Historie astronomie › Kosmická mechanika

Dynamické zákony pohybu planet

Všechna tělesa sluneční soustavy se vzájemně přitahují. V důsledku toho se planety nepohybují přesně po eliptických drahách, jak by odpovídalo řešení problému dvou těles. U jejich drah se projevují odchylky tzv. poruchy. V předcházejícím historickém období vývoje astronomie, včetně doby Tychona Brahe a Keplera se při určování poloh planet nepoužíval dalekohled. Zmiňované odchylky od bezporuchového pohybu nebylo proto možné stanovit s dostatečnou přesností. Od poloviny 17. století však polohy planet již byly určovány pomocí dalekohledu se záměrným křížem a dalšími měřícími přístroji, čímž se přesnost pozorování zvýšila na několik obloukových vteřin. Proto bylo možné odchylky od eliptického pohybu zjistit.

Odchylkami - poruchami zpravidla rozumíme rozdíly reálných poloh kosmického tělesa od těch, které by odpovídaly v určitém časovém okamžiku eliptickému pohybu. Vedle toho hovoříme rovněž o poruchách dráhových elementů. Shrnuto jde o poruchy souřadnic respektive jednotlivých dráhových elementů. Jejich analýza a vyjádření bývá často výhodnější, protože tyto poruchy jsou malé, zatímco u souřadnic velké.

Na rozdíl od problému dvou těles je matematické řešení tří těles vzájemně se přitahujících podle zákona všeobecné gravitace matematické řešení značně komplikované. Třetí těleso zapříčiňuje nejen odchylky v pohybech obou zbývajících od eliptických pohybů, ale také obě tělesa gravitačně ovlivňují těleso třetí. Po matematické stránce jde o systém devíti diferenciálních rovnic druhého řádu, k jejichž řešení je třeba osmnácti integrací. Některé z nich však nevedou k žádným známým analytickým funkcím.

Metody určování poruch jakož i další teoretické problémy kosmické mechaniky se rozvíjely současně s vyšší matematikou. Kosmická mechanika byla budována v průběhu 18. století zejména pracemi francouzských matematiků, fyziků a astronomů.

V prvním přiblížení tzv. poruchy I. řádu zachycují rozdíl vzdáleností poloh planet při ideální eliptické a poruchové dráze (teoretické a reálné), který je úměrný hmotnosti rušící planety $ {\Delta} r \sim M$ . Postupně astronomové 18. století shromáždili velký počet přesných pozorování poloh planet, jejichž zpracování umožnilo vytvořit teorii pohybu planet, která v prvním přiblížení souhlasila s pozorovacími údaji. Do konce 18. století byly odvozeny základní rovnice pohybu planet, včetně vyjádření poruchových sil. Současně bylo možné zjišťovat při pozorováních odchylky poloh planet několik úhlových vteřin a teoreticky je předpovídat a analyzovat.

Další rozvoj kosmické mechaniky vytvořil ve svém díle Laplace, jenž vypracoval na tehdejší dobu s velkou přesností teorii pohybu planet a měsíců Jupitera. Podrobně je problematika zpracována v pětidílné knize Traité de mécanique céleste česky Nebeská mechanika, která vyšla v letech 1799 - 1825.

Mimo jiné je v ní řešena stabilita sluneční soustavy, což byl nevyjasněný problém z dob Newtona, kdy astronomové zjistili v pohybu Jupitera a Saturna poruchy. Docházelo k velmi pomalým změnám střední rychlosti pohybu planet, konkrétně bylo zjištěno zmenšování středního denního pohybu Saturna a naopak jeho zrychlování u Jupitera. Na základě krátkodobých pozorování v 17. století nebylo možné rozhodnout, zda charakter poruch je periodický nebo sekulární.

Její bezprostřední příčinou je skutečnost, že siderické oběžné doby Jupitera a Saturna kolem Slunce jsou zaokrouhleně 12 roků a 30 roků. Doba dvou oběhů Saturna je tak souměřitelná s dobou pěti oběhů Jupitera. Jejich vzájemná gravitační interakce tak má periodický charakter s periodou zhruba 60 roků.

Joseph Louis Lagrange
 Kosmická mechanika byla postavena před otázku, zda poruchy velkých poloos a excentricit planetárních drah jsou reálné nebo zda jsou důsledkem nedokonalých matematických metod při jejich vyjadřování. To byla podstata problému stability sluneční soustavy, který byl nastolen v 18. století. V letech 1754 - 1756 d'Alambert publikoval první práce o vzájemných poruchách Jupitera a Saturna. Později v letech 1773 - 1776 francouzský astronom, matematik a fyzik Joseph Louis Lagrange (1736 - 1813) a již zmiňovaný Laplace provedli podrobný rozbor dlouhoperiodických poruch planet ve sluneční soustavě. Matematickým rozborem dokázali, že velké poloosy drah planet nepodléhají sekulárním změnám, pouze periodicky kolísají kolem určitých středních hodnot. Eliptické dráhy tak nemohou přecházet v parabolické, při kterých by planety opustily sluneční soustavu.

