Historie astronomie › Kosmická mechanika

Zákon všeobecné gravitace a jeho důsledky

Zakladatelem kosmické mechaniky byl Isaac Newton (1643 - 1727), který ve svém stěžejním díle Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica česky Matematické základy přírodní filozofie z roku 1687 podal výklad pohybu kosmických těles pod působením gravitačních sil. Titulní list Principií z prvního vydání je na obr. Dílo se skládá ze tří knih, věnovaných postupně mechanice bodů a tuhého tělesa, hydrodynamice, všeobecné gravitaci a kosmické mechanice. Třetí kniha nesoucí název O světové soustavě je rozdělena do kapitol:

Titulní list Principií
 $\textstyle \parbox{0.6\hsize}{\begin{enumerate} \addtolength\itemsep{-2mm} \ite... ...shape O precesi rovnodennosti. } \item {\itshape O kometách. } \end{enumerate}}$


Newton v úvodu formuluje svá čtyři pravidla bádání:

  1. K výkladu přirozených věcí se nemají akceptovat jiné příčiny než ty, které jsou pravdivé a k výkladu jevů postačující.
  2. Stejným účinkům je třeba přisuzovat stejné příčiny.
  3. Vlastnosti těles, které nemohou být ani zvětšeny ani zmenšeny a které jsou vlastní všem tělesům, s nimiž lze provádět experimenty, musíme pokládat za vlastnosti všech těles.
  4. V experimentální fyzice je třeba věty plynoucí ze zkušenosti indukcí pokládat za přesně nebo velmi přesně platné, dokud se neobjeví úkazy jiné, jimiž se upřesňují nebo podrobují výjimkám.

Na základě studia pohybu kosmických těles, např. pohybu měsíců kolem Jupitera a Saturna vyvozuje Newton závěry:

  1. Přitažlivost existuje na všech planetách.
  2. Přitažlivost směřuje k libovolné planetě, je nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti zkoumaných bodů od jejího středu.
  3. Všechny planety se vzájemně přitahují.

Newton dospěl k závěru, že přitažlivost existuje všeobecně u všech těles úměrně hmotnostem každého z nich:

,,Sluneční gravitace se skládá z gravitací jednotlivých částí Slunce. Při vzdalování od Slunce se zmenšuje přesně se čtvercem vzdálenosti až po dráhu Saturna, jak to zřetelně vyplývá ze stálých poloh afélií planet, a zasahuje až k nejzazším aféliím komet, pokud tato afélia setrvávají v klidu. Původ těchto vlastností gravitace se mi však nepodařilo vyvodit z pozorovaných jevů, a hypotézy nevymýšlím.``

Zdržení při formulaci zákona všeobecné gravitace Newtonem bylo zapříčiněno několika okolnostmi. Do roku 1672 nebyly přesně známy rozměry Země a především absolutní vzdálenosti kosmických těles ve sluneční soustavě. V letech 1665 - 66 Newton ještě neznal důkaz, že gravitační pole Země je stejné jako gravitační pole částice o hmotnosti rovné hmotnosti Země nacházející se v jejím středu.

Newton v Principiích dokázal, že pokud pohyb kosmického tělesa kolem určitého středu splňuje Keplerův zákon ploch, pak síla odklánějící těleso od pohybu po přímce směřuje vždy přesně k tomuto středu. Pohyb planet kolem Slunce je v souladu s Keplerovým zákonem ploch, proto se planety musí pohybovat kolem Slunce pod vlivem jeho přitažlivosti. Výpočty provedené Newtonem dokázaly, že jestliže dráha po níž se pohybuje těleso je eliptická, v jejímž ohnisku je centrální těleso, pak gravitační síla mající zdroj v tomto centrálním tělese klesá nepřímo úměrně se čtvercem vzdálenosti od něho.

Z I. Keplerova zákona vyplynulo, že pohyb každé planety probíhá po eliptické dráze a Slunce se nachází v jednom z ohnisek elipsy. Proto síla přitažlivosti působící na planetu je nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti od Slunce. Tímto způsobem Newton na základě geometrických představ o pohybu planet dokázal, že planety se pohybují pod působením přitažlivosti Slunce. Svoji myšlenku dále rozšířil rovněž na pohyb měsíců kolem planet.

