = \begin{pmatrix} \cos \phi_0 \\ \sin \phi_0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \left.\frac{\partial}{\partial \phi}\right|_p &= \frac{\operatorname{d} c_\phi}{\operatorname{d} t}(0) = \begin{pmatrix} -r_0\sin \phi_0 \\ r_0\cos\phi_0 \\ 0 \end{pmatrix} \\ \left.\frac{\partial}{\partial z}\right|_p &= \frac{\operatorname{d} c_z}{\operatorname{d} t}(0) = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{pmatrix} \end{align} \]
Uvedený formalismus lze použít rovněž v Minkowského prostoročase (signaturu zvolme \((1,1,1,-1)\)). Maxwellovy rovnice pak lze zapsat jako \[ \begin{align} \operatorname{d} F &= 0 \\ \star \operatorname{d} \star F &= j, \end{align} \] kde \(F\) je \(2\)-forma elektromagnetického pole, a \(j\) je \(1\)-forma hustoty proudu elektrického náboje a operátor \(\star\) je definován obdobně jako v eukleidovském prostoru.
Michael Krbek
Název:
hodge.shtml
Poslední změna:
11.11.2011 , 18.06