Při analýze nejprve rozdělili dráhové elementy do dvou skupin. V první byly délka výstupného uzlu $ {\Omega}$ , argument šířky perihélia $ {\omega}$ a okamžik průchodu perihéliem $ T$ . Změny těchto elementů drah v důsledku poruch nevedou u planet k opuštění sluneční soustavy.

Do druhé skupiny byly zařazeny velká poloosa $ {a}$ , excentricita $ {e}$ a sklon dráhy $ {i}$ . Charakter jejich změn určuje stabilitu sluneční soustavy, proto byly sledovány změny těchto elementů. Lagrange zjistil, že nestačí pouze zkoumat omezenost velké poloosy v libovolném časovém okamžiku, což by řešilo stabilitu planetárních drah ve smyslu ,,rozbíhání`` planet. Existuje však možnost srážky planety se Sluncem. I při ohraničené hodnotě velké poloosy se bude dráha zplošťovat při zvětšování excentricity. Minimální vzdálenost planety od Slunce je $ {r=a\left(1-e\right)}$ , pak při $ {e\rightarrow 1}$ se $ {r\rightarrow 0}$ .

Při rozboru stability planetárních drah tak byly studovány změny dráhových elementů $ a$ , $ e$ , $ i$ . Roku 1784 Laplace dokázal platnost dvou vět:

  1. $ {m_{{1}}\sqrt{a_{{1}}}e_{{1}}^{{2}}+m_{{2}}\sqrt{a_{{2}}}e_{{2}}^{{2}}+\dots+m_{{n}}\sqrt{a_{{n}}}e_{{n}}^{{2}}} = {c_{{1}}}$ , kde $ {c_{{1}}}$ je konstanta, $ m$ hmotnost planety, $ a$ velká polosa, $ e$ excentricita příslušné dráhy.
  2. $ {m_{{1}}\sqrt{a_{{1}}}{\,\text{tg}}^{{2}}i_{{1}}+m_{{2}}\sqrt{a_{{2}}}{\,\text... ...^{{2}}i_{{2}}+\dots+m_{{n}}\sqrt{a_{{n}}}{\,\text{tg}}^{{2}}i_{{n}}=} {c_{{2}}}$ , kde $ {c_{{2}}}$ je konstanta $ i$ označuje úhel sklonu příslušné dráhy.

V obou větách součty výrazů pro planety jsou stálé. Věty byly odvozeny za omezujícího předpokladu, že velké poloosy drah se podrobují pouze malým periodickým změnám, tudíž platí pro ohraničené změny $ {e}$ a $ {i}$ . Jak vyplývá z vět, jestliže excentricita jedné dráhy narůstá, excentricita druhé dráhy se zmenšuje Obdobnou úvahu lze provést i pro sklon drah. Dalším předpokladem bylo, že hmotnosti planet jsou zhruba stejného řádu.

Závěry z obou vět lze shrnout slovně: Jestliže pohyb planet probíhá jedním směrem, jejich hmotnosti jsou stejného řádu, excentricity a sklony drah malé, velké poloosy jsou podrobovány pouze nevelkým změnám vzhledem ke střední hodnotě, pak excentricity a sklony drah budou malé ve zkoumaném časovém intervalu.

Uvedenými větami byla prokázána stabilita sluneční soustavy. Výpočet ukázal, že jde o dlouhoperiodické poruchy, jejichž perioda činí přibližně 930 roků.

Později roku 1839 Leverrier propočítal celou soustavu matematických vztahů charakterizujících stabilitu drah planet, včetně započtení poruch od Uranu. Výsledky v mezích přesnosti vedly k existenci horní hranice změn excentricity a úhlu sklonu dráhy při zachování stability sluneční soustavy.

V současnosti je význam vět pouze historický. Nejsou použitelné pro časové intervaly srovnatelné se stářím sluneční soustavy, neboť započítávají pouze poruchy prvního řádu. V matematických rozvojích byly zanedbávány členy vyšších řádů, v hmotnostech těles sluneční soustavy jsou také podstatné rozdíly. Obecněji problém stability sluneční soustavy zformuloval koncem 19. století ruský matematik Alexandr Michajlovič Ljapunov (1857 - 1918).


Teorie pohybu Měsíce Objevy dalších planet