Historie astronomie › Kosmická mechanika

Teorie pohybu Měsíce

Zpřesnění teorie pohybu Měsíce nebylo možné bez upřesnění rozměrů Země. Rozvoj fyziky a matematiky umožnily v 18. století tvorbu již fyzikálně zdůvodněných teorií tvaru Země. Prvním úplnou vycházející z hydrostatického řešení podal již zmiňovaný Clairaut v knize z roku 1743 Théorie de la figure de la Terre česky Teorie tvaru Země. První část knihy popisuje systematický výklad obecných principů hydrostatiky a jejich aplikací na případy působení různých sil na kapaliny. V druhé autor přechází od obecných úvah o rovnovážných tvarech kapalných planet ke konkrétním výpočtům tvaru Země. Pro její zploštění určil hodnotu menší než $ 1 : 230$ .

Ve své práci Clairaut navazoval na díla Huygense a Newtona, kteří již problematiku rozpracovali. V Principiích Newton řešil otázku tvaru rotující kapalné hmoty. Clairaut vytvořil analytickou hydrostatiku, třebaže základní pojmy např. tlak byly systematicky vyloženy až o 12 let později Eulerem.

Vraťme se však k teorii pohybu Měsíce. Newtonovo a Halleyovo studium drah komet vyplývající z řešení problému dvou těles bylo první aproximací při studiu pohybů kosmických těles. Jejich reálný pohyb se ve velké většině neshodoval s teoretickým řešením problému dvou těles. Ve skutečnosti téměř vždy existuje nejméně jedno další těleso, gravitačně působící na obě uvažovaná. Příkladem je pohyb Měsíce kolem Země, který je gravitačně dále ovlivňován především Sluncem, ale také jinými planetami.

V historii astronomie byla teorie pohybu Měsíce jedním z nejobtížnějších problémů kosmické mechaniky, neboť jeho dráha se podstatněji odlišuje od eliptické. Na Měsíc při jeho oběhu kolem Země působí především poruchové síly Slunce. Ty se ještě mění v průběhu anomalistického měsíce (se změnou vzdálenosti Měsíce od Země) a v průběhu roku (se změnou vzdálenosti Země od Slunce). Proto poruchy v pohybu Měsíce dosahují velkých hodnot. Složitost matematického vyjádření pohybu Měsíce motivovala astronomy a matematiky v 17. a 18. století k jeho řešení.

Teorie pohybu Měsíce sloužila nejen praktickým cílům - výpočtům polohových souřadnic Měsíce, ale v počátcích také k prověření správnosti samotného zákona všeobecné gravitace. Dovolila vyjasnit, zda se Měsíc pohybuje přesně v souladu s tímto zákonem.

Newtonova teorie pohybu Měsíce je zachycena jak v třetí knize Principií, tak i v spisku Theoria Lunae česky Teorie Měsíce vydaném až posmrtně roku 1772. Autor kvalitativně objasnil pohyb uzlů měsíční dráhy a periodické změny jejího sklonu k ekliptice. Dokázal vyložit hlavní nerovnost v šířce - evekci. Newtonovi se podařilo, jak píše v Principiích, nalézt sílu Slunce vyvolávající poruchy pohybu Měsíce. Jinými slovy zahrnout do svých výpočtů poruchové působení Slunce.

Částečný úspěch řešení Newtonovy teorie poruchového pohybu Měsíce byl podmíněn dvěma okolnostmi. Zkoumáním pohybů blízkých ke kruhovým a zahrnutím do výpočtů poruch pouze členu úměrného kvadrátu poměru vzájemných vzdáleností. Rovnice spojující rychlosti změn dráhových elementů se složkami poruchových sil v Principiích uvedeny nejsou.

Všechny otázky však Newton uspokojivě nevyřešil, např. neobjasnil střední pohyb perigea. V zápisku Theoria Lunae Newton konstatoval, že střední pohyb Měsíce a apogea jeho dráhy neobdržel s dostatečnou přesností. Připomínáme, že při každém oběhu Měsíce se přímka apsid (spojnice perigea a apogea) přemísťuje ve směru pohybu Měsíce o $3^\circ\,4\!\text{\textasciiacute}\,8\text{\vter}$ .

Ve skutečnosti se perigeum měsíční dráhy posouvá, neboť Měsíc se pohybuje po eliptické dráze stáčející se v prostoru. Výpočet posuvu perigea měsíční dráhy dával hodnotu 2krát menší než pozorovanou. Teorie pohybu Měsíce byla v tomto místě příliš obtížná i pro Newtona. Její úplnější propracování se tak stalo jedním z nejdůležitějších problémů, které astronomie v době po Newtonovi řešila.