Při studiu pohybu Měsíce kolem Země Newton dokázal, že tíha na povrchu Země a pohyb Měsíce jsou podmíněny stejnou silou. Z Keplerových zákonů dospěl Newton aplikací pohybových zákonů na pohyby planet a Měsíce k zákonu všeobecné gravitace.

Na jeho základě Newton odvodil III. Keplerův zákon v přesném tvaru, odkud bylo možné přímo určovat hmotnosti kosmických těles, např. planet, kolem kterých obíhají měsíce. Ze znalosti parametrů Kallista (velikosti velké poloosy oběžné dráhy a oběžné doby) měsíce Jupitera určil z III. Keplerova zákona v přesném tvaru poměr hmotností Slunce a Jupitera, $ M_$S$ = 1\,067\,M_$J .

V prvních úlohách o pohybech byla kosmická tělesa zkoumána jak tělesa nacházející se pod působením vzájemné přitažlivosti. Základní nejjednodušší úloha o pohybu dvou těles, které se vzájemně přitahují podle zákona všeobecné gravitace, je tzv. problém dvou těles. Byl řešen Newtonem, který zdůvodnil, že jedno těleso se musí pohybovat vzhledem k druhému po dráze kuželosečkového tvaru. Řešení Newtona bylo následně používáno při studiu pohybu komet, měsíců planet a později pohybu fyzických dvojhvězd.

Pohyb kosmického tělesa vyjadřujeme třemi diferenciálními rovnicemi, které odpovídají třem prostorovým souřadnicím. Tyto diferenciální rovnice druhého řádu je třeba 2krát integrovat. Vystupuje v nich přímo zrychlení kosmického tělesa, které je přímo úměrné působící síle podle II. Newtonova pohybového zákona. První integrací obdržíme rychlost, druhou získáme polohu tělesa pro zvolený časový okamžik.

Dráha a poloha tělesa na ní při pohybu kolem Slunce jsou plně popsány šesti nezávislými veličinami, dráhovými elementy. Obvykle volíme velikost velké poloosy, numerickou excentricitu, sklon dráhy, délku výstupného uzlu, argument šířky perihélia a polohu kosmického tělesa v určitém časovém okamžiku. Těchto šest elementů matematicky odpovídá tomu, že úplné řešení systému tří diferenciálních rovnic druhého řádu musí obsahovat šest konstant.

Všechny integrace mají řešení. Vedou k důkazu, že kosmické těleso se pohybuje v rovině (1. - 3. integrace), k důkazu platnosti II. Keplerova zákona (4. integrace), III. Keplerova zákona (5. integrace) a I. Keplerova zákona (6. integrace).

Historicky bylo řešení problému dvou těles použito poprvé při studiu komet, které byly pozorovány již od starověku a o kterých většina astronomů antiky a středověku předpokládala, že vznikají v zemské atmosféře. Teprve Tycho Brahe a jeho další součastníci - astronomové na základě stanovení denních paralax prokázali, že jde o kosmická tělesa nacházející se mimo atmosféru Země, za drahou Měsíce. Nedokázali však ve své době vyložit jejich objevení se na obloze a pohyb.

Newton při studiu komet předpokládal, že se musí pohybovat v souladu se zákonem všeobecné gravitace. Jejich pohyb tedy probíhá pod vlivem přitažlivosti Slunce. Řešení problému dvou těles, v tomto případě Slunce a komety, vedlo k třem možným typům drah eliptické, parabolické a hyperbolické. Úloha byla složitá především pro nedostatek pozorovacích údajů. Z několika málo dostupných stanovil Newton nejprve typ dráhy parabolický, neboť výstřednost je v tomto případě rovna jedné. Proto k určení dráhy bylo zapotřebí o jeden parametr méně.

