Rovnice matematické fyziky pomocí diferenciálních forem

Nehomogenní vlnová rovnice

Je dána nehomogenní vlnová rovnice pro skalární funkci \(u(t,x)\) nezávisle proměnných \(t,x\), kde \(t\ge 0\) a \(x\in\mathbf{R}\) \[ u_{tt}(t,x)-u_{xx}(t,x)=f(t,x), \] kde \(f(t,x)\) je zadaná funkce dvou proměnných odpovídající nutící síle společně s počátečními podmínkami \[ \begin{align*} u(0,x) &= \phi(x) \\ u_t(0,x) &= \psi(x). \end{align*} \]

Řešení

Řešení \(u(t,x)\) v bodě \((t,x)\) závisí na hodnotách \(f\) pouze v oblasti, odkud se vlna do bodu \((t,x)\) mohla dostat, situace je znázorněna na obrázku:

Nyní integrujme rovnici přes oblast \(M\): \[ \int_M \left[ u_{tt}(\tau,\xi) -u_{xx}(\tau,\xi) \right] \mathrm{d}\tau \wedge \mathrm{d}\xi = \int_M f(\tau,\xi) \mathrm{d}\tau \wedge \mathrm{d}\xi. \] Levou stranu nyní upravme pomocí Greenovy věty: \[ \int_M \left[ u_{tt}(\tau,\xi) -u_{xx}(\tau,\xi) \right] \mathrm{d}\tau \wedge \mathrm{d}\xi= \int_{\partial M} u_t(\tau,\xi)\mathrm{d} \xi + u_x(\tau,\xi)\mathrm{d} \tau \] Hranici \(\partial M = A+B+C\) rozdělíme na tři úsečky, orientujeme ji v kladném smyslu. Využijeme skutečnosti, že na \(A\) je \(\mathrm{d} \tau=0\), na \(B\) je \(\mathrm{d}\xi=-\mathrm{d}\tau\) a na \(C\) je \(\mathrm{d}\xi=\mathrm{d}\tau\), pak pro jednotlivé úsečky dostáváme: \[ \begin{align*} \int_A u_t(\tau,\xi)\mathrm{d}\xi + u_x(\tau,\xi)\mathrm{d}\tau &= \int_{x-t}^{x+t} u_t(0,\xi)\mathrm{d}\xi=\int_{x-t}^{x+t} \psi(\xi)\mathrm{d}\xi, \\ \int_B u_t(\tau,\xi)\mathrm{d}\xi + u_x(\tau,\xi)\mathrm{d}\tau &= -\int_B u_t(\tau,\xi)\mathrm{d}\tau + u_x(\tau,\xi)\mathrm{d}\xi = -u(t,x)+u(0,x+t)=-u(t,x)+\phi(x+t) \\ \int_C u_t(\tau,\xi)\mathrm{d}\xi + u_x(\tau,\xi)\mathrm{d}\tau &= \int_C u_t(\tau,\xi)\mathrm{d}\tau + u_x(\tau,\xi)\mathrm{d}\xi = u(0,x-t)-u(t,x)=\phi(x-t)-u(t,x) \end{align*} \] Celkem tedy pro levou stranu dostáváme \[ -2u(t,x)+\phi(x+t)+\phi(x-t)+\int_{x-t}^{x+t} \psi(\xi)\mathrm{d}\xi. \] Pravou stranu explicitně spočteme \[ \int_M f(\tau,\xi)\mathrm{d}\tau\wedge\mathrm{d}\xi = \int_0^t\mathrm{d}\tau\int_{x-(t-\tau)}^{x+(t-\tau)}\mathrm{d}\xi f(\tau,\xi). \] Celkem tedy dostáváme: \[ u(t,x)=\frac{\phi(x+t)+\phi(x-t)}{2}+\tfrac{1}{2}\int_{x-t}^{x+t} \psi(\xi)\mathrm{d}\xi-\tfrac{1}{2} \int_0^t\mathrm{d}\tau\int_{x-(t-\tau)}^{x+(t-\tau)}\mathrm{d}\xi f(\tau,\xi). \]