Již zmiňovaný Clairaut při analýze problému dospěl k závěru, že předchozí teorie pohybu Měsíce je potřebné upřesnit, propočítat v tzv. druhém přiblížení. V roce 1749 nalezl příčinu rozdílů Newtonovy teorie pohybu perigea a pozorovacích údajů. Samotná klasická analytická teorie zachycená prostřednictvím vzorců byla správná. Výrazy pro posuv perigea měsíční dráhy, vyjádřené prostřednictvím mocninné řady, však bylo nutné propočítat s větší přesností. Při výpočtech byly používány vztahy pro mocninné řady typu $ a_{{0}}+a_{{1}}m+a_{{2}}m^{{2}}+\dots a_{{n}}m^{{n}}+\dots$ , kde $ {a_{{n}}}$ jsou číselné koeficienty a $ { m}$ je poměr denních posuvů Země a Měsíce po jejich drahách $ {m\approx \frac{1}{\text{13}}}$ . Hodnota $ { m}$ je malá ve srovnání s jedničkou a každý další člen řady je tak mnohem menší než předcházející. Newton a francouzský fyzik a matematik Jean Baptiste d'Alambert (1717 - 1783) při výpočtech hodnot posuvů perigea používali pouze první člen řady, což vedlo k již zmiňovanému rozdílu teoreticky propočítané a pomocí pozorovacích údajů stanovené rychlosti posuvu měsíčního perigea. Započítáním druhého členu mocninné řady dosáhl Clairaut zmenšení rozdílu hodnot teoretických a pozorovacích 3krát. Při zahrnutí většího počtu členů v matematických rozvojích již bylo dosaženo dobrého souladu teoretické a z pozorování získané hodnoty. Teorie a pozorovací údaje dávaly téměř shodu. Clairautova analýza potvrdila, že velká poloosa dráhy Měsíce se podle teorie i pozorovacích údajů stáčí tempem $ 20^\circ$ za rok.

Petrohradská akademie věd v roce 1750 vypsala konkurs na objasnění problematiky teorie nerovnoměrností pohybu Měsíce a vytvoření metody výpočtu přesných poloh Měsíce v libovolném čase. Posledně uvedené bylo zásadní, neboť šlo o možnost praktického využití poloh Měsíce k přesnému stanovení poloh pozorovatele na Zemi. K tomu byly potřebné tabulky poloh Měsíce s přesností alespoň úhlové vteřiny. Uvedená chyba v určení polohy Měsíce odpovídá stanovení souřadnic pozorovacího místa s přesností 30 km.

Vypracování teorie pohybu Měsíce bylo důležité vzhledem k možnosti určování polohy pozorovatele na Zemi,

  1. Změřit úhlovou vzdálenost středu disku Měsíce od vztažné hvězdy.
  2. Započítat refrakci a geocentrickou paralaxu.
  3. Stanovit místní čas pozorování proměřením výšky Slunce nebo hvězdy a provedením výpočtů za pomocí vztahů sférické astronomie.
  4. Určit interpolací tabulkových údajů dobu nultého poledníku v okamžiku pozorování.
  5. Najít rozdíl místního času a času nultého poledníku, který bude zeměpisnou délkou místa pozorování v časové míře.

Definitivní řešení přinesl až hodinář John Harrison (1693 - 1776), který roku 1772 podal definitivní návrh konstrukce chronometru. Námořníci tak měli k dispozici se sebou čas nultého greenwichského poledníku. Z pozorování hvězd či Slunce určili místní čas.

Vraťme se však k historickému vývoji teorií pohybu Měsíce. V roce 1752 Clairaut získal v Petrohradské akademii věd cenu a vydal v Petrohradě dílo nazvané Théorie de la Lune déduite du seul principe de lattraction réciproquement proportionelle (sic) aux quarrés des distances  česky Teorie Měsíce, odvozená z jediného počátku přitažlivosti, nepřímo úměrná čtverci vzdálenosti. Autor dráhu Měsíce modeloval stáčející se elipsou. Jako první poukázal na skutečnost, že měsíční nerovnosti se projevují nejen v šířce a délce Měsíce, ale i ve vzdálenosti od Země. Ve vztazích Clairautovy teorie jsou délka, šířka a vzdálenost Měsíce vyjadřovány sumou dvaceti členů řady. Na základě výpočtů Clairaut sestavil a publikoval v roce 1754 tabulky Tables de la lune česky Tabulky Měsíce, ve kterých se propočítané souřadnice Měsíce odlišují od pozorovaných přibližně o 1,5′.