Dále Newton rozpracoval metodu stanovení parametrů dráhy komety na základě tří pozorování. Řešení metodou vedl pomocí grafických konstrukcí, tři pozorování určují směry na kometu ve třech polohách Země v okamžiku pozorování. Newton sestrojil projekci těchto směrů na rovinu ekliptiky, vybral polohu komety ve středním směru a zkoumal v projekci na ekliptiku rádius vektor komety v okamžiku druhého pozorování a tětivu mezi první a třetí polohou komety. Z počátku předpokládal, že rádius vektor dělí tětivu na úseky úměrné intervalům času mezi prvním a druhým respektive mezi druhým a třetím pozorováním. Předpokládal, že bod - průsečík rádius vektoru a tětivy se pohybuje po tětivě konstantní rychlostí, což však neodpovídá úplně skutečnosti.

Později Newton svoji metodu zdokonalil, nalezl nový bod tětivy, ve kterém je dělení úměrné intervalům času, ale je realizováno přesněji než v prvním přiblížení. Délka tětivy odpovídala dynamické podmínce vyplývající z toho, že kometa se pohybovala po parabolické dráze. Jako praktický příklad Newton uvedl hlavní etapy hledání dráhy komety z roku 1680. Obdržené výsledky dávaly dobrý souhlas s pozorovacími údaji.

Podle Newtonovy metody propočítal a v roce 1705 uveřejnil Halley výpočty drah 24 komet v práci z roku 1705 v anglické verzi A Synopsis of the Astronomy of Comets česky Stručný přehled astronomie komet. Při porovnání záznamů o pozorování komet a výpočtů jejich drah z let 1531, 1607 a 1682 dospěl k závěru, že dráhy jsou velmi podobné a že nejde o tři různé komety nýbrž o jednu periodickou kometu s oběžnou dobou přibližně 75 - 78 roků. K tomu uvedl: ,,Mnohé důvody mne vedou k tomu závěru, že kometa r. 1531, kterou pozoroval Apian - Petr Apian (1495 - 1552) musí být stejnou, jenž popsal roku 1607 Kepler a Longomontanus - Christen Sørensen Longomontanus (1562 - 1647) a já sám ji pozoroval r. 1682. Všechny elementy souhlasí, pouze rozdílnost oběžných dob svědčí proti tomuto závěru.``

Halley objasnil, že kometa se pohybuje po uzavřené eliptické dráze, která se v blízkosti perihélia téměř neliší od parabolické dráhy. Komety do 17. století bylo možné pozorovat až v blízkosti perihélia, proto odlišení obou typů drah byla pro Newtona velmi obtížné. Následující návrat komety Halley vypočítal na roky 1758 - 1759. Přesnější propočet průchodu komety perihéliem stanovil na polovinu dubna 1759 francouzský astronom, matematik a fyzik Alexis Claude Clairaut (1713 - 1765). Skutečný průchod komety perihéliem nastal v polovině března roku 1759, což se stalo přesvědčivým důkazem platnosti zákona všeobecné gravitace.

Jako první pozoroval ve Francii návrat Halleyovy komety v lednu roku 1759 Charles Messier (1730 - 1817). Jeho zásluhou byly komety od druhé poloviny 18. století systematicky pozorovány. Messier popisoval a zakresloval rozměry, změny jasností, jádra a hlavy komety. Zachycoval polohu komet na obloze do hvězdných map, odkud další astronomové propočítávali dráhové elementy. Zkušený pozorovatel Messier, nazývaný ve své době lovec komet, v letech 1763 - 1802 pomocí dalekohledu objevil 14 komet.

Pro usnadnění hledání komet Messier roku 1781 vydal první katalog mlhovin a hvězdokup, který obsahoval 103 objektů, z nichž více než 60 bylo objeveno samotným Messierem. Z těchto 103 objektů bylo 33 galaxií, především spirálních, 27 kulových a 30 otevřených hvězdokup a 11 plynných mlhovin. Pouze u dvou z těchto objektů Messier chybně považoval za mlhovinu dvě hvězdy - dvojhvězdu s malou jasností - M 40 a neznámý objekt - M 102. Později byl katalog doplněn o 7 dalších objektů. V Messierově katalogu M 1 označuje Krabí mlhovinu, M 31 mlhovinu v Andromedě a M 42 mlhovinu v Orionu.


Astrometrie Teorie pohybu Měsíce