Další pokrok při zpřesňování teorie pohybu Měsíce učinil Euler zdokonalením Clairautovy teorie v svém díle Theoria motus Lunae exhibens omnes eius inaequalitates česky Teorie pohybu Měsíce odhalující všechny jeho nerovnosti z roku 1753. V této tzv. první Eulerově teorii jsou rovnice pohybu Měsíce vyjádřeny v cylindrických souřadnicích, při čemž hledané souřadnice jsou vyjádřeny pomocí rozkladu na mocninné řady. Aplikace Eulerovy teorie umožňovala mimo jiné odvození rovnic pro rychlost změn velké poloosy, excentricity a délky perigea.

Vyvinutá metoda byla vhodnější pro sestavení tabulek pohybu Měsíce, čehož využil již zmiňovaný astronom Mayer. Vydal v Transactions v letech 1752 - 1753 nové tabulky poloh Měsíce a Slunce, v kterých se chyba poloh Měsíce snížila na 1′. Pozorovací přístroje tehdejší doby již dovolovaly zjišťovat polohy kosmických těles s přesností 3″ - 5″. Propočítané tabulky umožňovaly určování zeměpisné délky na moři s přesností 0,5$ ^\circ$ . Metoda stanovení zeměpisné délky pozorovatele na Zemi a vztah pro korekci chyby v délce vyvolané atmosférickou refrakcí byly publikovány až v roce 1770 Tabulae Motuum Soli set Lunae česky Tabulky pohybu Slunce a Měsíce. Vdova po Mayerovi v tomtéž roce získala 3000 liber od anglického parlamentu a Euler 300 liber za konzultační pomoc.

Eulerova první teorie patřila ke klasickým analytickým metodám, ve kterých byly souřadnice kosmického tělesa respektive dráhové elementy odvozovány řešením pohybových rovnic, což vyžadovalo velmi náročnou práci. Později jednu z nejobecnějších teorií vytvořil po téměř dvacetiletém úsilí francouzský astronom Charles Eugene Delaunay (1816 - 1872). Zachycovala teorii pohybu nejen Měsíce, ale i libovolného měsíce planet jakož i umělých družic Země.

Vraťme se zpět k Eulerovi, který v letech 1753 - 1771 vypracoval tzv. druhou teorii pohybu Měsíce. Výsledkem zdokonalení je číselný rozvoj metody a vypočítané tabulky poloh Měsíce v publikaci Theoria Motuum Lunae, nova methodo pertractata una cum Tabulis Astronomicis, česky Teorie pohybu Měsíce vyložená novým způsobem a astronomické tabulky vydané roku 1772 v Petrohradě. Dílo vzniklo za pomoci syna Johana Albrechta Eulera (1734 - 1800), Wolfganga Ludwiga Krafta (1743 - 1814) a Anderse Johana Lexella (1740 - 1784), neboť Euler byl při dokončování díla již slepý. Druhá Eulerova teorie pohybu Měsíce měla velký metodologický význam, byla úplně pochopena až koncem 19. století. Přes velký pokrok při výpočtech teoretických hodnot koeficientů se propočítané tabulky poloh Měsíce vyznačovaly většími chybami, než značně jednodušší poloempirické efemeridy Měsíce Mayera.

Při výkladu Euler použil postup numericko-analytický, ve kterém hodnoty některých veličin přebíral z pozorovacích údajů a dosazoval je do pohybových rovnic při jejich řešení. Jinak řečeno autor vycházel jak z vybraného matematického modelu, tak z interpretace pozorovacích hodnot. Těmi byly například excentricity drah Měsíce, Země, poměr střední vzdálenosti Země - Slunce ku střední vzdálenosti Země - Měsíc. Euler použil i hodnoty úhlů příkladně elongace Měsíce od Slunce a střední anomálie Měsíce. Poměr hmotností Země a Měsíce položil rovný sedmdesáti, zmiňovaný poměr vzdáleností Země - Slunce a Země - Měsíc kladl čtyři sta.

Po fyzikální stránce Euler vyložil řešení problému pohybu Měsíce pod působením přitažlivosti Země a Slunce za podmínky, že všechna uvedená tělesa byla zkoumána jako hmotné body a střed hmotnosti soustavy Země - Měsíc tzv. barycentrum se pohybuje kolem Slunce po eliptické dráze. Tedy řešil zjednodušený problém tří vzájemně se přitahujících těles. Byl si vědom toho, ,,že úplné řešení je nad možnosti analýzy nehledě na obrovské úsilí geometrů...`` Zkoumal pohyb Měsíce v pravoúhlých souřadnicích, získal pro jejich určení tři diferenciální rovnice druhé řádu obdobného typu jako nelineární rovnice kmitavého pohybu.

Právě to považujeme za nejdůležitější příspěvek Eulera zachycený v první knize.

Matematické zpřesnění teorie pohybu Měsíce dosáhl Euler metodou variace konstant. Vycházela z toho, že eliptická dráha Měsíce je určená šesti elementy. V případě ,,rušené dráhy`` gravitačně působí na Měsíc i Slunce, dráha je opět eliptická, její elementy se však mění. Euler nezkoumal poruchy v poloze tělesa, ale poruchy v elementech např. velké poloosy, excentricity. Ty vyjádřil jednoduššími vztahy, což umožňovalo výpočet efemerid Měsíce s dostatečnou přesností na delší období. Poruchy vybraného elementu analyzoval individuálně, přičemž ostatní elementy ve zvoleném čase považoval za neproměnné.

Shrnuto v každém okamžiku se Měsíc pohybuje po určité eliptické dráze s malou excentricitou. Elementy dráhy popisující velikost, tvar a polohu elipsy v prostoru se s časem mění. V takovém případě říkáme, že těleso se pohybuje po oskulující eliptické dráze.

V rozpracování druhé Eulerovy teorie pokračoval až roce 1878 americký astronom George William Hill (1838 - 1914) a vytvořil moderní teorii pohybu Měsíce. Získal rychlost pohybu perigea analyticky. Ještě podrobnější podobu ji dal později Ernest William Browne (1866 - 1938).

První propočítané tabulky poloh Měsíce, jejichž chyby byly srovnatelné s pozorovacími, vznikly až v polovině 19. století. Vycházely z numerické metody, v které se řada dráhových elementů vybírala z pozorování a následně upřesňovala při výpočtech. Zvýšené přesnosti bylo dosaženo započtením členů až osmého řádu, což uplatnil dánský astronom Peter Andreas Hansen (1795 - 1874) jak v práci Fundamenta nova investigationis česky Základy nových výzkumů, tak následně v tabulkách Table of the Moon česky Tabulky Měsíce vydané v Anglii roku 1857. Jejich chyby ve srovnání s polohami Měsíce, pozorovanými v průběhu 100 roků v letech 1750 - 1850 nepřevyšovaly 1″ - 2″. Právě taková byla v polovině 19. století přesnost pozorování. Téměř současně tak dosáhla souhlasu úroveň rozvoje pozorovací a teoretické astronomie. Hansenovy tabulky se používaly až do dvacátých let 20. století.

Pierre Simon Laplace
 Dalším řešeným problémem v teorii pohybu Měsíce bylo pozorované zvětšování středního úhlového pohybu, tzv. sekulární akcelerace, kterou objevil již v roce 1693 Halley. Srovnáním s údaji Ptolemaia v Almagestu objevil, že střední úhlový pohyb Měsíce se postupně zvětšoval, změna činila asi 10″ za 100 roků. Problém zůstal nevyřešen až do konce 18. století, kdy v roce 1787 francouzský astronom, matematik a fyzik Pierre Simon Laplace (1749 - 1827) vytvořil přesnější teorii pohybu Měsíce. Z ní vyplývalo, že střední délka Měsíce se zrychluje o 10,4″ za 100 roků. Laplace tak objasnil periodický charakter sekulární akcelerace, jejíž příčinou je kolísání výstřednosti zemské dráhy, což způsobuje střídání zrychlování a zpomalování pohybu Měsíce.

Výsledkem Laplaceovy práce v letech 1772 - 1802 byl mimo jiné závěr, že pohyb Měsíce je ovlivňován i působením dalších planet sluneční soustavy. Rozborem excentricity dráhy Země zjistil, že při jejím zmenšování se střední vzdálenost Země od Slunce nepatrně zvětšuje. Proto se poruchový vliv Slunce na Měsíc stává menším. Teorie pohybu Měsíce rozpracovaná Laplacem umožňovala určovat jeho polohu s přesností do 0,5′.


Zákon všeobecné gravitace a jeho důsledky Dynamické zákony pohybu planet